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第37讲　空间点、直线、平面之间的位置关系 (时间:45分钟)
1.[2026·黑龙江佳木斯模拟] 已知α,β是两个不同的平面,则下列说法错误的是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　　
A.若直线a α,直线b β,则a与b为异面直线
B.若A,B,C是平面α内不共线三点,A∈β,B∈β,则C β
C.若α∩β=l,A∈α且A∈β,则A∈l
D.若A∈α且B∈α,则直线AB α
2.已知α为平面,m,n为两条不同的直线,且m∥α,则“m∥n”是“n∥α”的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.在空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上分别取点E,F,G,H,若直线EF,GH相交于点P,则 (　 )
A.点P必在直线AC上
B.点P必在直线BD上
C.点P必在平面ABD内
D.点P必在平面BCD内
4.设l,m,n表示不同的直线,α,β,γ表示不同的平面,则下列结论正确的是 (　 )
A.若α⊥β,γ⊥β,则α⊥γ
B.若l∥m,m⊥α,则l⊥α
C.若m⊥n,m⊥α,n∥β,则α⊥β
D.若α⊥β,m∥α,n⊥β,则m∥n
5.[2025·福建福州联考] 如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AA1,AB的中点,则下列直线中与EF异面的是 (　 )
A.A1B1 B.CC1 C.CD1 D.BB1
6.如图,在棱长为2的正方体中,A,B,C均为顶点,P为所在棱的中点, 若PC∥平面α,且A,B均在平面α内,则平面α截正方体所得图形的面积为 (　 )
A.2 B.4
C.2 D.4
7.[2026·河南安阳期末] 如图, 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,P,Q分别在B1C,C1D1上,且B1P=3PC,D1Q=2QC1,过B,P,Q三点的平面截该正方体,则所截得的截面图形的最长边的边长为 (　 )
A. B.
C. D.
8.已知圆柱的底面半径为1,高为3,A,B分别为该圆柱上、下底面圆周上的动点.若直线AB和该圆柱的轴是异面直线,则线段AB长度的取值范围是　　　　.
9.如图所示,在四面体ABCD中作截面PQR,若PQ与CB的延长线交于点M,RQ与DB的延长线交于点N,RP与DC的延长线交于点K.给出以下结论:
①直线MN 平面PQR;
②点K在直线MN上;
③M,N,K,A四点共面.
其中正确结论的序号为　　　　.
10.[2026·陕西汉中联考] 如图所示的几何体是由等高的半个圆柱和一个直三棱柱拼接而成,其中AB=AF=2,AB⊥AF,点G为弧CD的中点,且C,G,D,E四点共面.证明:D,G,B,F四点共面.
11.(多选题)如图是棱长为2的正方体的平面展开图,其中G是CD的中点,在这个正方体中,下列结论正确的是 (　 )
A.BM与ED平行
B.CN⊥AF
C.直线AB,EN,CM中,任意两条都是异面直线
D.过B,N,G三点的平面截该正方体所得截面的面积为2
　　
12.(多选题)[2026·山东青岛调研] 如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,AA1,BB1,CC1,DD1都垂直于底面ABCD,且DD1=AA1=CC1=3BB1=3,点E在线段CC1上,平面BED1交线段AA1于点F,则(　 )
A.A1,B1,C1,D1四点共面
B.该几何体的体积为6
C.过四点A1,C1,B,D四点的外接球表面积为12π
D.截面四边形BED1F的周长的最小值为8
13.[2025·云南曲靖期末] 在棱长为12的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为D1C1,D1A1上的点,且满足 D1M=8,D1N=8,平面BNM与正方体各表面的交线所围成的多边形的形状为　　　　,该多边形的周长为　　　　.
14.如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AB,BC上的点(异于端点),且AE=FC.证明:A1E与C1F相交且交点在直线BB1上.第37讲　空间点、直线、平面之间的位置关系
1.A　[解析] 对于A,若直线a α,直线b β,则a与b可能平行、相交或异面,故A中说法错误;对于B,由基本事实及A∈β,B∈β,可得AB β,因为A,B,C不共线,所以确定平面α,若C∈β,则平面α,β重合,与α,β是两个不同的平面矛盾,故C β,故B中说法正确;对于C,根据基本事实,如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线,所以A∈l,故C中说法正确;对于D, 根据基本事实,如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内,所以AB α,故D中说法正确.故选A.
2.D　[解析] 若m∥n,m∥α,则n∥α或n α,充分性不成立;若m∥α,n∥α,则m和n相交、平行或异面,必要性不成立.所以“m∥n”是“n∥α”的既不充分也不必要条件.故选D.
3.A　[解析] 如图,∵EF在平面ABC上,而GH在平面ADC上,且EF,GH相交于点P,∴P在平面ABC与平面ADC的交线上,∵AC是平面ABC与平面ADC的交线,所以点P必在直线AC上.故选A.
4.B　[解析] 对于A,因为垂直于同一平面的两个平面的位置关系不能确定,故A错误;对于B,若两条直线平行,其中一条直线垂直于一个平面,则另一条直线也垂直于这个平面,故B正确;对于C,当m⊥n,m⊥α,n∥β时,平面α,β的位置关系不能确定,故C错误;对于D,如图,
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD⊥平面BCC1B1,AA1⊥平面ABCD,A1D1∥平面BCC1B1,且AA1⊥A1D1,所以当两个平面互相垂直时,一个平面的垂线与另一个平面的平行线未必平行,故D错误.故选B.
5.B　[解析] 由图可知A1B1,BB1与EF均在平面ABB1A1内,故A,D不符合题意;因为CC1 平面CDD1C1,EF 平面ABB1A1,平面CDD1C1∥平面ABB1A1,所以CC1与EF不相交,又CC1∥AA1,EF与AA1相交,所以EF与CC1不平行,则EF与CC1异面,故B符合题意;连接A1B,因为A1D1∥BC,A1D1=BC,所以四边形A1BCD1为平行四边形,则CD1∥A1B,又EF∥A1B,所以EF∥CD1,故C不符合题意.故选B.
6.C　[解析] 如图,取H,F分别为所在棱的中点,连接AH,HF,FB,AF,易知四边形APCF为平行四边形,所以AF∥PC,又AF 平面ABFH,PC 平面ABFH,所以PC∥平面ABFH,所以平面ABFH即为平面α,平面α截正方体所得图形为平行四边形ABFH.因为正方体棱长为2,所以AH=BF==,AB=HF=2,AF=PC==3,所以AH2+HF2=AF2,所以平行四边形ABFH为矩形,所以S矩形ABFH=AH·HF=×2=2.故选C.
7.B　[解析] 如图,延长BP交CC1于点R,则==,即R为CC1上靠近C的三等分点,连接QR,取A1B1的中点H,连接BH,QH,则BH∥QR,所以B,H,Q,R四点共面,故梯形QRBH即为截面图形,显然BH为最长边,BH==.故选B.
8.(3,)　[解析] 如图,O,O'分别为圆柱上、下底面的圆心,CD=AE=OO'=3,AC=DE=2,当B与E重合时线段AB的长度取得最小值3,当B与D重合时线段AB的长度取得最大值=,又AB与OO'为异面直线,即点B不能与D,E重合,所以线段AB长度的取值范围是(3,).
9.①②③　[解析] 由题意知,M∈PQ,N∈RQ,K∈RP,从而点M,N,K∈平面PQR,所以直线MN 平面PQR,故①正确;同理可得点M,N,K∈平面BCD,从而点M,N,K在平面PQR与平面BCD的交线上,即点K在直线MN上,故②正确;因为A 直线MN,从而点M,N,K,A四点共面,故③正确.故正确结论的序号是①②③.
10.证明:方法一:连接DG,如图①,因为AB⊥AF,AF=AB,
所以直三棱柱的底面为等腰直角三角形,∠DCE=45°,
在半圆DGC上,G是弧CD的中点,所以∠GDC=45°,所以DG∥EC,又EC∥FB,
所以DG∥FB,所以D,G,B,F四点共面.
方法二:在直三棱柱中,AB⊥AF,以A为原点,建立如图②所示的空间直角坐标系A-xyz,因为AF=AB=2,设AD=h,所以A(0,0,0),B(0,2,0),F(2,0,0),D(0,0,h),G(-1,1,h),连接DG,则=(-1,1,0),=(-2,2,0),所以=2,所以DG∥FB,所以D,G,B,F四点共面.
11.BCD　[解析] 还原正方体,如图①,
对于A,连接AN,由BM∥AN,AN⊥DE,得BM⊥DE,故A错误;对于B,连接EB,由CN∥EB,EB⊥AF得CN⊥AF,故B正确;对于C,由CM∥BF,EN∥AD,得AB,EN,CM两两异面,故C正确;对于D,取EF的中点H,连接NH,BH,HG,BG,如图②,
由H,G分别为EF,CD的中点,得NH=BH=BG=NG==,所以四边形NHBG为菱形,即N,H,B,G共面,故菱形NHBG为所求截面,连接BN,易知BN==2,HG==2,所以截面面积为×2×2=2,故D正确.故选BCD.
12.AC　[解析] 对于A,如图①,取AA1的中点M,取DD1上靠近D1的三等分点为N,连接C1N,NM,MB1,
易知四边形NMB1C1为平行四边形,四边形NMA1D1为平行四边形,所以MN∥A1D1,MN∥B1C1,则B1C1∥A1D1,所以A1,B1,C1,D1四点共面,故A正确;对于B,由对称性知,此几何体的体积是底面为边长为2的正方形,高为4的长方体体积的一半,所以该几何体的体积V=2×2×4×=8,故B错误;对于C,如图②,过点A1,C1,B,D构造正方体ABCD-A1B2C1D2,
所以过四点A1,C1,B,D四点的外接球的直径为正方体ABCD-A1B2C1D2的体对角线,所以2R=2(其中R为外接球的半径),则R=,所以所求外接球的表面积为4πR2=12π,故C正确;对于D,由题意得,平面ADD1A1∥平面BCC1B1,平面ADD1A1∩平面BED1F=D1F,平面BCC1B1∩平面BED1F=BE,所以D1F∥BE,同理可得BF∥D1E,所以四边形BED1F为平行四边形,其周长l=2(BE+ED1),将面DCC1D1沿CC1所在直线翻折到与面B1BCC1共面(DD1与BB1在CC1的两侧),当B,E,D1三点共线时,BE+ED1最小,最小值为5,所以周长l的最小值为10,故D错误.故选AC.
13.五边形　40+8　[解析] 如图,连接MN,A1C1,AC,过点B在平面ABCD内作EF∥AC,分别交DA,DC的延长线于点E,F,连接MF,NE,分别交CC1,AA1于点H,G,连接GB,BH,所以五边形NMHBG为平面BNM与正方体各表面的交线所围成的多边形.
过点M作MO⊥CD,过点N作NP⊥AD,所以NP=MO=12,
由正方体ABCD-A1B1C1D1,知A1C1∥AC,因为D1M=8,D1N=8,所以===,所以N为D1A1上靠近A1的三等分点,M为D1C1上靠近C1的三等分点,所以A1N=C1M=4,因为∠A1D1C1=90°,所以根据勾股定理可得MN=8.因为AC∥EF,AC为面对角线,所以∠AEB=∠DAC=45°,又因为∠EAB=90°,所以△EAB为等腰直角三角形,所以AB=AE=12,同理BC=CF=12.又因为GA⊥AD,NP⊥AD,所以GA∥NP,所以△EAG与△EPN相似,因为EP=EA+AP=16,所以===,所以GA=9.同理△FCH与△FOM相似,所以CH=9,所以A1G=C1H=3,所以根据勾股定理可得NG=MH=5,BG=BH=15,
所以五边形NMHBG的周长为NM+NG+BG+BH+MH=40+8.
14.证明:连接AC,因为AE=FC,所以BE=BF,=,所以EF∥AC∥A1C1,因为E,F分别是棱AB,BC上异于端点的点,所以EF所以P∈BB1,即A1E与C1F的交点在直线BB1上.

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