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第38讲　直线、平面平行的判定与性质
1.D　[解析] 对于A,a∥α,b α,则b,a平行或异面,故错误;对于B,a∥α,α∥β,则a∥β或a β,故错误;对于C,a∥α,b∥α,则b,a可能平行、相交、异面,故错误;对于D,a∥α,则平面α中必存在一条直线l∥a,因为a∥b,所以l∥b,又b α,l α,所以b∥α,故正确.故选D.
2.C　[解析] 由BC∥AD,BC 平面PAD,AD 平面PAD,得BC∥平面PAD.由BC∥平面PAD,BC 平面ABCD,平面ABCD∩平面PAD=AD,得BC∥AD.故“BC∥AD”是“BC∥平面PAD”的充要条件.故选C.
3.B　[解析] 连接AC交BD于点E,连接MN,EN,A'C',如图,因为M,N分别是A'D',D'C'的中点,
所以MN∥A'C'∥AC,即MN∥AE,且2MN=A'C'=AC=2AE,即MN=AE,则四边形AENM为平行四边形,故AM∥EN,由AM 平面BND,EN 平面BND,得AM∥平面BND.故选B.
4.A　[解析] 连接AC,设点M是对角线AC上一点,满足=,连接EM,FM,则EM∥PC,又EM 平面PCD,PC 平面PCD,所以EM∥平面PCD,所以要使EF∥平面PCD,需使平面EMF∥平面PCD,即需使MF∥DC.对于A,在四边形ABCD中,由AB∥CD,==,可得MF∥AB∥DC,故A正确.对于B,因为==,所以MF∥AB.因为AD与BC不一定相等,所以四边形ABCD不一定是平行四边形,所以得不到MF∥DC,故B错误.对于C,因为BC∥平面PAD,BC 平面ABCD,平面ABCD∩平面PAD=AD,所以BC∥AD,结合B项分析,可得C错误.对于D,结合B项分析,由AB=AD,BC=CD不能得到AB∥CD,所以得不到MF∥DC,故D错误.故选A.
5.C　[解析] 取AC的中点G,连接SG,BG,如图.因为△ABC是正三角形,所以BG⊥AC.又几何体S-ABC是正三棱锥,所以SA=SC,则SG⊥AC,又BG,SG 平面SGB,BG∩SG=G,所以AC⊥平面SGB,因为SB 平面SGB,所以AC⊥SB.因为SB∥平面DEFH,SB 平面SAB,平面SAB∩平面DEFH=HD,所以SB∥HD,同理SB∥FE.又D,E分别为AB,BC的中点,所以H,F分别为AS,SC的中点,则HF∥AC∥DE,且HF=AC,DE=AC,即HF∥DE且HF=DE,所以四边形DEFH为平行四边形.又AC⊥SB,SB∥HD,DE∥AC,所以DE⊥HD,所以四边形DEFH为矩形.故选C.
6.D　[解析] 连接AC交BE于点G,连接FG,如图.因为PA∥平面EBF,PA 平面PAC,平面PAC∩ 平面BEF=FG,所以PA∥FG,=.又AD∥BC,E为AD 的中点,所以==,所以=.故选D.
7.D　[解析] 对于①,假设平面PAB内存在直线m与DC平行,又DC 平面PAB,m 平面PAB,所以DC∥平面PAB,又平面ABCD∩平面PAB=AB,所以DC∥AB,与题干矛盾,假设不成立,即在平面PAB内不存在直线与DC平行,故①正确;对于②,设平面PAB∩平面PDC=l,则l 平面PAB,所以在平面PAB内存在无数条直线与直线l平行,这无数条直线也与平面PDC平行,故②正确;对于③,假设交线l∥平面ABCD,又l 平面PAB,平面PAB∩平面ABCD=AB,所以l∥AB,同理可得l∥CD,则AB∥CD,与题干矛盾,假设不成立,即平面PAB与平面PDC的交线与底面ABCD不平行,故③正确.故选D.
8.C　[解析] 因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱,CD∥AB,所以平面ABB1A1∥平面DCC1D1,又平面AMC1N∩平面DCC1D1=C1N,平面AMC1N∩平面ABB1A1=AM,所以AM∥C1N,又C1D1∥CD∥AB,所以∠D1C1N=∠BAM,故Rt△C1D1N∽Rt△ABM,故=,又AB=BB1=C1D1=6,=λ(0<λ<1),所以BM=,则=,故D1N=,则DN=6-=,故选C.
9.　[解析] 如图,设M,N分别是棱A1B1,A1D1的中点,连接AM,AN,MN,B1D1,NE,
则MN∥B1D1∥EF,因为MN 平面BDFE, FE 平面BDFE,所以MN∥平面BDFE.又因为NE∥A1B1∥AB,NE=A1B1=AB,所以NE∥AB,NE=AB,可得四边形ABEN为平行四边形,则AN∥BE,又AN 平面BDFE, BE 平面BDFE,所以AN∥平面BDFE,又MN∩AN=N,MN,AN 平面AMN,所以平面AMN∥平面BDFE,则平面α截该正方体所得截面为△AMN,因为AM=AN=,MN=,所以△AMN的面积为××=.
10.证明:(1)取B1D1的中点E,连接A1E,CE,如图,则易知A1E=OC,A1E∥OC,所以四边形COA1E为平行四边形,所以A1O∥EC.因为EC 平面B1CD1,A1O 平面B1CD1,所以A1O∥平面B1CD1.
(2)因为BD∥B1D1,B1D1 平面B1CD1,BD 平面B1CD1,所以BD∥平面B1CD1.由(1)知,A1O∥平面B1CD1.因为A1O∩BD=O,A1O,BD 平面A1BD,所以平面A1BD∥平面B1CD1.
11.A　[解析] 取DC,DD1的中点分别为M,N,连接MN,EM,AM,AN,CD1,如图,
在正方形D1DCC1中,因为E,M分别为D1C1,CD的中点,所以EM∥DD1且EM=DD1,由正方体ABCD-A1B1C1D1可得AA1∥DD1且AA1=DD1,所以EM∥AA1,AA1=EM,故四边形EMAA1为平行四边形,则A1E∥AM,又A1E 平面A1EF,AM 平面A1EF,所以AM∥平面A1EF.因为M,N,E,F分别为CD,DD1,C1D1,CC1的中点,所以MN∥D1C∥EF.又MN 平面A1EF,EF 平面A1EF,所以MN∥平面A1EF.因为MN∩AM=M,MN,AM 平面AMN,所以平面AMN∥平面A1EF,而平面AMN∩平面DCC1D1=MN,结合AG∥平面A1EF,得点G的轨迹为线段MN,其长度为,故选A.
12.BC　[解析] 对于A,如图①,设P为AE的中点,底面GFEB为平行四边形,连接NP,PB,
设NP交AC于点H,连接BH,则NP∥FE,NP=FE,又MB∥EF,MB=EF,所以NP∥MB,NP=MB,则四边形NPBM为平行四边形,故MN∥BP,假设MN∥平面ABC,因为MN 平面NPBM,MN 平面ABC,平面NPBM∩平面ABC=BH,所以MN∥BH,在平面NPBM内过点B有两条直线和MN平行,这是不可能的,因此MN与平面ABC不平行,故A错误.对于B,如图②,设P为AB的中点,底面BCFE为平行四边形,连接MP,PC,
则MP∥EB,MP=EB,又NC∥EB,NC=EB,所以MP∥NC,MP=NC,所以四边形MPCN为平行四边形,故PC∥MN,而PC 平面ABC,MN 平面ABC,所以MN∥平面ABC,故B正确.对于C,如图③,设P为AB的中点,底面BCFE为平行四边形,连接PM,PC,
则PM∥BE,PM=BE,又CN∥BE,CN=BE,所以PM∥CN,PM=CN,则四边形PCNM为平行四边形,故MN∥PC,又PC 平面ABC,MN 平面ABC,所以MN∥平面ABC,故C正确.对于D,如图④,设底面ANEF为平行四边形,连接AE,FN交于点H,FN,AC交于点G,
则H为FN的中点,连接BH,BG,因为B为MF的中点,所以BH∥MN.假设MN∥平面ABC,因为MN 平面MNF,MN 平面ABC,平面MNF∩平面ABC=BG,所以MN∥BG,在平面MNF内过点B有两条直线和MN平行,这是不可能的,因此MN与平面ABC不平行,故D错误.故选BC.
13.2　[解析] 如图,作ME∥CB交BB1于点E,作NF∥DA交AB于点F,连接EF.
因为BC∥AD,所以ME∥NF,所以M,E,F,N四点共面.因为MN∥平面AA1B1B,平面AA1B1B∩平面MNFE=EF,所以MN∥EF,所以四边形MEFN为平行四边形,所以ME=NF.因为=,=,BC=AD,所以=,又B1C=BD,所以BN=B1M.因为B1C=BC=3,CM=,所以B1M=2,故BN=2.
14.解:(1)证明:因为=λ,=λ,所以=,故EF∥AA1,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1∥BB1,所以EF∥BB1,因为EF 平面BCC1B1,BB1 平面BCC1B1,所以EF∥平面BCC1B1.
(2)如图,线段BC1上存在点G,满足=λ时,即可使平面EFG∥平面ABB1A1,理由如下:
因为=λ,所以=,则EG∥AB,因为AB 平面ABB1A1, EG 平面ABB1A1,所以EG∥平面ABB1A1,由(1)得EF∥AA1,因为AA1 平面ABB1A1, EF 平面ABB1A1,所以EF∥平面ABB1A1,又EG∩EF=E,EG,EF 平面EFG,所以平面EFG∥平面ABB1A1.第38讲　直线、平面平行的判定与性质 (时间:45分钟)
1.[2026·湖南怀化三中质检] 已知直线a,b和平面α,β,且a∥α,则下列说法正确的是 (　 )　　　　　　 　　　　　　　　　　
A.若b α,则b∥a
B.若α∥β,则a∥β
C.若b∥α,则b∥a
D.若a∥b,b α,则b∥α
2.在四棱锥P-ABCD中,“BC∥AD”是“BC∥平面PAD”的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,M,N分别是A'D',D'C'的中点,则直线AM与平面BND的位置关系是 (　 )
A.垂直
B.平行
C.相交但不垂直
D.无法确定
4.[2026·辽宁沈阳二中模拟] 在四棱锥P-ABCD中,E,F分别是线段AP,BC上的点,=,则下列条件可以确定EF∥平面PCD的是 (　 )
A.AB∥CD
B.AD∥BC
C.BC∥平面PAD
D.AB=AD,CB=CD
5.[2026·黑龙江绥化期末] 在正三棱锥S-ABC中,平面DEFH分别与AB,BC,SC,SA交于点D,E,F,H,其中D,E分别是AB,BC的中点.如果直线SB∥平面DEFH,那么四边形DEFH是 (　 )
A.梯形 B.菱形
C.矩形 D.正方形
6.如图,P为平行四边形ABCD所在平面外一点,E为AD的中点,F为PC上一点,当PA∥平面EBF时,= (　 )
A. B.
C. D.
7.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面四边形ABCD的两组对边均不平行.给出下列说法:
①在平面PAB内不存在直线与DC平行;
②在平面PAB内存在无数多条直线与平面PDC平行;
③平面PAB与平面PDC的交线与底面ABCD不平行.
其中正确说法的个数为 (　 )
A.0 B.1
C.2 D.3
8.已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为梯形,AB=BB1=C1D1=6,CD∥AB,=λ(0<λ<1),若DD1∩平面AC1M=N,则DN= (　 )
A. B.
C. D.
9.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱B1C1,C1D1的中点,过顶点A且与平面BDFE平行的平面记为α,则α截该正方体所得截面的面积为　　　　.
10.[2026·陕西汉中期末] 由正方体ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示,O为AC与BD的交点.
(1)求证:A1O∥平面B1CD1;
(2)求证:平面A1BD∥平面B1CD1.
11. [2025·浙江宁波期末] 如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱C1D1的中点,F为棱CC1的中点,点G在侧面CC1D1D上运动(含边界),若AG∥平面A1EF,则点G的轨迹长度为 (　 )
A. B. C.2 D.1
12.(多选题)[2026·江西南昌模拟] 在下列底面为平行四边形的四棱锥中,A,B,C,M,N是四棱锥的顶点或棱的中点,则MN∥平面ABC的有 (　 )
A　　B
C　　D
13. 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,点N在BD上,点M在B1C上,且CM=,MN∥平面AA1B1B,则BN的长为　　　　.
14.[2025·四川成都期末] 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别为线段AC1,A1C1上的点,=λ,=λ,λ∈(0,1).
(1)求证:EF∥平面BCC1B1.
(2)在线段BC1上是否存在一点G,使平面EFG∥平面ABB1A1 请说明理由.

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