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微专题8　重构数列问题
1.B　[解析] 由an+1=(-1)nan+1,可得a3=a2+1=2,a4=-a3+1=-1,a5=a4+1=0.故选B.
2.C　[解析] 由题可知{an}是首项为1,公差为4的等差数列,{bn}是首项为1,公差为5的等差数列,则这两个数列的公共项从小到大排列构成的新数列{cn}是首项为1,公差为20的等差数列,故c100=1+(100-1)×20=1981.故选C.
3.B　[解析] 依题意,设bn=a2n,则b1=a2=2a1=2=4-2,a3=a2+1=3,b2=a4=2a3=6=8-2,a5=a4+1=7,b3=a6=2a5=14=16-2,a7=a6+1=15,b4=a8=2a7=30=32-2,归纳得bn=2n+1-2,则a2n=2n+1-2,所以a20=b10=211-2.故选B.
4.B　[解析] 因为a1=2,d=8,所以a2=10.当k=3时,b1=2,b5=a2=10,所以等差数列{bn}的公差为==2,故bn=2+2(n-1)=2n,则b2027=2× 2027=4054.故选B.
5.C　[解析] ∵a2k+2=(a2k-1+2)+2=2a2k-2+4=2(a2k-2+2),a2+2=a1+2+2=5,∴{a2k+2}是首项为5,公比为2的等比数列,∴a2k+2=5×2k-1,则a2k=5×2k-1-2,∴a100=5×249-2.故选C.
6.B　[解析] 因为数列{bn}的通项公式为bn=n,所以数列{bn}的前n项和Sn=.因为数列{an}的通项公式为an=3n,所以数列{an}的前n项和Tn==,则ci=T1+T2+…+Tn-1+b1+b2+…+bn=++…++=·-+=+-n-.当n=8时,ci=4944.故选B.
7.ABD　[解析] 对于选项A,an=1+6(n-1)=6n-5,故A正确;对于选项B,C,当k=2时,由a1=1,a2=7可知{bn}的公差d1==2,所以bn=1+2(n-1)=2n-1,则b19=2×19-1=37,令an=6n-5=37,解得n=7,所以b19是数列{an}中的项,故B正确,C错误;对于选项D,当k=6时,数列{bn}的公差d2==,则b8=1+×7=7,a2=1+6=7,即b8=a2,所以若b8是数列{an}中的项,则k 的值可能为6,故D正确.故选ABD.
8.500　[解析] 数列{an}满足a1=1,an+1=k∈N*,则a2=a1+3=4.当n=2k时,a2k+1=a2k+2,a2k+2=a2k+1+3=a2k+5;当n=2k-1时,a2k=a2k-1+3,a2k+1=a2k+2=a2k-1+5.
所以数列{an}的奇数项构成以1为首项,5为公差的等差数列,偶数项构成以4为首项,5为公差的等差数列,所以{an}的前20项和为a1+a2+a3+…+a20=(a1+a3+…+a19)+(a2+a4+…+a20)=10×1+×5+10×4+×5=500.
9.　 124　[解析] 由a3+a4=0,得a4=-a3=.由a4k+a4k+1=k2,a4k+1+a4k+2=0,a4k+2+a4k+3=,a4k+3+a4k+4=0,得a4k+4-a4k=k+,所以a64=(a64-a60)+(a60-a56)+…+(a8-a4)+a4=15++14++…+1++=+=124.
10.解:(1)当n≥2时,由an+1=2Sn+2可得an=2Sn-1+2,
两式作差可得an+1-an=2an,可得an+1=3an.
又a1=2,a2=2S1+2=2a1+2=6,满足=3,
所以数列{an}是以2为首项,3为公比的等比数列,故an=2×3n-1.
(2)由题意可得dn===,
则=,
所以Tn=+++…+,则Tn=++…++,
两式作差得Tn=+-=+-=-,
因此Tn=-.
11.B　[解析] {an}中的项依次为1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,…;{bn}中的项依次为2,4,8,16,32,64,….{an}与{bn}中小于25的公共项为4,16,在数列{an}中去掉{an}与{bn}的公共项后,小于25的项有1,7,10,13,19,22,其中质数有7,13,19,所以小于25的项中质数的占比为=,故选B.
12.ACD　[解析] 因为S3=6,即a1+a2+a3=6,所以a1+2a1+a2+1=6,即a1+2a1+2a1+1=6,解得a1=1,故A正确;由题可得a2=2a1=2,a3=a2+1=3,a4=2a3=2×3=6,a5=a4+1=7,…,当n为奇数时,n+1为偶数,n+2为奇数,所以an+1=2an,an+2=an+1+1=2an+1,所以an+2+1=2(an+1),所以数列{an+1}中的奇数项是等比数列,其首项为a1+1=2,公比为2,所以当n为奇数时,an+1=2×=,an=-1,所以a19=-1=210-1=1023,故B错误;当n为偶数时,n+1为奇数,n+2为偶数,则an+1=an+1,an+2=2an+1=2(an+1)=2an+2,所以an+2+2=2(an+2),所以数列{an+2}中的偶数项是等比数列,其首项为a2+2=4,公比为2,所以当n为偶数时,an+2=4×,an=-2,所以a2n=2n+1-2,故C正确;对于D,S20=a1+=(a1+a3+…+a19)+(a2+a4+…+a20)=(21-1+22-1+…+210-1)+(22-2+23-2+…+211-2)=-10+-20=2(1024-1)-10+4(1024-1)-20=6108,故D正确.故选ACD.
13.3　[解析] 由题可知,a+b=1+11=12,114.解:(1)证明:在数列{an}中,an+1=
则a2n+1=2a2n-2=2(2a2n-1+1)-2=4a2n-1,又a1=2,
所以数列{a2n-1}是等比数列,其首项为a1=2,公比为4.
(2)由(1)知,a2n-1=2×4n-1=22n-1,a2n=2a2n-1+1=22n+1,
所以数列{an}的通项公式为an=
设等差数列{bn}的公差为d(d≠0),
由b1,b2,b4成等比数列,得=b1b4,
即=b1(b1+3d),得d=b1,
又b8=a3=8,即b1+7d=8,所以d=b1=1,
所以数列{bn}的通项公式为bn=b1+(n-1)d=n.
(3)依题意,数列{cn}中,ak+1前有数列{an}中的前k项,有数列{bn}中的前1+2+3+…+k=(项),
因此数列{cn}中,ak+1前共有+k=(项),
当k=10时,=65,
当k=9时,=54,
因此数列{cn}的前60项中有数列{an}中的前10项,有数列{bn}中的前50项,
所以T60=(a1+a3+a5+a7+a9)+(a2+a4+a6+a8+a10)+(b1+b2+…+b50)=2+22+23+24+25+…+210+5+=+5+1275=3326.微专题8　重构数列问题
(时间:45分钟)
1.已知数列{an}满足an+1=(-1)nan+1,且a2=1,则a5= (　 )　　　　　　 　　　　　　　　　　
A.-1 B.0
C.1 D.2
2.[2025·河南焦作期末] 已知数列{an},{bn}的通项公式分别为an=4n-3,bn=5n-4,由{an},{bn}的公共项从小到大排列得到的数列为{cn},则c100= (　 )
A.1941 B.1961
C.1981 D.2001
3.已知数列{an}满足a1=1,对于任意的n∈N*且n≥2,都有an=则a20= (　 )
A.211 B.211-2
C.210 D.210-2
4.已知等差数列{an}的首项a1=2,公差d=8,在{an}的每相邻两项之间都插入k个数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn},当k=3时,b2027= (　 )
A.4052 B.4054
C.4056 D.4058
5.[2025·贵州六盘水期末] 已知数列{an}满足a1=1,an+1=则a100=(　 )
A.5×250-2 B.5×250-4
C.5×249-2 D.5×249-4
6.已知数列{an}和{bn}的通项公式分别为an=3n,bn=n,在bm与bm+1之间插入数列{an}的前m项,构成新数列{cn},即b1,a1,b2,a1,a2,b3,a1,a2,a3,b4,a1,a2,a3,a4,b5,….记数列{bn}的前n项和为Sn,则ci= (　 )
A.30 B.4944
C.9876 D.14 748
7.(多选题)已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d=6,在{an}中每相邻两项之间都插入k个数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn},下列说法正确的有 (　 )
A.an=6n-5
B.当k=2时, bn=2n-1
C.当k=2时,b19不是数列{an}中的项
D.若b8是数列{an}中的项,则k 的值可能为6
8.[2026·江苏泰州期末] 已知数列{an}满足a1=1,an+1=k∈N*,则{an}的前20项和为　　　　.
9.[2026·安徽芜湖期末] 已知数列{an}满足a3=-,an+an+1=n2cos,则a4=　　　　,a64=　　　　.
10.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,an+1=2Sn+2(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)在an与an+1之间插入n个数,使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列,设Tn=+++…+(n∈N*),求Tn.
11.数列{an},{bn}的通项公式分别为an=3n-2,bn=2n,在数列{an}中去掉两个数列的公共项后,小于25的项中质数的占比为 (　 )
A. B.
C. D.
12.(多选题)[2026·山东济宁期末 ] 已知an+1=记数列{an}的前n项和为Sn,且S3=6,则下列说法正确的是 (　 )
A.a1=1 B.a19=2047
C.a2n=2n+1-2 D.S20=6108
13.[2026·天津南开中学模拟] 在1和11之间插入m个数,使得这m+2个数成等差数列.若这m个数中第1个为a,第m个为b,则+的最小值是　　　　.
14.已知数列{an}满足a1=2,an+1=公差不为0的等差数列{bn}满足b1,b2,b4成等比数列,b8=a3.
(1)证明:数列{a2n-1}是等比数列.
(2)求{an}和{bn}的通项公式.
(3)在ak与ak+1之间从{bn}的第一项起依次插入{bn}中的k项,构成新数列{cn}:a1,b1,a2,b2,b3,a3,b4,b5,b6,a4,…,求{cn}中前60项的和T60.

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