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第40讲　空间向量及其运算和空间位置关系 (时间:45分钟)
1.在空间直角坐标系中,已知点A(1,0,1),B(3,2,2),点D满足=2,则点D的坐标是 (　 )　　　　　 　　　　　　　　　　
A.(5,4,3) B.(3,4,3)
C.(4,3,2) D.(1,2,3)
2.已知空间向量a=(m,-1,3),b=,若a∥b,则m+n= (　 )
A.- B.- C. D.
3.已知向量a=(1,2,2),b=(-2,1,1),则a在b上的投影向量为 (　 )
A. B.
C. D.
4.已知直线l经过点A(-1,2,5)与点B(1,-1,n),向量a=(-2,m,m)是直线l的一个方向向量,则n= (　 )
A.-3 B.-2
C.2 D.3
5.[2025·四川泸州期末] 在四面体OABC中,=a,=b,=c,且=2,=,则等于 (　 )
A.a-b+c B.-a+b+c
C.a+b-c D.a+b-c
6.[2026·江苏南通期末] 已知A,B,C三点不共线,点O在平面ABC外,点P满足=x++,则当点P,A,B,C共面时,实数x= (　 )
A.- B.-
C. D.
7.[2026·四川宜宾期末] 如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°,则·的值为 (　 )
A.1 B.
C. D.-1
8.已知=(2,1,3),=(-2,1,x),且OA⊥OB,则||=　　　　.
9.在正四面体ABCD中,点N是△ABC的中心,若=λ+μ+v(λ,μ,v∈R),则λ+μ+v=　　　　.
10.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别为A1B1,A1A的中点.
(1)求BN;
(2)求证:是平面C1MN的一个法向量.
11.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为棱A1A的中点,点Q在底面正方形ABCD内(包含边界)运动,满足·=1,则点Q的轨迹长度为 (　 )
A. B.π C.2π D.3π
12.如图,在三棱锥S-ABC中,点G为底面三角形ABC的重心,点M是线段SG的中点,过点M的平面分别交SA,SB,SC于点D,E,F,若=k,=m,=n,则++= (　 )
A.3 B.6
C.9 D.12
13.(多选题)[2025·山东潍坊二模] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱A1D1,AB的中点,则 (　 )
A.EF与BC异面
B.EF∥平面CDD1C1
C.EF⊥AC
D.BD⊥平面EFC1
14.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥AC,PD=AB=AC=PA,AD=DC,E为PB的中点.
(1)求证:平面PAD⊥平面PCD.
(2)试问在棱CD上是否存在点Q,使PQ⊥AE 若存在,指出点Q位置,若不存在说明理由.第40讲　空间向量及其运算和空间位置关系
1.A　[解析] 设D(x,y,z),则=(x-1,y,z-1),=(2,2,1),因为=2,所以解得则D(5,4,3).故选A.
2.D　[解析] 由a∥b可得==,解得m=2,n=,则m+n=. 故选D.
3.A　[解析] 向量a在向量b上的投影向量为b=(-2,1,1)=.故选A.
4.C　[解析] 由点A(-1,2,5),点B(1,-1,n),可得=(2,-3,n-5),因为a=(-2,m,m)是直线l的一个方向向量,所以存在实数λ,使得=λa,则解得故选C.
5.B　[解析] 因为=2,=,所以=,点N为BC的中点,所以=-=(+)-=-a+b+c.故选B.
6.A　[解析] 由=x++,可得-=x++,所以=(x+1)++,当点P,A,B,C共面时,可得x+1++=1,解得x=-.故选A.
7.A　[解析] 因为=++=-++,=+,所以·=(-++)·(+)=--·+·++·+·=-++·+·=-12+12+1×1×cos 60°+1×1×cos 60°=1.故选A.
8.2　[解析] 因为=(2,1,3),=(-2,1,x),且OA⊥OB,所以·=-4+1+3x=0,解得x=1,所以=(-2,1,1),所以=-=(-2,1,1)-(2,1,3)=(-4,0,-2),则||==2.
9.　[解析] 如图,在正四面体ABCD中,连接AN并延长,交BC于点M,连接DM,
则=,=,于是=+=+=+(-) =+(+)=++,所以λ=,μ=,v=,故λ+μ+v=.
10.解:(1)以点C为坐标原点,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,
则B(0,1,0),A1(1,0,2),C(0,0,0),B1(0,1,2),C1(0,0,2),M,N(1,0,1),可得=(1,-1,1),所以||==,即BN=.
(2)证明:由(1)可得=(1,-1,1),=,=(1,0,-1),则·=-=0,·=1-1=0,所以BN⊥C1M,BN⊥C1N,因为C1M∩C1N=C1,C1M,C1N 平面C1MN,所以BN⊥平面C1MN,所以是平面C1MN的一个法向量.
11.C　[解析] 以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则M(2,0,1),C1(0,2,2),设Q(x,y,0),x,y∈[0,2],则=(-x,2-y,2),=(2-x,-y,1),由·=1,得x(x-2)+y(y-2)+2=1,整理得(x-1)2+(y-1)2=1,所以点Q的轨迹是以点(1,1,0)为圆心,1为半径的圆,此圆在正方形ABCD内部,所以点Q的轨迹长度为2π.故选C.
12.B　[解析] 由题意可知,==(+)===++,因为D,E,F,M四点共面,所以存在实数λ,μ,使=λ+μ,所以-=λ(-)+μ(-),所以=(1-λ-μ)+λ+μ=(1-λ-μ)k+λm+μn,所以所以++=6(1-λ-μ)+6λ+6μ=6.故选B.
13.AC　[解析] 以点D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
不妨设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0),E(1,0,2),F(2,1,0),C1(0,2,2).对于A选项,因为BC 平面ABCD,F∈平面ABCD,F BC,E 平面ABCD,所以EF与BC异面,A正确;对于B选项,=(1,1,-2),易知平面CDD1C1的一个法向量为m=(1,0,0),则·m=1≠0,所以EF与平面CDD1C1不平行,B错误;对于C选项,=(-2,2,0),所以·=-2+2=0,故EF⊥AC,C正确;对于D选项,=(2,2,0),所以·=2+2=4≠0,所以EF,BD不垂直,故BD与平面EFC1不垂直,D错误.故选AC.
14.解:(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,AB,AC 平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AC,又AB⊥AC,所以AP,AB,AC两两垂直,以A为原点,AB,AC,AP所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
设PA=1,则AD=CD=1,AC=AB=,则A(0,0,0),B(,0,0),C(0,,0),P(0,0,1),D, 所以=,=(0,0,1),=.设平面PAD的法向量为m=(x1,y1,z1),则
即
令x1=1,则y1=1,z1=0,所以m=(1,1,0),可得m∥,所以CD⊥平面PAD,又CD 平面PCD,所以平面PAD⊥平面PCD.
(2)由(1)知E,假设在棱CD上存在满足题意的点Q,且=λ,λ∈[0,1],则=+λ=+λ=,又=,所以·=(λ-1)-=0,解得λ=2 [0,1],所以不存在满足题意的点Q.

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