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第43讲　直线的倾斜角与斜率、直线的方程 (时间:45分钟)
1.直线x+y-7=0的倾斜角为 (　 )　　　　　　 　　　　　　　　　　
A. B.
C. D.
2.如图所示,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则下列结论正确的是 (　 )
A.k1>k2>k3
B.k3>k2>k1
C.k2>k1>k3
D.k2>k3>k1
3.若直线l的一个方向向量为,则直线l的倾斜角为 (　 )
A. B.
C. D.
4.[2026·安徽江南十校联考] 已知a是直线2x-y+1=0的一个方向向量,且a=(m,1),则实数m的值为 (　 )
A. B.-
C.2 D.-2
5.直线l:y=kx-经过直线+=1在第一象限上的点,则直线l的倾斜角α的取值范围是 (　 )
A. B.
C. D.
6.设函数f(x)=sin,则曲线y=f(x)在点处的切线方程为 (　 )
A.2x+2y+=0
B.x+2y-=0
C.x+2y+=0
D.2x+2y-=0
7.(多选题)[2025·河南周口模拟] 若直线l:(2a-1)x+(a-3)y+1=0不经过第四象限,则实数a的取值可能为 (　 )
A. B.
C.3 D.4
8.[2026·吉林实验中学期末] 直线y=(cos θ)x+sin θ,θ∈R的倾斜角的取值范围为　　　　　.
9.[2026·福建莆田联考] 已知A(2,3),B(-1,2),若点P(x,y)在线段AB上,则的取值范围是　　　　.
10.已知直线l:(2a+3)x+(1-a)y+7+3a=0,a∈R.
(1)求l恒过的定点A的坐标;
(2)若l经过点B(0,1),求直线l的方程.
11.[2026·湖南邵阳期中] 在平面直角坐标系xOy中,曲线C:+=1的周长为(　 )
A.12 B.14
C.16 D.20
12.[2025·吉林长春东北师大附中期末] 已知动点P到定点A(-2,0),B(2,0)的距离之和为4,直线l:y=k(x+1)-2与动点P的轨迹有交点,则实数k的取值范围为 (　 )
A.
B.
C.(-∞,-2]∪
D.∪[2,+∞)
13.(多选题)[2025·河南焦作模拟] 已知直线l经过点A(1,0),B(2,tan α),则下列结论中正确的是 (　 )
A.直线l的斜率是tan α
B.直线l的倾斜角是α
C.直线l的方向向量与向量a=(sin α,cos α)平行
D.直线l的法向量与向量b=(sin α,-cos α)平行
14.(多选题)[2026·河北承德模拟] 已知△ABC为等边三角形,直线AB,AC的斜率分别为0,,则 (　 )
A.直线BC的斜率为-
B.BC边上的高所在直线的斜率为
C.AB边上的高所在直线的倾斜角为
D.AC边上的高所在直线的倾斜角为第八单元　解析几何
第43讲　直线的倾斜角与斜率、直线的方程
1.B　[解析] 设直线的倾斜角为α(α∈[0,π)),由题意得直线的斜率k=tan α=-,所以α=,故选B.
2.C　[解析] 由题中图得,直线l3的倾斜角为钝角,所以k3<0;直线l1与l2的倾斜角都为锐角,且l2的倾斜角大于l1的倾斜角,所以k2>k1>0.所以k2>k1>k3.故选C.
3.A　[解析] 因为直线l的一个方向向量为,所以直线l的斜率k===,所以直线l的倾斜角为.故选A.
4.A　[解析] 因为直线2x-y+1=0的斜率k=2,所以直线的一个方向向量为(1,2),又a=(m,1),所以2m-1=0,解得m=.故选A.
5.A　[解析] 因为直线+=1与x轴交于点(3,0),与y轴交于点(0,2),直线l恒过点(0,-),所以k>=,所以<α<.故选A.
6.D　[解析] 由题意得f'(x)=2cos,所以曲线y=f(x)在点处的切线斜率k=f'(0)=2cos=-1,则所求切线方程为y-=-(x-0),即2x+2y-=0.故选D.
7.BC　[解析] 直线l的方程可化为a(2x+y)-x-3y+1=0,由解得则直线l过定点,该点在第二象限.因为直线l:(2a-1)x+(a-3)y+1=0不经过第四象限,所以直线l的斜率可能不存在,也可能存在且大于或等于0.当a=3时,直线l的斜率不存在;当l的斜率存在且大于或等于0时,-≥0,解得≤a<3.综上可知,实数a的取值范围为,结合选项可知,a的取值可能为,3.故选BC.
8.∪　[解析] 设直线的倾斜角为α,斜率为k,由题意得k=tan α=cos θ∈[-1,1],可得α的取值范围为∪.
9.　[解析] 设Q(3,0),则kAQ==-3,kBQ==-,如图,∵点P(x,y)是线段AB上的任意一点,∴kPQ=,且kAQ≤kPQ≤kBQ,∴的取值范围是.
10.解:(1)由l:(2a+3)x+(1-a)y+7+3a=0,a∈R可得a(2x-y+3)+3x+y+7=0,
由解得所以直线l恒过点A(-2,-1).
(2)因为l经过点B(0,1),所以1-a+7+3a=0,解得a=-4,所以直线l的方程为x-y+1=0.
11.D　[解析] 曲线C:+=1等价于或或或
表示以(4,0)和(0,3)为端点的线段,其长度为=5;
表示以(4,0)和(0,-3)为端点的线段,其长度为=5;
表示以(-4,0)和(0,3)为端点的线段,其长度为=5;表示以(-4,0)和(0,-3)为端点的线段,其长度为=5.所以曲线C:+=1的周长为4×5=20.故选D.
12.C　[解析] 由题意知,点P的轨迹为线段AB,直线l:y=k(x+1)-2过定点M(-1,-2),可得kMA==-2,kMB==.由题意知,直线l与线段AB相交,所以k≤-2或k≥,故选C.
13.AD　[解析] 对于A,由题意知,直线l的斜率是=tan α,故A正确;对于B,直线l的倾斜角θ满足tan θ=tan α,但不一定有θ=α,故B错误,对于C,直线l的一个方向向量为m=(1,tan α),因为1×cos α≠sin αtan α,所以直线l的方向向量m与向量a不平行,故C错误;对于D,直线l的一个法向量为n=(tan α,-1),因为-1×sin α=-cos αtan α,所以直线l的法向量n与向量b平行,故D正确.故选AD.
14.ABC　[解析] 依题意,不妨将三角形ABC的顶点A放到坐标原点,B在x轴正半轴上(如图所示),则∠ABC=,所以直线BC的斜率为tan=-tan=-,故A正确;因为BC边上的高所在直线也是∠BAC的平分线,所以BC边上的高所在直线的斜率为tan=,故B正确;AB边上的高所在直线的倾斜角为,故C正确;AC边上的高所在直线的倾斜角为π-=,故D错误.故选ABC.

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