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第2课时　与球有关的切接问题
(时间:45分钟)
　　　　　　 　　　　　　　　　　
1.[2026·广东深圳期末] 在四棱锥S-ABCD中,SA⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形,SA=AB=2,则四棱锥S-ABCD的外接球的表面积为 (　 )
A.12π B.8π
C.48π D.20π
2.已知某圆柱的高为2,底面半径为1,且其上、下底面圆周均在以O为球心的球面上,则球O的表面积为 (　 )
A.4π B.8π
C.16π D.24π
3.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=6,AB=AC=3,∠BAC=120°,则该三棱柱外接球的表面积为 (　 )
A.144π B.72π
C.36π D.18π
4.[2026·广东广州模拟] 某圆锥的高是底面半径的倍,此圆锥的内切球(球与圆锥的底面和侧面均相切)半径为1,则该圆锥外接球的表面积为 (　 )
A.32π B.16π
C.π D.π
5.棱长为2的正四面体ABCD的表面上(不含顶点)有动点P,满足·=0,则点P的轨迹总长度为 (　 )
A. B.
C. D.
6.如图①,在平行四边形ABCD中,AB⊥BD,AB=2BD=2.沿BD所在直线将△ABD折起,使点A到达点P的位置,得到三棱锥P-BCD,如图②,若PC=3,则三棱锥P-BCD外接球的表面积为 (　 )
A.6π B.8π
C.9π D.12π
7.[2026·吉林通化质检] 已知三棱锥P-ABC的外接球半径为R,且△ABC外接圆的面积为12π,若三棱锥P-ABC体积的最大值为R,则该球的体积为 (　 )
A. B.
C. D.
8.[2026·河北衡水调研] 已知圆台的上底面半径为1,下底面半径为5,侧面积为30π,则圆台的体积为　　　　;若该圆台的上、下底面圆周均在球O的球面上,则球O的表面积为　　　　.
9.在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=,AB=AC=2,PA=2,则该三棱锥外接球的表面积为　　　　.
10.如图,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠ABC=90°,PA=AB=BC=6,球O的球心在平面ABC内,且与三个侧面都相切,则球O的半径为　　　　.
11.(多选题)已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱切球(与正方体的各条棱都相切)为球O,点M为球面上的动点,则下列说法正确的是 (　 )
A.球O的表面积为2π
B.球O在正方体外部的体积大于π-1
C.球O内接圆柱的侧面积的最大值为2π
D.若点M在正方体外部(含正方体表面)运动,则·∈
12.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为2,AC⊥BC,AC=BC=2,点D在上底面A1B1C1(包含边界)上运动,若三棱锥D-ABC外接球的表面积为17π,则动点D的轨迹的长度为　　　　.
13.已知某种益智玩具如图所示,它由两个同底的正四棱锥拼接而成,若上面的正四棱锥的侧棱长为,底面边长为2,下面的正四棱锥的侧棱长为,则其内切球的表面积为　　　　.
14.某个圆锥形容器的轴截面是边长为4的等边三角形,一个表面积为π的小球在该容器内自由运动,则小球能接触到的圆锥形容器内壁的总面积为　　　　. 第2课时　与球有关的切接问题
1.A　[解析] 如图,将四棱锥S-ABCD补成正方体,易知正方体的体对角线长为2,则四棱锥的外接球为正方体的外接球,外接球半径为,所以四棱锥S-ABCD的外接球的表面积为4π×=12π.故选A.
2.C　[解析] 因为圆柱的上、下底面圆周均在以O为球心的球面上,所以圆柱的上、下底面圆心连线的中点为球心O,且O与底面圆心的连线垂直于底面.因为圆柱的底面半径r=1,高h=2,所以球心到底面的距离d=h=,因为底面圆周上一点到球心的距离为球的半径R,所以由勾股定理得R==2,则球O的表面积S=4πR2=16π.故选C.
3.B　[解析] 在△ABC中,BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC=27,即BC=3,则△ABC外接圆的半径r==3,则直三棱柱ABC-A1B1C1外接球的半径为==3,则外接球的表面积为4×π=72π.故选B.
4.B　[解析] 如图,设P为圆锥顶点,AB为圆锥底面的一条直径,O为底面圆心,O1为内切球球心,球O1与PA切于点D,设圆锥底面半径为r,则圆锥的高h=r,设圆锥母线长为l,
由勾股定理可得l===2r.因为圆锥的内切球半径为1,所以轴截面三角形APB的面积为×2r×r=×(2r+2r+2r)×1,解得r=,则圆锥的高h=r=3,母线l=2r=2,三角形APB为等边三角形,易知圆锥外接球的球心与内切球的球心重合,设外接球半径为R,则R=PO1=PO=2,所以该圆锥外接球的表面积S=4π×22=16π.故选B.
5.A　[解析] 如图,取H,I,G,F,E依次为棱AB,AC,CD,BD,BC的中点,连接EH,EI,EG,EF,因为·=0,所以P的轨迹是以E为球心,BC为直径的球与正四面体各面的交线,则点P的轨迹由面BCD内的弧FG,面ABC内的弧IH,面ACD内的弧GI,面ABD内的弧HF构成.弧FG与弧IH的长度相等,因为EF=EG=1,∠FEG=,所以弧FG的长度等于;弧GI与弧HF的长度相等,取AD的中点为J,连接CJ,设B,E在面ACD内的射影分别为点O,O1,连接O1I,O1G,易知弧GI所在圆的圆心为O1,且O1为CJ上靠近点C的三等分点,O为弧GI的中点且O为CJ上靠近点J的三等分点,故OO1=,且∠IO1G=,所以弧GI的长度等于.故点P的轨迹总长度为2=.故选A.
6.C　[解析] 在Rt△BCD中,BC===,又PB=2,PC=3,所以PB2+BC2=PC2,所以PB⊥BC.同理可得CD⊥PD.取PC的中点O,连接OB,OD,如图,则OP=OB=OC=OD=,所以O为三棱锥P-BCD 外接球的球心,OP为半径,所以三棱锥P-BCD外接球的表面积为4π×=9π. 故选C.
7.D　[解析] 如图,设△ABC的外接圆圆心为O1,球心为O,连接OP,OB,OO1,O1B.设△ABC的外接圆半径为r,由πr2=12π,得r=2.下面简单说明圆内接三角形为等边三角形时,面积最大.当边AB确定时,要使三角形面积最大,需要点C到AB边的距离最大,此时CA=CB.同理,当BC确定时,要使三角形面积最大,需满足AB=AC.所以当△ABC为等边三角形时,△ABC的面积最大,此时=4,即AB=6,所以△ABC的最大面积为×36=9.当三棱锥P-ABC的高h=R+OO1时,三棱锥的体积最大,此时h=R+,由×9×(R+)=R,可得R=4,所以三棱锥外接球的体积为π×43=π.故选D.
8.31π　 125π　[解析] 设圆台的母线长为l,由题意知π(1+5)l=30π,解得l=5,又圆台的高h==3,所以圆台的体积V=π(1+25+1×5)×3=31π.设球O的半径为R,由12+32<52,易知球心O不在圆台的上、下底面之间,设球心O到圆台下底面的距离为d,则12+(3+d)2=52+d2,解得d=,则R2=52+d2=,故球O的表面积为4πR2=125π.
9.52π　[解析] 在△ABC中,∠BAC=,AB=AC=2,由余弦定理可得BC=
=6.设△ABC的外接圆圆心为O1,半径为r1,三棱锥外接球的球心为O,半径为r2,连接OO1,OB,O1B,在△ABC中,由正弦定理可得2r1===4,解得r1=2.因为PA⊥平面ABC,OO1⊥平面ABC,且球心O到点P,A的距离相等,所以球心O到底面ABC的距离d=OO1=PA=1.
在Rt△OBO1中,=+d2=+12=13,故该三棱锥外接球的表面积为4π=52π.
10.　[解析] 因为PA⊥平面ABC,BC 平面ABC,所以PA⊥BC,又∠ABC=90°,即AB⊥BC,AB∩AP=A,AB,AP 平面PAB,所以BC⊥平面PAB,因为BP 平面PAB,所以∠PBC=90°.因为PA⊥平面ABC,∠ABC=90°,PA=AB=BC=6,所以AC==6,PB==6,则S△PAB=×6×6=18,S△PAC=×6×6=18,S△ABC=×6×6=18,S△PBC=×6×6=18,故三棱锥P-ABC的侧面积为18+36,底面积为18,设球O的半径为r,则×r×(18+36)=VP-ABC=×18×6=36,则r==.
11.ABD　[解析] 如图所示.对于A,
正方体的棱切球球O的半径R=,则球O的表面积为4πR2=2π,故A正确;对于B,设球、正方体的体积分别为V1,V2,则球O在正方体外部的体积V>V1-V2=π×-1=π-1,故B正确;对于C,球O的半径R=,设圆柱的高为h,012.π　[解析] 由△ABC为等腰直角三角形,AC=BC=2,得△ABC的外接圆的圆心为AB的中点O1,且AO1=2,设A1B1的中点为E,连接O1E(如图),则O1E∥AA1,O1E⊥平面ABC,
设三棱锥D-ABC外接球的球心为O,外接球的半径为R,由4πR2=17π,得R=,由球的性质得球心O在O1E上,连接OA,OD,ED,设OO1=x,DE=t(0≤t≤2),于是R==,解得x=,又R=(2-x)2+t2=,解得t=,而点E到等腰直角三角形A1B1C1的两直角边的距离都是,所以动点D的轨迹是以E为圆心,为半径的半圆弧,所以动点D的轨迹长度为π.
13.π　[解析] 设上面正四棱锥为P-ABCD,下面正四棱锥为Q-ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形,连接AC,BD,设AC∩BD=O1,连接PQ,则PQ过点O1,如图,
易知AC=BD=2,∴AO1=AC=,
在Rt△PAO1中,PA=,根据勾股定理得PO1===,∴VP-ABCD=S正方形ABCD·PO1=×2×2×=,正四棱锥P-ABCD的侧面积S1=4××2×=8.在Rt△QAO1中,QA=,AO1=,根据勾股定理得QO1===2,∴VQ-ABCD=S正方形ABCD·QO1=×2×2×2=,正四棱锥Q-ABCD的侧面积S2=4××2×=12.
∴组合体的体积V=VP-ABCD+VQ-ABCD=+=,组合体的表面积S=S1+S2=20.设组合体的内切球半径为r,利用V=Sr可得=×20r,∴r=,∴组合体内切球的表面积S球=4πr2=4π=π.
14.5π　[解析] 设小球的半径为r,则小球的表面积为4πr2=,可得r=.在圆锥形容器侧面内壁,小球接触到的区域围成一个圆台的侧面,如图①中阴影部分所示.
如图②,设圆锥的轴截面为等边三角形ABC,小球与AB,AC两边相切时,球心位置为O1,切点分别为F,E,当小球与AB,BC相切时,球心位置为O2,切点分别为G,J,当小球与BC,AC相切时,球心位置为O3,切点分别为K,D,连接O1A,O1E,EF,GD,O2G,O3D.由题意得r=O1E=O2G=O3D=,AB=AC=BC=4,所以AE=AF=BG=BJ=CK=CD===1,又△AFE,△AGD都是等边三角形,所以EF=1,GD=AG=AB-BG=3,所以圆台的上、下底面圆的半径分别为=,=,母线长FG=AG-AF=3-1=2,因此圆台的侧面积为π××2=4π.在圆锥形容器底面内壁,小球接触到的区域是一个圆,圆的半径为===1,所以圆的面积为π×12=π.所以在圆锥形容器内壁上,小球能接触到的区域的总面积为4π+π=5π.

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