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第35讲　数列的综合问题 (时间:45分钟)
1.已知等比数列{an}满足a1=3,且4a1,2a2,a3成等差数列,则数列{an}的公比等于 (　 )　　　　　　 　　　　　　　　　　
A.1 B.-1
C.-2 D.2
2.[2025·湖南长沙期中] 已知数列{an}的通项公式为an=n∈N*,若{an}是递增数列,则实数t的取值范围是 (　 )
A.(1,6) B.(4,6)
C. D.[4,6)
3.[2026·河南郑州期末] 2025年蛇年春晚的武汉分会场地点设在黄鹤楼,楼的外观有五层而实际上内部有九层.为营造春节的喜庆气氛,主办方决定在黄鹤楼的外部用灯笼进行装饰.这五层楼每一层都挂上灯笼,预计共挂186盏灯笼,且相邻两层中的下一层灯笼数是上一层灯笼数的2倍,则最中间一层需要挂灯笼的数量为 (　 )
A.12 B.24
C.36 D.48
4.已知{an}是公比为q(q≠1)的等比数列,首项a1=,对于n∈N*,bn=an,若当且仅当n=4时,数列{bn}的前n项和取得最大值,则q的取值范围为 (　 )
A.(3,2) B.(3,4)
C.(2,4) D.(2,3)
5.[2026·广东深圳盐田区外国语学校质检] 在等比数列{an}中,a2,a10是函数f(x)=x2+20x+25的两个零点,则a6= (　 )
A.±5 B.-5
C.5 D.±2
6.数列{an}是各项均为正数的等比数列,数列{bn}是等差数列,且a5=b6,则 (　 )
A.a3+a7≤b4+b8 B.a3+a7≥b4+b8
C.a3+a7≠b4+b8 D.a3+a7=b4+b8
7.(多选题)[2025·河南驻马店期末] 设Sn是等差数列{an}的前n项和,若S15<0,<-1,则下列结论正确的是 (　 )
A.d<0
B.|a7|<|a8|
C.当n=7时,Sn最大
D.使Sn>0的n的最大值为13
8.设{an}是公差不为0的等差数列,a1=2且a1,a3,a6成等比数列,则{an}的前10项和S10=　　　　.
9.[2026·北京中国人民大学附属中学模拟] 已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,a2,a3+1,a4成等差数列,则使得Sn>2027的n的最小值是　　　　.
10.各项均为正数的等比数列{an}的首项a1=2,Sn为其前n项和,若5S1,S3,3S2成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)bn=log2an,cn=,记数列{cn}的前n项和为Tn,若Tn<,求n的最大值.
11.[2026·四川眉山期末] 设{an}是以2为首项,1为公差的等差数列,{bn}是以1为首项,2为公比的等比数列,记Mn=++…+,则{Mn}中不超过2027的项的个数为(　 )
A.8 B.9
C.10 D.11
12.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,公差d≠0,a1=1,若a1,a2,a5成等比数列,则的最小值为 (　 )
A. B.2
C.-1 D.
13.等差数列{an}的通项公式为an=2n-5,前n项和为Sn,则S3=　　　　,数列{an·Sn}的最小值为　　　　.
14.[2026·浙江宁波九校联考] 已知函数f(x)=x2+x.数列{xn}(xn<-1)的首项x1=,记曲线y=f(x)在(xn,f(xn))处的切线为ln,若f'(xn)≠0,则记ln与x轴交点的横坐标为xn+1.
(1)证明:数列为等比数列;
(2)设an=ln ,求数列{n·an}的前n项和Sn.第35讲　数列的综合问题
1.D　[解析] 设{an}的公比为q(q≠0),因为4a1,2a2,a3成等差数列,所以4a1+a1q2 =4a1q,即q2-4q+4=0,解得q=2.
2.B　[解析] 因为{an}为递增数列,所以得所以t的取值范围为(4,6).故选B.
3.B　[解析] 由题意知,各层楼的灯笼数从上至下依次成等比数列,记为数列{an},第5层楼所挂灯笼数为a1,公比q=2.由S5==186,解得a1=6,则最中间一层的灯笼数为a3=6×22=24.故选B.
4.C　[解析] ∵等比数列{an}的公比为q,首项a1=,∴bn+1-bn=
an+1-an==q,∴数列{bn}是以q为公差,
a1=6为首项的等差数列,∴bn=6+(n-1)q.
∵当且仅当n=4时数列{bn}的前n项和取得最大值,∴q<0,且∴q>1,且∴-25.B　[解析] 因为a2,a10是函数f(x)=x2+20x+25的两个零点,所以a2,a10是方程x2+20x+25=0的两个根,则a2+a10=-20,a2a10=25,所以a2,a10都为负数.又a6=a2q4<0,=a2a10=25,所以a6=-5.故选B.
6.B　[解析] 设{an}的公比为q,{bn}的公差为d,则an=a1qn-1,bn=b1+(n-1)d.∵a5=b6,∴b4+b8=2(b1+5d)=2b6=2a5.又a3+a7-2a5= a1q2+a1q6-2a1q4 =a1q2(q2-1)2≥0,所以a3+a7≥b4+b8.故选B.
7.AC　[解析] 对于A,B,由S15==15a8<0,得a8<0,又<-1<0,所以a7>0,且a7+a8>0,则|a7|>|a8|,{an}为递减数列,故d<0,故A正确,B错误;当n≤7时,an>0,当n≥8时,an<0,则当n=7时,Sn最大,故C正确;因为S14==7(a7+a8)>0,S15<0,所以使Sn>0的n的最大值为14,故D错误.故选AC.
8.　[解析] 设数列{an}的公差为d(d≠0),因为a1,a3,a6成等比数列,所以=a1a6,则(2+2d)2=2(2+5d),解得d=或d=0(舍),所以S10=10×2+×=.
9.11　[解析] 设等比数列{an}的公比为q,由题意得a2+a4=2(a3+1),即q+q3=2(q2+1),即q3-2q2+q-2=0,整理可得(q-2)(q2+1)=0,解得q=2,所以Sn==2n-1.令Sn>2027,则2n>2028.又因为n∈N*,所以n≥11,故使得Sn>2027的n的最小值是11.
10.解:(1)设数列{an}的公比为q,因为5S1,S3,3S2成等差数列,所以5S1+3S2=2S3,
则5a1+3a1+3a2=2a1+2a2+2a3,
则6a1+a1q-2a1q2=0,解得q=2或q=-.
因为等比数列{an}的各项均为正数,所以q=2.又a1=2,所以an=2n.
(2)由(1)得bn=log2an=n,所以cn===-,
故Tn=1-+-+…+-=1-,由Tn<,得1-<,得n<2026,
故n的最大值为2025.
11.C　[解析] 由题得an=2+(n-1)=n+1,bn=1·2n-1=2n-1,所以=2n-1+1,则Mn=++…++1+21+1+22+1+…+2n-1+1=+n=2n+n-1.又M10=210+10-1=1033<2027,M11=211+11-1=2058>2027,所以{Mn}中不超过2027的项有10个.故选C.
12.A　[解析] ∵a1,a2,a5成等比数列,∴=a1a5,则(1+d)2=1×(1+4d),即d2-2d=0,可得d=2,
∴===.由函数y=在(0,]上单调递减,在[,+∞)上单调递增,且3<<4,得当n+1=3或4,即n=2或3时,取得最小值.当n=2时,=;当n=3时,=>.故的最小值为.故选A.
13.-3　 -3　[解析] 由题意可得Sn===n(n-4),
所以S3=3×(3-4)=-3.
由题意可知anSn=n(n-4)(2n-5)=2n3-13n2+20n.
令f(x)=2x3-13x2+20x,x>0,
则f'(x)=6x2-26x+20=2(x-1)(3x-10).
由f'(x)>0,得x>或0所以f(x)在上单调递减,在(0,1),上单调递增.
又因为n∈N*,3<<4,f(3)=2×33-13×32+20×3=-3,f(4)=2×43-13×42+20×4=0,
所以数列{anSn}的最小值为-3.
14.解:(1)证明:由f(x)=x2+x,得f'(x)=2x+1,
则曲线y=f(x)在(xn,f(xn))处的切线方程为y-f(xn)=f'(xn)(x-xn).
令y=0可得,xn+1=xn-=xn-=,
则ln =ln=ln=ln=2ln.因为xn<-1,
所以≠1,则ln≠0.
又x1=,所以ln=1,
所以数列是以1为首项,2为公比的等比数列.
(2)由(1)得an=2n-1,则n·an=n·2n-1,
则Sn=1×20+2×21+…+n×2n-1①,
2Sn=1×21+2×22+…+(n-1)·2n-1+n·2n②,
由①-②得,-Sn=20+21+…+2n-1-n·2n=-n·2n=2n-1-n·2n=(1-n)·2n-1,
所以Sn=(n-1)2n+1.

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