资源简介

第39讲　直线、平面垂直的判定与性质 (时间:45分钟)
1.[2026·河北张家口质检] 已知α是一个平面,a,b是两条不同的直线,b α,p:a⊥α,q:a⊥b,则p是q的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.设l,m,n表示不同的直线,α,β,γ表示不同的平面,则下列说法中正确的是 (　 )
A.若α⊥β,γ⊥β,则α∥γ
B.若l∥m,且m⊥α,则l⊥α
C.若α⊥β,m∥α,n⊥β,则m⊥n
D.若m⊥n,m⊥α,n∥β,则α⊥β
3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与AD1垂直的平面是 (　 )
A.平面DD1C1C B.平面A1DB1
C.平面A1B1C1D1 D.平面A1DB
4.在正四棱锥S-ABCD中,E,F,G分别是棱AB,BC,SB的中点,O是底面ABCD的中心,则(　 )
A.SD∥平面EFG
B.SD⊥平面EFG
C.SO∥平面EFG
D.SO⊥平面EFG
5.[2026·浙江慈溪期末] 已知正四面体ABCD的棱长为2,点E是BC的中点,点P在正四面体表面上运动,并且总保持PE⊥BC,则动点P的轨迹长度为 (　 )
A.4 B.3
C.4+ D.2+2
6.如图所示,在三棱锥P-ABC中,平面ABC⊥平面PAB,PA=PB,AD=DB,则 (　 )
A.PD 平面ABC
B.PD∥平面ABC
C.PD与平面ABC相交但不垂直
D.平面CPD⊥平面ABC
7.(多选题)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分别为所在棱的中点,P为下底面的中心,则 (　 )
A.平面EFC1⊥平面AA1C1
B.MP⊥A1D
C.MP⊥C1D
D.EF∥平面AD1B1
8.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,当底面ABCD满足条件　　　　 时,有A1C⊥B1D1.(只需填写一种正确条件即可)
9.在三棱锥P-ABC中,三条侧棱PA=PB=PC,则顶点P在平面ABC内的射影O是△ABC的　　　　.(填“内心”“外心”“重心”“垂心”)
10.[2026·广东广州质检] 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,AB=2,BC=4,△PAD为等边三角形,平面PAD⊥平面ABCD,E为PB的中点.证明:平面PAD⊥平面PAB.
11.在正方体ABCD-A'B'C'D'中,O为底面ABCD的中心,P为棱AA'的中点,则下列说法正确的是 (　 )
A.A'C'⊥OP B.A'B⊥OP
C.AB'⊥OP D.B'C⊥OP
12.(多选题)[2025·吉林白城调研] 如图,AC为圆O的直径,∠PCA=45°,PA垂直于圆O所在的平面,B为圆周上不与点A,C重合的点,AS⊥PC,AN⊥PB, 则下列结论正确的是(　 )
A.平面ANS⊥平面PBC
B.平面ANS⊥平面PAB
C.平面PAB⊥平面PBC
D.平面ABC⊥平面PAC
13.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,F是CC1的中点,点P为正方形ABCD内(含边界)动点,若D1P⊥AF,则D1P的最小值是　　　　.
14.如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.
(1)求证:平面PDC⊥平面PAC.
(2)设M是PA上任意一点,证明:CM⊥AB.
(3)点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF 并说明理由.第39讲　直线、平面垂直的判定与性质
1.A　[解析] 若a⊥α,由b α,得a⊥b;若a⊥b,则a与α可能垂直、可能相交也可能平行,还有可能a 平面α.故p是q的充分不必要条件.故选A.
2.B　[解析] 对于A,若α⊥β,γ⊥β,则α与γ可能会相交或平行,故A错误;对于B,若l∥m,且m⊥α,则根据线面垂直的性质可知l⊥α,故B正确;对于C,若α⊥β,m∥α,n⊥β,则m,n可能平行、相交或异面,故C错误;对于D,若m⊥n,m⊥α,n∥β,则α与β可能相交或平行,故D错误.故选B.
3.B　[解析] 如图,连接A1D,DB1,由正方形A1D1DA得A1D⊥AD1,又A1B1⊥平面A1D1DA,AD1 平面A1D1DA,所以A1B1⊥AD1,因为A1D∩A1B1=A1,A1D 平面A1DB1,A1B1 平面A1DB1,所以AD1⊥平面A1DB1.其他选项均不符合题意,故选B.
4.C　[解析] 如图,连接AC,BD,在正四棱锥S-ABCD中,AC∩BD=O,设BD∩EF=M,连接GM,在△ABC中,由E,F分别是边AB,BC的中点,得EF∥AC,M是线段OB的中点,因为G为SB的中点,所以GM∥SO,又SO 平面EFG,GM 平面EFG,所以SO∥平面EFG,故C正确,D错误;由SO⊥平面ABCD,DO 平面ABCD,得SO⊥DO,SD与SO相交但不垂直,因为GM∥SO,且GM,SO,SD 平面SDB,所以SD与GM相交不垂直,故A,B错误.故选C.
5.D　[解析] 如图,连接AE,DE,因为AB=AC,DB=DC,所以AE⊥BC,DE⊥BC,又AE∩DE=E,AE,DE 平面ADE,所以BC⊥平面ADE,
因为点P 始终保持 PE⊥BC,且 P 在正四面体表面运动,所以P的轨迹为平面ADE 与正四面体表面的交线,即△ADE的三边.易知△ADE为等腰三角形,其中 AD 为底边,长为2,AE 和 DE 为腰,长均为=,因此点P的轨迹长度为2+2.故选D.
6.D　[解析] 对于A,B,因为P 平面ABC,D∈平面ABC,所以PD∩平面ABC=D,故A,B错误;对于C,D,因为PA=PB,AD=DB,所以PD⊥AB,因为平面ABC⊥平面PAB,平面ABC∩平面PAB=AB,PD 平面PAB,所以PD⊥平面ABC,又PD 平面CPD,所以平面CPD⊥平面ABC,故C错误,D正确.故选D.
7.ABD　[解析] 如图①,连接AC,平面AA1C1即为平面AA1C1C,由正方体性质可得EF⊥AC,AA1⊥平面ABCD,因为EF 平面ABCD,所以AA1⊥EF,又AA1∩AC=A,AA1,AC 平面AA1C1C,所以EF⊥平面AA1C1C,又EF 平面EFC1,所以平面EFC1⊥平面AA1C1C,故A正确.
如图②,取A1D1的中点N,连接MN,PN,易得MN⊥A1D,NP⊥平面A1D1DA,因为A1D 平面A1D1DA,所以NP⊥A1D,又MN∩NP=N,MN,NP 平面MNP,所以A1D⊥平面MNP,又MP 平面MNP,所以MP⊥A1D,故B正确;
如图③,易得MP∥AC1,则判断MP⊥C1D,即判断AC1⊥C1D,又AD⊥C1D,所以△ADC1是以∠ADC1为直角的直角三角形,则AC1与C1D不垂直,即MP与C1D不垂直,故C错误;
连接BD,易知EF∥DB,DB∥D1B1,所以EF∥D1B1,又EF 平面AD1B1,D1B1 平面AD1B1,所以EF∥平面AD1B1,D正确.故选ABD.
8.AC⊥BD(答案不唯一)　[解析] 连接AC,BD,A1C1,根据直四棱柱ABCD-A1B1C1D1可得BB1∥DD1,且BB1=DD1,所以四边形BB1D1D是矩形,所以BD∥B1D1,同理可证AC∥A1C1.当AC⊥BD时,可得A1C1⊥B1D1,因为CC1⊥平面A1B1C1D1,B1D1 平面A1B1C1D1,所以CC1⊥B1D1,又A1C1∩CC1=C1,A1C1,CC1 平面A1C1CA,所以B1D1⊥平面A1C1CA,因为A1C 平面A1C1CA,所以A1C⊥B1D1,所以当AC⊥BD时满足题意.
9.外心　[解析] 如图,顶点P在底面ABC内的射影为O,则PO⊥平面ABC,连接OA,OB,OC,
∵ OA,OB,OC在平面ABC内,∴ PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC,
∴ △POA,△POB,△POC都是直角三角形,∵ PA=PB=PC,∴ △POA,△POB和△POC三个三角形全等,∴ OA=OB=OC,∴ O为△ABC的外心.
10.证明:如图所示,取AD的中点F,连接PF,
因为△PAD为等边三角形,所以PF⊥AD,因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PF 平面PAD,所以PF⊥平面ABCD,因为BA 平面ABCD,所以PF⊥BA.因为底面ABCD为矩形,所以BA⊥AD,因为PF∩AD=F,PF 平面PAD,AD 平面PAD,所以BA⊥平面PAD,因为BA 平面PAB,所以平面PAB⊥面PAD.
11.C　[解析] 如图,连接A'C,易得OP∥A'C,在平面AA'C'C中,A'C与A'C'不垂直,故A'C'与OP不垂直,同理B'C与OP不垂直,故A错误,D错误.在正方体ABCD-A'B'C'D'中,BC⊥平面AA'B'B,A'B 平面AA'B'B,所以BC⊥A'B,假设A'B⊥OP,则 A'B⊥A'C,这与BC⊥A'B矛盾,故假设不成立,所以A'B与OP不垂直,故B错误.因为BC⊥平面AA'B'B,B'A 平面AA'B'B,所以BC⊥AB',又A'B⊥AB',BC∩A'B=B,所以AB'⊥平面A'BC,又A'C 平面A'BC,所以AB'⊥A'C,即AB'⊥OP,C正确.故选C.
12.ACD　[解析] 由PA⊥平面ABC,PA 平面PAC,得平面ABC⊥平面PAC,故D正确.由BC 平面ABC,PA⊥平面ABC,得PA⊥BC,又AC为圆O的直径,B为圆周上不与点A,C重合的点,所以AB⊥BC,又PA∩AB=A,PA,AB 平面PAB,所以BC⊥平面PAB,又BC 平面PBC,所以平面PAB⊥平面PBC,故C正确.由AN 平面PAB,BC⊥平面PAB,得BC⊥AN,又AN⊥PB,BC∩PB=B,BC,PB 平面PBC,所以AN⊥平面PBC,又PC 平面PBC,所以AN⊥PC,又PC⊥AS,AS∩AN=A,AS,AN 平面ANS,所以PC⊥平面ANS,又PC 平面PBC,所以平面ANS⊥平面PBC,故A正确.对于B,平面ANS∩平面PAB=AN,PB 平面PAB,AN⊥PB,假设平面ANS⊥平面PAB,则必有PB⊥平面ANS,而SN 平面ANS,则必有PB⊥SN,因为CB⊥平面PAB,PB 平面PAB,所以CB⊥PB,又SN,BC 平面PBC,所以SN∥BC.因为PA垂直于圆O所在的平面,∠PCA=45°,所以PA=AC,又AS⊥PC,所以S为PC的中点.因为线段AC是圆O的直径,B为圆周上不与点A,C重合的点,AB13.　[解析] 取CD,BC的中点分别为M,N,连接D1M,D1N,MN,BD,AC,DF,如图,易知BD∥MN,因为AC⊥BD,所以AC⊥MN,因为CF⊥平面ABCD,MN 平面ABCD,所以CF⊥MN,因为AC∩CF=C,AC,CF 平面ACF,所以MN⊥平面ACF,因为AF 平面ACF,所以MN⊥AF.因为DM=CF=1,DD1=CD=2,∠D1DC=∠C1CD=90°,所以△D1DM≌△DCF,故∠D1MD=∠DFC,所以∠D1MD+∠CDF=∠DFC+∠CDF=90°,故D1M⊥DF,因为AD⊥平面D1DCC1,D1M 平面D1DCC1,所以AD⊥D1M,因为DF∩AD=D,DF,AD 平面ADF,所以D1M⊥平面ADF,因为AF 平面ADF,所以D1M⊥AF,因为MN∩D1M=M,MN,D1M 平面MND1,所以AF⊥平面MND1,当点P在线段MN上时,D1P 平面MND1,此时D1P⊥AF.D1M==,MN=,D1N===3,因为cos∠D1MN==<0,所以∠D1MN为钝角,则D1P的最小值为.
14.解:(1)证明:由题意,因为PC⊥平面ABCD,且DC 平面ABCD,所以PC⊥DC,又DC⊥AC,PC∩AC=C,PC,AC 平面PAC,所以DC⊥平面PAC.又DC 平面PDC,所以平面PDC⊥平面PAC.
(2)证明:由(1)得DC⊥平面PAC,因为AB∥DC,所以AB⊥平面PAC,又CM 平面PAC,所以AB⊥CM.
(3)当F为PB的中点时,PA∥平面CEF,证明如下,因为F为PB的中点,E为AB的中点,所以EF∥PA,又EF 平面CEF,PA 平面CEF,所以PA∥平面CEF.

展开更多......

收起↑