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第42讲　空间距离及立体几何中的探索性问题
1.C　[解析] 由题意,取直线l上一点P(0,1,2),则=(1,2,3),所以A到l的距离d====.故选C.
2.A　[解析] 由题意可知=(-1,-2,5),且平面α的一个法向量为n=(2,1,1),所以点P(1,1,5)到平面α的距离d===.故选A.
3.D　[解析] 如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则F(2,0,1),B(2,2,0),E(1,0,2),所以=(0,-2,1),=(-1,-2,2),所以点F到直线BE的距离为==1.故选D.
4.C　[解析] 取AC的中点O,A1C1的中点M,连接OB,OM,易知OB,OC,OM两两垂直,以O为坐标原点,OB,OC,OM所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,所以A(0,-1,0),B1(,0,),C(0,1,0),所以=(,1,),=(0,-2,0),所以在上的投影向量的长度为==,故点C到直线AB1的距离为==.故选C.
5.A　[解析] 以O为原点,,,的方向分别作为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图所示,
则A(2,0,0),B(0,3,0),C(0,0,4),M,所以=(2,0,0),=,=(0,3,0).设平面OMA的法向量为m=(x,y,z),则即取z=3,则m=(0,-8,3),所以点B到平面OMA的距离d===.故选A.
6.D　[解析] 设平面ABCD的法向量为n=(x,y,z),则即取x=1,得n=(1,-1,2),所以点P到平面ABCD的距离d===,即四棱锥P-ABCD的高为.故选D.
7.C　[解析] 由题意知,该几何体为长方体,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则A(2,0,0),B(2,2,0),B1(2,2,3),设N(0,2,t)(0≤t≤3).
因为A1B1∥AB,A1B1 平面ABN,AB 平面ABN,所以A1B1∥平面ABN,故直线A1B1到平面ABN的距离等于B1到平面ABN的距离.=(0,2,0),=(-2,0,t),=(0,0,3),设平面ABN的法向量为n=(x,y,z),则由可得取z=2,则n=(t,0,2),故B1到平面ABN的距离d===,可得t=1,故=,故选C.
8.　[解析] 由题意知=(0,1,2),则点B(1,1,1)到平面α的距离为==.
9.　[解析] 以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),C1(0,1,1),E,A1(1,0,1),所以=,=,=(0,0,1).设平面AEC1的法向量为n=(x,y,z),
则令y=2,则n=(1,2,-1).所以点A1到平面AEC1的距离d===.
10.解:以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A1(1,0,1),B1(1,1,1),E,F,C1(0,1,1),A(1,0,0).
(1)可得=,与同向的单位向量u==,=(0,1,0),
所以·u=-.
所以点A1到直线B1E的距离为==.
(2)因为=,=,所以∥,即AE∥FC1,
所以点F到直线AE的距离即为直线FC1到直线AE的距离.
连接AF,可得与同向的单位向量u1==,=,
则=,·u1=,
所以直线FC1到直线AE的距离为=.
(3)=(0,1,1),=,=(0,0,1).
设平面AB1E的法向量为n=(x,y,z),
则
令z=2,得y=-2,x=1,则n=(1,-2,2).
所以点A1到平面AB1E的距离为=.
(4)因为AE∥FC1,AE 平面AB1E,FC1 平面AB1E,所以FC1∥平面AB1E,
所以直线FC1到平面AB1E的距离等于C1到平面AB1E的距离.
=(1,0,0),由(3)得平面AB1E的一个法向量为n=(1,-2,2),
所以C1到平面AB1E的距离为=,
所以直线FC1到平面AB1E的距离为.
11.D　[解析] 直线l的方程可化为==,所以直线l过点P(2,-1,-2),一个方向向量为n=(1,2,-1),与n同向的单位向量v==(1,2,-1),令a==(-1,1,0),则a2=2,a·v=,所以点M到直线l的距离d====,故选D.
12.B　[解析] 在正方形ABCD中,BC⊥AB,因为平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,BC 平面ABCD,所以BC⊥平面ABEF,又四边形ABEF是正方形,所以直线BA,BE,BC两两垂直.以点B为原点,直线BA,BE,BC分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则B(0,0,0),A(3,0,0),C(0,0,3),F(3,3,0),所以=(-3,0,3),=(3,3,0),=(0,0,3).设与,都垂直的向量n=(x,y,z),则令x=1,得n=(1,-1,1),所以MN的最小值为==.故选B.
13.2　 　[解析] 连接A1B,BC1,因为AB∥C1D1且AB=C1D1,所以四边形ABC1D1为平行四边形,则BC1∥AD1.因为BC1 平面ACD1,AD1 平面ACD1,所以BC1∥平面ACD1.同理A1B∥平面ACD1.因为A1B∩BC1=B,A1B,BC1 平面A1BC1,所以平面A1BC1∥平面ACD1.又C1∈平面A1BC1,C1P∥平面ACD1,所以C1P 平面A1BC1.又因为P∈平面AA1B1B,平面AA1B1B∩平面A1BC1=A1B,所以点P的轨迹为线段A1B.当C1P取最小值时,C1P⊥A1B,又A1C1=BC1=2,所以此时P为A1B的中点,则C1P===2.以D为原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,
易知A1(2,0,4),C1(0,4,4),P(2,2,2),则=(-2,4,0),=(0,2,-2).
取a==(0,2,-2),u==(-1,2,0),则a2=8,a·u=,所以点P到直线A1C1的距离为=.
14.解:(1)证明:因为PD⊥平面ABCD,AB 平面ABCD,所以PD⊥AB.
因为四边形ABCD为正方形,所以AD⊥AB,
又AD∩PD=D,AD,PD 平面PAD,
所以AB⊥平面PAD.
因为DE 平面PAD,所以AB⊥DE.
因为E为PA的中点,PD=AD,所以DE⊥PA.
又AB∩PA=A,AB,PA 平面PAB,
所以DE⊥平面PAB.
(2)由(1)得DE⊥平面PAB,又PB 平面PAB,所以DE⊥PB.
因为PD⊥平面ABCD,BC 平面ABCD,所以PD⊥BC,
因为四边形ABCD为正方形,所以BC⊥CD,
又PD,CD 平面PCD,PD∩CD=D,
所以BC⊥平面PCD,因为DF 平面PCD,所以BC⊥DF.
因为F为PC的中点,DC=DP,所以DF⊥PC.
又PC∩BC=C,PC,BC 平面PBC,
所以DF⊥平面PBC,因为PB 平面PBC,
所以DF⊥PB.
因为DE∩DF=D,所以PB⊥平面DEGF.又EG 平面DEGF,
所以PB⊥EG,故∠PGE=.
由(1)得AB⊥平面PAD,又PA 平面PAD,
所以PA⊥AB,故∠PAB=.又∠EPG=∠BPA,
所以△PEG∽△PBA,所以=.
由题知PA==2,PB==2,PE=,
所以PG=,故PG=PB.
以D为原点,DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则D(0,0,0),C(0,2,0),G,
所以=(0,2,0),=.
设平面CDG的法向量为n=(x1,y1,z1),
则令z1=1,则x1=-2,y1=0,
所以n=(-2,0,1).
易知平面ABCD的一个法向量为n1=(0,0,1).
设平面CDG与平面ABCD的夹角为θ,
则cos θ=|cos |==,
所以平面CDG与平面ABCD的夹角的余弦值为.
(3)因为E(1,0,1),F(0,1,1),所以=(-1,1,0).
假设线段EF上存在点H满足题意,
设H(x,y,z),=λ(0≤λ≤1),
则(x-1,y,z-1)=λ(-1,1,0),所以H(1-λ,λ,1),所以=(1-λ,λ,1).
由(2)知平面CDG的一个法向量为n=(-2,0,1),
所以点H到平面CDG的距离d===,解得λ=或λ=,
所以点H的坐标为或.
综上可知,存在满足题意的点H,且点H的坐标为或.第42讲　空间距离及立体几何中的探索性问题 (时间:45分钟)
1.已知A(-1,-1,-1),直线l过原点且一个方向向量为a=(0,1,2),则A到l的距离为 (　 )　　　　　 　　　　　　　　　　
A. B.1
C. D.
2.[2026·江苏宿迁模拟] 若平面α过点A(2,3,0)且该平面的一个法向量为n=(2,1,1),则点P(1,1,5)到平面α的距离为 (　 )
A. B.
C. D.
3.[2025·四川眉山调研] 如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱A1D1,AA1的中点,则点F到直线BE的距离为 (　 )
A.6 B.4
C.2 D.1
4.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC是等边三角形,AA1=,AB=2,则点C到直线AB1的距离为 (　 )
A. B.
C. D.
5.如图,在四面体OABC中,OA=2,OB=3,OC=4,∠AOB=∠BOC=∠COA=90°,=2,则点B到平面OMA的距离为 (　 )
A. B.
C.2 D.
6.[2026·黑龙江哈尔滨模拟] 已知四棱锥P-ABCD中,=(5,1,-2),=(0,2,1),=(2,1,-2),则该四棱锥的高为 (　 )
A. B.
C. D.
7.[2026·山东滨州期末] 在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,AB=2,AA1=3,点N在棱CC1上,若直线A1B1到平面ABN的距离为,则的值为(　 )
A.1 B.
C. D.
8.[2025·福建厦门一模] 已知平面α的一个法向量为n=(1,0,1),且点A(1,2,3)在α内,则点B(1,1,1)到α的距离为　　　　.
9.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E为棱CD的中点,则点A1到平面AEC1的距离为　　　　.
10.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点,F为BB1的中点.
(1)求点A1到直线B1E的距离;
(2)求直线FC1到直线AE的距离;
(3)求点A1到平面AB1E的距离;
(4)求直线FC1到平面AB1E的距离.
11.[2026·河南信阳质检] 在空间直角坐标系中,若一条直线经过点P(x0,y0,z0),且以向量n=(a,b,c)(abc≠0)为方向向量,则这条直线可以用方程==来表示.已知直线l的方程为x-2==-z-2,则M(1,0,-2)到直线l的距离为 (　 )
A. B. C. D.
12. 在如图所示的试验装置中,两个正方形框架ABCD,ABEF的边长都是3,且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M,N分别在正方形对角线AC和BF上移动,则MN的最小值为 (　 )
A. B. C. D.
13.[2026·广东深圳模拟] 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=4,AD=2,点P为侧面ABB1A1内的一个动点,且满足C1P∥平面ACD1,则C1P的最小值为　　　　,此时点P到直线A1C1的距离为　　　　.
14.如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AD=2.已知E,F分别为PA,PC的中点,平面DEF与棱PB交于点G.
(1)求证:DE⊥平面PAB.
(2)求平面CDG与平面ABCD的夹角的余弦值.
(3)判断线段EF上是否存在一点H,使得点H到平面CDG的距离为 若存在,请求出点H的坐标;若不存在,请说明理由.

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