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第44讲　两直线的位置关系
1.B　[解析] 因为l1∥l2,所以a(a-2)-3=a2-2a-3=(a-3)(a+1)=0,所以a=3或a=-1.当a=3时,l1:x+y-2=0,l2:x+y-2=0,l1与l2重合,不符合题意;当a=-1时,l1:x-3y+6=0,l2:x-3y-2=0,l1与l2平行,符合题意.综上,a=-1.故选B.
2.D　[解析] 由题意可知,直线l1与l2垂直,直线l1的斜率为-,所以l2的斜率为5.又因为l2过点(1,0),所以直线l2的方程为y=5(x-1),即5x-y-5=0.故选D.
3.A　[解析] 易求得直线x-2y=0与直线x+y+3=0的交点为(-2,-1),又因为l与直线3x+y-1=0平行,所以可设直线l的方程为3x+y+C=0,将(-2,-1)代入直线l的方程得3×(-2)+(-1)+C=0,所以C=7,所以直线l的方程为3x+y+7=0.故选A.
4.B　[解析] 因为直线l1:x+2y-3=0与直线l2:kx-2y+1=0(k∈R)平行,所以=≠,所以k=-1,所以直线l2:-x-2y+1=0,即x+2y-1=0,所以这两条直线间的距离d==.故选B.
5.D　[解析] 当k=0时,直线l2:x=0,此时l2的倾斜角为,故A错误.由题知=1,当k=0时,显然l1与l2不垂直;当k≠0时,==1+,当k=-时,==-1,此时·=-1.则存在k使得l1与l2垂直,故B错误.当k=0时,显然l1与l2不重合且有公共点;当k≠0时,==1+,当=时,可得1=1+,此方程无解,即不存在k,使得l1与l2平行,此时l1与l2有公共点.故C错误,D正确.故选D.
6.D　[解析] 直线l:(2λ-1)x-(λ+1)y+λ+4=0,即l:(2x-y+1)λ-(x+y-4)=0,令解得则直线l:(2λ-1)x-(λ+1)y+λ+4=0过定点B(1,3).当直线AB与l垂直时,点A(-1,4)到直线l:(2λ-1)x-(λ+1)y+λ+4=0的距离最大,最大值为=,此时AB的斜率为=-,则l的斜率为2,故=2,方程无解,即直线l和AB不可能垂直,则点A(-1,4)到直线l的距离小于,不存在最大值.故选D.
7.D　[解析] 依题意得,(m-2)(m-1)=2×3,得m2-3m-4=0,解得m=4或m=-1.若m=4,则直线l1:2x+3y+3=0与直线l2:2x+3y+2=0平行,符合题意;若m=-1,则直线l1:x-y-1=0与直线l2:x-y+1=0平行,符合题意.综上所述,m=4或m=-1.故选D.
8.C　[解析] 直线l:ax+by+c=0,A(x1,y1),B(x2,y2)(其中x1≠x2),当>1时,A(x1,y1),B(x2,y2)在直线l的同侧,所以>1,所以
>,所以A到直线l的距离大于B到直线l的距离,所以直线l与直线AB不平行,所以直线l与直线AB相交,故选C.
9.10x-y-16=0　[解析] 易求得点P(4,2)关于直线y=x的对称点为P'(2,4),根据题意知,反射光线所在的直线为经过点P',Q的直线,由直线的点斜式方程得直线P'Q的方程为y+6=(x-1),即10x-y-16=0.
10.解:(1)因为l⊥l1,所以(2a-5)×1+(a+2)×1=0,
解得a=1,故a的值为1.
(2)证明:由(2a-5)x+(a+2)y-6a+6=0,
得a(2x+y-6)-5x+2y+6=0,
令解得
所以直线l恒过定点(2,2).
(3)因为a=-11,所以直线l:3x+y-8=0.
设点P(1,4)关于直线l的对称点P'的坐标为(x0,y0),
所以解得
所以点P关于直线l的对称点P'的坐标为.
11.AC　[解析] 直线x+2y+3=0与2x-y-3=0的单位方向向量可以分别取为,,此时对称轴的方向向量可以为,斜率k1=.又因为直线x+2y+3=0与2x-y-3=0的两条对称轴互相垂直,所以另一条对称轴的斜率k2=-3.两条对称轴均过直线x+2y+3=0与2x-y-3=0的交点,故对称轴的方程为y+=和y+=-3,整理后可得x-3y-6=0和3x+y=0.故选AC.
12.ABD　[解析] 对于A,直线l的方程可化为m(x+3)-y+1=0,令可得所以直线l过定点A(-3,1),故A正确.对于B,直线l过定点A(-3,1),当AP⊥l时,点P(1,-1)到直线l的距离最大,且最大值为|AP|==2,故B正确.对于C,直线l过定点A(-3,1),不一定经过第四象限,故C错误.对于D,当m=-1时,直线l:x+y+2=0,设直线l关于直线x+2y-3=0的对称直线为l2,则l2一定经过直线l和直线x+2y-3=0的交点,设为P,由可得所以P(-7,5).在直线l上任取一点Q(-2,0),其关于直线x+2y-3=0的对称点Q'(a,b)一定在l2上,所以解得所以Q'(0,4),又P(-7,5)在直线l2上,所以直线l2的方程为=,化简可得x+7y-28=0,故D正确.故选ABD.
13.18　[解析] 如图,以O为原点,OA所在直线为y轴,过O且与BC平行的直线为x轴,建立平面直角坐标系,
则A,B,C,所以直线AC的方程为y=-x+,直线AB的方程为y=x+.
由题意可设直线PQ的方程为y=kx,且-≤k≤.由可得xP=,由可得xQ=,则|OP|=|xP|=,|OQ|=
|xQ|=,故+=+==6+.因为-≤k≤,所以当k=0时,+取得最大值,最大值为18.
14.解:(1)由点B在直线y=x上,可设点B(m,m),则AB的中点在直线CM上,
所以+2×-1=0,解得m=-1,则点B(-1,-1).
设A关于直线y=x的对称点为A'(x0,y0),则解得即A'(2,1).
显然点A'(2,1)在直线BC上,则直线BC的斜率k==,
因此直线BC的方程为y+1=(x+1),即2x-3y-1=0.
由解得则点C.
综上可得B(-1,-1),直线BC的方程为2x-3y-1=0,点C的坐标为.
(2)由(1)得|BC|==,
点A到直线BC的距离d==,
所以△ABC的面积S=|BC|·d=.第44讲　两直线的位置关系 (时间:45分钟)
　　　　　　 　　　　　　　　　　
1.若直线l1:ax+3y-6=0与直线l2:x+(a-2)y-2=0平行,则a= (　 )
A.1 B.-1
C.3 D.-3
2.[2026·安徽宿州模拟] 将直线l1:x+5y-1=0绕点(1,0)顺时针旋转得到直线l2,则l2的方程是 (　 )
A.x-5y-1=0 B.5x+y-5=0
C.x-y-1=0 D.5x-y-5=0
3.[2025·江苏宿迁期末] 已知直线l过直线x-2y=0与直线x+y+3=0的交点,且与直线3x+y-1=0平行,则直线l的方程为 (　 )
A.3x+y+7=0 B.3x+y-7=0
C.3x+y+3=0 D.3x+y-3=0
4.[2026·四川绵阳二诊] 若直线l1:x+2y-3=0与直线l2:kx-2y+1=0(k∈R)平行,则这两条直线间的距离为 (　 )
A. B.
C. D.
5.已知直线l1:x-y-1=0,动直线l2:(k+1)x-ky+k=0(k∈R),则下列结论正确的为 (　 )
A.不存在k,使得l2的倾斜角为
B.对任意的k,l1与l2都不垂直
C.存在k,使得l1与l2重合
D.对任意的k,l1与l2都有公共点
6.点A(-1,4)到直线l:(2λ-1)x-(λ+1)y+λ+4=0的距离的最大值 (　 )
A.为 B.为2
C.为 D.不存在
7.[2026·宁夏中卫三模] 若直线l1:(m-2)x+3y+3=0与直线l2:2x+(m-1)y+2=0平行,则m= (　 )
A.4 B.1 C.1或-4 D.-1或4
8.已知直线l:ax+by+c=0,A(x1,y1),B(x2,y2)(其中x1≠x2),当>1时,直线l与直线AB的位置关系为 (　 )
A.垂直
B.平行
C.相交
D.以上位置关系都有可能
9.[2025·安徽合肥期末] 一条光线从点P(4,2)射出,经过直线y=x反射后经过点Q(1,-6),则反射光线所在直线的方程为　　　　　　　.
10.[2026·浙江宁波九校联考] 已知直线l:(2a-5)x+(a+2)y-6a+6=0.
(1)若直线l垂直于直线l1:x+y-3=0,求a的值;
(2)求证:直线l经过定点;
(3)当a=-11时,求点P(1,4)关于直线l的对称点P'的坐标.
11.(多选题)直线x+2y+3=0与2x-y-3=0的对称轴方程可以为 (　 )
A.3x+y=0 B.x+3y=0
C.x-3y-6=0 D.2x+3y+3=0
12.(多选题)已知直线l:mx-y+3m+1=0,下列说法正确的是 (　 )
A.直线l过定点(-3,1)
B.点P(1,-1)到直线l的距离的最大值为2
C.直线l一定经过第四象限
D.当m=-1时,直线l关于直线x+2y-3=0的对称直线的方程为x+7y-28=0
13.[2025·黑龙江哈尔滨三中期中] 边长为1的正三角形ABC的内心为O,过O的直线与边AB,AC分别交于点P,Q,则+的最大值为　　　　.
14.已知△ABC的顶点A(1,2),AB边上的中线CM所在直线的方程为x+2y-1=0,∠ABC的平分线BH所在直线的方程为y=x.
(1)求点B的坐标、直线BC的方程、点C的坐标;
(2)求△ABC的面积.

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