资源简介

微专题9　空间动态问题
1.B　[解析] 由正方体的性质易知,当P为A1C1的中点时,P为B1D1的中点,因为DD1∥BB1,所以B,D,D1,B1共面,则此时BP,DD1都在平面BDD1B1内,故A不符题意;连接AC,因为AA1∥CC1,所以A,C,C1,A1共面,易知P∈平面ACC1A1,B 平面ACC1A1,AC 平面ACC1A1,P AC,所以BP与AC异面,故B符合题意;连接AD1,BC1,易知AB∥D1C1,AB=D1C1,则四边形ABC1D1是平行四边形,当P与C1重合时AD1∥BP,故C不符合题意;当P与C1重合时,显然B1C与BP相交,故D不符合题意.故选B.
2.B　[解析] 如图,连接DC1,BD,AC.
由AA1⊥平面ABCD,BD 平面ABCD,得BD⊥AA1,又BD⊥AC,AA1∩AC=A,AA1,AC 平面AA1C1C,所以BD⊥平面AA1C1C.又A1C 平面AA1C1C,所以BD⊥A1C.同理BC1⊥A1C.又BC1∩BD=B,BC1,BD 平面BC1D,所以A1C⊥平面BC1D.因为DP⊥A1C,D∈平面BC1D,所以DP 平面BC1D,又点P为截面A1C1B上的动点,平面A1C1B∩平面BC1D=BC1,所以点P的轨迹是线段BC1,长度为.故选B.
3.B　[解析] 连接BD1,如图①,
由正方体的性质可得△ADD1是以∠ADD1为直角的等腰直角三角形,故∠DAD1=;△ABD1为直角三角形,且∠BAD1=.将图①中的△ADD1绕AD1所在直线翻折至与△ABD1共面,如图②,
由图②可知,当B,M,D共线时,MB+MD取得最小值,此时∠BAD=+=,AB=AD=2,在△ABD中,由余弦定理可知BD===2,所以MB+MD的最小值为2.故选B.
4.D　[解析] 如图,连接A1D,B1C,BC1,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F为CD上的两个动点,所以平面A1EF即为平面A1B1CD.因为AB∥CD,AB 平面A1B1CD,CD 平面A1B1CD,所以AB∥平面A1B1CD.因为P为AB上任意一点,所以点P到平面A1B1CD的距离等于点B到平面A1B1CD的距离.易知CD⊥平面BCC1B1,BC1 平面BCC1B1,所以CD⊥BC1.又B1C⊥BC1,B1C∩CD=C,B1C,CD 平面A1B1CD,所以BC1⊥平面A1B1CD,所以点P到平面A1EF的距离为BC1=a,故A,B,C错误,D正确.故选D.
5.B　[解析] 设正方体的棱长为x,则其外接球的半径为,所以π·=,解得x=1.如图,连接C1D,在C1D1上取一点F,使得EF∥C1D,连接B1F,A1E,BE,设D1E=a(06.D　[解析] 以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),C(0,2,0),A1(2,0,2),M(1,0,1),D1(0,0,2),C1(0,2,2).设=λ=λ(0,-2,2)=(0,-2λ,2λ)(0≤λ≤1),则N(0,2-2λ,2λ),可得=(0,-2,-2),=(-1,2-2λ,2λ-1),则cos<,>===.设直线C1D与直线MN所成的角为θ,则cos θ==≤=,当且仅当λ=时取等号,则直线C1D与直线MN所成角的余弦值的最大值为.故选D.
7.BD　[解析] 对于A,连接A1B,假设存在点Q,使得PQ∥BD,因为BD 平面A1C1B,PQ 平面A1C1B,所以BD∥平面A1C1B,与BD∩平面A1C1B=B矛盾,故假设不成立,A错误.对于B,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),B1(2,2,2),A1(2,0,2),B(2,2,0),C1(0,2,2),可得=(2,2,2)-(2,0,0)=(0,2,2),=(2,2,0)-(2,0,2)=(0,2,-2),=(0,2,2)-(2,2,2)=(-2,0,0),所以·=(0,2,2)·(0,2,-2)=4-4=0,·=(-2,0,0)·(0,2,-2)=0,故A1B⊥AB1,A1B⊥B1C1.因为AB1∩B1C1=B1,AB1,B1C1 平面AB1C1D,所以A1B⊥平面AB1C1D.当Q为BC1的中点时,PQ∥A1B,此时PQ⊥平面AB1C1D,故B正确.
对于C,可知P(1,1,2),则=(-1,1,2),=(2,0,0).
设平面APD的法向量为m=(x,y,z),则解得x=0,令z=1得y=-2,则m=(0,-2,1),所以·m=(-2,0,2)·(0,-2,1)=2,故与m=(0,-2,1)不垂直,故BC1∥平面APD不成立,因为Q在线段BC1上运动,所以Q到平面APD的距离不是定值,又△APD的面积为定值,所以三棱锥Q-APD的体积不是定值,故C错误.对于D,二面角Q-A1C1-D即二面角B-A1C1-D,连接BP,因为△A1BC1,△A1DC1为等边三角形,所以BP⊥A1C1,DP⊥A1C1,所以∠BPD为所求二面角的平面角.因为正方体的棱长为2,所以△A1BC1,△A1DC1的边长为2,BD=2,故BP=DP=.在△BPD中,由余弦定理可得cos∠BPD===,即二面角Q-A1C1-D的余弦值为,故D正确.故选BD.
8.　[解析] 如图,以A为原点,分别以,,的方向为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系.
则E(2,3,3),F,G,D1(0,3,3),B1(4,0,3),设M(x,y,0),所以=,=,=(x,y-3,-3).设平面EFG的法向量为n=(a,b,c),则得令b=1,可得a=-,c=-1,则n=.因为直线D1M与平面EFG平行,所以·n=0,得-x+y-3+3=0,即y=x,因为=(4-x,-y,3),=(-x,3-y,3),所以·=(4-x)·(-x)+(-y)·(3-y)+9=x2-4x+y2-3y+9=x2-4x+-+9=x2-x+9=(x-2)2+,所以当x=2时,·取得最小值,最小值为.
9.BCD　[解析] 设正方体ABCD-A1B1C1D1外接球的半径为R,则πR3=4π,解得R=.设该正方体的棱长为a,则a=2R=2,可得a=2.对于A,在平面ABB1A1内,点P的轨迹是以A为圆心,2为半径的圆弧;同理,在平面ABCD和平面ADD1A1内,点P的轨迹都是以A为圆心,2为半径的圆弧.故点P的轨迹的长度为3×π×22=3π,故A错误.对于B,因为A 平面DCC1D1,P∈平面DCC1D1,CC1 平面DCC1D1,P CC1,所以AP与CC1是异面直线,故B正确.对于C,如图,连接AD1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1D⊥AD1,A1D⊥AB,又AD1∩AB=A,AB 平面ABC1D1,AD1 平面ABC1D1,所以A1D⊥平面ABC1D1.因为D1P 平面ABC1D1,所以D1P⊥A1D,故C正确.
对于D,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,易知A1B1∥平面ABC1D1,所以===×A1D=××2=,为定值,故D正确.故选BCD.
10.2　[解析] 以A为坐标原点,AD,AB所在直线分别为x,y轴,过点A与平面ABCD垂直的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
因为AB=4,∠DAF=120°,所以A(0,0,0),B(0,4,0),D(4,0,0),E(-2,4,2),则=(-2,4,2),=(-4,4,0).设=k(0≤k≤1),则=(-2k,4k,2k),所以P(-2k,4k,2k).因为=,所以=k=(-4k,4k,0),所以Q(4-4k,4k,0),则=(4-2k,0,-2k),故||= =4.因为k2-k+1=+≥,所以4≥2,即PQ的最小值是2.微专题9　空间动态问题
(时间:45分钟)
1.[2026·上海复旦中学期中] 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P为线段A1C1上的动点,则下列直线中,始终与直线BP异面的是 (　 )　　　　　　 　　　　　　　　　　
A.DD1 B.AC
C.AD1 D.B1C
2.[2025·山东潍坊一模] 如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P为截面A1C1B上的动点,若DP⊥A1C,则点P的轨迹长度是 (　 )
A. B.
C. D.1
3.[2026·湖南长沙模拟] 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为线段AD1上的一个动点,则MB+MD的最小值为 (　 )
A.2 B.2
C.2 D.2
4.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为AB上任意一点,E,F为CD上的两个动点,且EF的长为定值,则点P到平面A1EF的距离 (　 )
A.和点E,F的位置有关
B.和EF的长度有关
C.和点P的位置有关
D.等于a
5.[2025·广东八校联盟质检] 如图,在外接球体积为的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱DD1上的动点(不包括端点),过A,B1,E三点的平面将正方体截为两个部分,且交C1D1于点F,当截得的较小部分的几何体的体积为时,= (　 )
A. B.
C. D.
6.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为线段A1D的中点,N为线段CD1上的动点,则直线C1D与直线MN所成角的余弦值的最大值为 (　 )
A. B.
C. D.
7.(多选题)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为线段A1C1的中点,Q为线段BC1上的动点(不包括端点),则 (　 )
A.存在点Q,使得PQ∥BD
B.存在点Q,使得PQ⊥平面AB1C1D
C.三棱锥Q-APD的体积是定值
D.二面角Q-A1C1-D的余弦值为
8.[2026·山东聊城模拟] 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=3,AB=4,E,F,G分别是棱C1D1,BC,CC1的中点,M是平面ABCD内的一个动点,若直线D1M与平面EFG平行,则·的最小值为　　　　.
9.(多选题)[2025·广东湛江雷州二中期末] 已知正方体ABCD-A1B1C1D1外接球的体积为4π,P是空间中的一点,则下列说法正确的是(　 )
A.若点P在正方体表面上运动,且AP=2,则点P轨迹的长度为2π
B.若P是棱C1D1上的点(不包括点C1,D1),则直线AP与CC1是异面直线
C.若点P在线段BC1上运动,则始终有D1P⊥A1D
D.若点P在线段BC1上运动,则三棱锥A-B1PD1的体积为定值
10.如图所示,四边形ABCD,ABEF都是正方形,AB=4,∠DAF=120°.P,Q分别是线段AE,BD上的动点,且=,则PQ的最小值是　　　　.

展开更多......

收起↑