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第41讲　空间角 (时间:45分钟)
1.已知点A(2,2,3),B(1,2,2),C(0,0,-1),D(2,2,-1),则异面直线AB与CD的夹角为 (　 )　　　　　　 　　　　　　　　　　
A. B.
C. D.
2.在空间直角坐标系中,已知向量m=(1,1,-1)是平面ABC的一个法向量,且=(0,3,4),则直线CD与平面ABC所成角的正弦值是 (　 )
A. B.
C. D.
3.[2026·福建福州质检] 在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,则直线AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值为 (　 )
A. B.
C. D.
4.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与B1C1所成角的余弦值为 (　 )
A. B.
C. D.
5.[2025·山西太原质检] 已知正四棱台ABCD-A1B1C1D1的体积为,AB=6,A1B1=2,则B1C与平面ABCD所成角的正切值为 (　 )
A. B.
C. D.
6.[2026·北京海淀区期末] 在正四棱锥P-ABCD中,AB=2,二面角P-CD-A的大小为,则该四棱锥的体积为 (　 )
A.4 B.2
C. D.
7.(多选题)在三棱锥P-ABC中,P(1,1,0),A(2,0,1),B(0,2,1),C(0,0,0),则 (　 )
A.PB=
B.向量与夹角的余弦值为
C.向量n=(1,1,-2)是平面ABC的一个法向量
D.PB与平面ABC所成角的正弦值为
8.圆锥的底面积为π,母线与底面所成的角为θ,且cos θ=,则该圆锥的体积为　　　　.
9.已知四面体SABC的各个面都是边长为2的正三角形,E,F分别是SC和AB的中点,则异面直线EF与SA所成的角等于　　　　.
10.[2026·重庆江北区期末] 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,四边形ABCD为矩形,AB=AD=PD,点E在棱PB上,且直线PD与CE所成的角为.
(1)证明:点E为棱PB的中点;
(2)求直线CD与平面ACE所成角的正弦值.
11.如图,将菱形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角,E,F分别为AD,BC的中点,O是AC的中点,∠ABC=,则折后二面角E-OF-A的余弦值为 (　 )
A. B.-
C. D.-
12.(多选题)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P是正方体的上底面A1B1C1D1内(不含边界)的动点,点Q是棱BC的中点,则以下说法正确的是 (　 )
A.三棱锥Q-PCD的体积是定值
B.存在点P,使得PQ与AA1所成的角为60°
C.直线PQ与平面A1ADD1所成角的正弦值的取值范围为
D.若PD1=PQ,则点P的轨迹的长度为
13.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,=k,且AB1与BC1所成角的大小为60°,则k的值为　　　　.
14.如图,四边形ABCD是正方形,EA⊥平面ABCD,EA∥PD,AD=PD=2EA,F,G,H分别为PB,EB,PC的中点.
(1)求证:HG∥平面ADPE.
(2)求平面FGH与平面PBC夹角的大小.
(3)在棱PC上是否存在一点M,使直线FM与直线PA所成的角为45° 若存在,求出点M的位置;若不存在,说明理由.第41讲　空间角
1.C　[解析] 由题意得=(-1,0,-1),=(2,2,0).设异面直线AB与CD的夹角为α,α∈,则cos α=|cos<,>|===,得α=.故选C.
2.B　[解析] 直线CD与平面ABC所成角的正弦值为|cos|===.故选B.
3.A　[解析] 设该正三棱柱的棱长均为1,以B为原点,过B且垂直于平面BCC1B1的直线为x轴,直线BC为y轴,直线BB1为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则B(0,0,0),B1(0,0,1),A,所以=,易知平面BCC1B1的一个法向量为n=(1,0,0).设直线AB1与平面BCC1B1所成的角为θ,θ∈,则sin θ=|cos|===.故选A.
4.D　[解析] 在正三棱柱ABC-A1B1C1中,B1C1∥BC,则∠A1BC(或其补角)为异面直线A1B与B1C1所成的角.连接A1C,设AA1=2AB=2a,在△A1BC中,A1B==a,A1C==a,BC=a,则由余弦定理得cos∠A1BC==.故选D.
5.A　[解析] 设该棱台的高为h,则×(4+36+)h=,解得h=,如图,连接AC,BD,交于点O,过B1作B1E⊥BD,垂足为E,连接CE,B1D1`,
由正四棱台的性质可得B1E⊥平面ABCD,所以B1E=,∠B1CE是B1C与平面ABCD所成的角.在正四棱台中,AB=6,A1B1=2,则BD=6,B1D1=2,所以BE===2,则OE=OB-BE=3-2=.在Rt△COE中,CE===2.
在Rt△B1CE中,tan∠B1CE===.故选A.
6.D　[解析] 如图,连接AC,BD,相交于点H,连接PH,则H为正方形ABCD的中心,
PH⊥底面ABCD,取CD的中点Q,连接HQ,PQ,则HQ⊥CD,PQ⊥CD,HQ=AD=1,故∠PQH为二面角P-CD-A的平面角,所以∠PQH=,故PH=HQtan=1,所以该四棱锥的体积为×AB2·PH=.故选D.
7.ACD　[解析] ∵P(1,1,0),B(0,2,1),∴PB==,故 A正确;∵A(2,0,1),B(0,2,1),C(0,0,0),∴=(2,0,1),=(0,2,1),∴cos<,>===,故B错误;∵·n=2×1+0×1+1×(-2)=0,·n=0×1+2×1+1×(-2)=0,∴n 是平面ABC的一个法向量,故C正确;∵=(-1,1,1),∴PB 与平面ABC 所成角的正弦值为|cos<,n>|===,故D正确.故选ACD.
8.π　[解析] 设圆锥的底面半径为r,母线长为l,因为圆锥的底面积为π,所以πr2=π,可得r=1,又因为母线与底面所成的角为θ,且cos θ=,所以=,解得l=,所以圆锥的高h==3,所以圆锥的体积为×π×3=π.
9.45°　[解析] 如图,取AC的中点G,连接EG,GF,FC,FS.易知GE∥SA,∴∠GEF(或其补角)为异面直线EF与SA所成的角.∵棱长为2,∴SF=CF=,又E为SC中点,∴SC⊥EF.∵CE=SC=1,∴EF==,由中位线的性质可得GE=1,GF=1,∴GE2+GF2=EF2,∴△GEF是以G为直角顶点的等腰直角三角形,故∠GEF=45°.
10.解:(1)证明:以A为原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.
不妨设AB=2,则PD=2,PA=2,所以D(0,2,0),P(0,0,2),C(2,2,0),B(2,0,0),可得=(0,-2,2),=(2,0,-2),
设=λ=(2λ,0,-2λ),则E(2λ,0,2-2λ)(0≤λ≤1),
=(2λ-2,-2,2-2λ),
由题意可得|cos<,>|===,
整理可得4λ2-4λ+1=0,解得λ=,所以点E为棱PB的中点.
(2)由(1)可得=(-2,0,0),=(2,2,0),=(1,0,1),
设平面ACE的法向量为n=(x,y,z),则
令x=1,得y=z=-1,则n=(1,-1,-1).
设直线CD与平面ACE所成的角为θ,则sin θ=|cos|===,
所以直线CD与平面ACE所成角的正弦值为.
11.A　[解析] 由题意知平面ADC⊥平面ABC,如图,连接OD,OB,因为四边形ABCD是菱形,O是AC的中点,所以OD⊥AC,OB⊥AC,折起后以上垂直关系不变,又平面ADC∩平面ABC=AC,OD 平面ADC,所以OD⊥平面ABC,又OB 平面ABC,所以OD⊥OB,从而OB,OC,OD两两垂直.以O为原点,OB,OC,OD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
令AB=2,则D(0,0,1),E,F,所以=,=.设平面OEF的法向量为n=(x,y,z),则得取y=1,则x=-,z=,可得n=(-,1,).易知平面ABC的一个法向量为=(0,0,1),则cos===.由图知,二面角E-OF-A的平面角为锐角,所以二面角E-OF-A的余弦值为.故选A.
12.ACD　[解析] 对于A,V三棱锥Q-PCD=V三棱锥P-QCD=S△QCD×AA1=××2×1×2=,是定值,A正确.以A1为坐标原点,A1B1,A1D1,AA1所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则Q(2,1,-2),设P(x,y,0)(0,因为0=∈,则0<<,即sin β的取值范围为,C正确.对于D,D1(0,2,0),则=(x,y-2,0),由PD1=PQ,可得x2+(y-2)2=(x-2)2+(y-1)2+4,化简可得4x-2y-5=0,在A1xy平面内,令x=2,得y=,令y=0,得x=,则点P的轨迹的长度为=,D正确.故选ACD.
13.　[解析] 如图,分别取BC,B1C1的中点M,N,连接MN,MA,易知MN⊥平面ABC,MA,MB 平面ABC,所以MN⊥MA,MN⊥MB,因为△ABC为正三角形,所以AM⊥BC,所以MA,MB,MN两两垂直.以M为原点,MA,MB,MN所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,令BB1=1,则AB=AC=BC=k,于是得A,B,B1,C1,所以=,=(0,-k,1),||=||=,所以cos 60°=
|cos<,>|===,可得k=.
14.解:(1)证明:因为EA⊥平面ABCD,EA∥PD,所以PD⊥平面ABCD,
又因为四边形ABCD是正方形,所以AD⊥CD,所以DP,DA,DC两两垂直.
以点D为坐标原点,DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
不妨设AD=PD=2EA=2,
则D(0,0,0),P(0,0,2),A(2,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0),E(2,0,1),
因为F,G,H分别为PB,EB,PC的中点,所以F(1,1,1),G,H(0,1,1),所以=,=.
易知平面ADPE的一个法向量为=(0,2,0),
因为·=0,所以⊥,
又HG 平面ADPE,所以HG∥平面ADPE.
(2)设n1=(x1,y1,z1)为平面FGH的法向量,
则解得x1=z1=0,令y1=1,得n1=(0,1,0).
由(1)得=(2,2,-2),=(0,2,-2).
设n2=(x2,y2,z2)为平面PBC的法向量,
则令z2=1,得n2=(0,1,1).
因为|cos|===,
所以平面FGH与平面PBC夹角的大小为45°.
(3)假设在棱PC上存在一点M,使直线FM与直线PA所成的角为45°.
依题意可设=λ,其中0≤λ≤1.
由=(0,2,-2),得=(0,2λ,-2λ),
则=+=(-1,-1,1)+(0,2λ,-2λ)=(-1,2λ-1,1-2λ),
因为直线FM与直线PA所成的角为45°,=(2,0,-2),
所以|cos<,>|=,则=,可得λ=.
所以在棱PC上存在一点M,M为PC的中点,使直线FM与直线PA所成的角为45°.

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