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第45讲　圆的方程 (时间:45分钟)
　　　　　　 　　　　　　　　　　
1.[2025·重庆一中期末] 若方程x2+y2-2ax+2y+2a2-1=0表示圆,且圆心位于第四象限,则实数a的取值范围是 (　 )
A.[-,] B.(,+∞)
C.(0,) D.(0,]
2.圆心在直线y=x上,且经过点P(3,1),Q(1,-1)的圆的方程为 (　 )
A.x2+y2-2x-2y-2=0
B.x2+y2-4x-4y-2=0
C.x2+y2-2x-2y-1=0
D.x2+y2-4x-4y-1=0
3.[2025·安徽宣城模拟] 已知点A,B在直线l:x-y-2=0上运动,且|AB|=2,点C在圆(x+2)2+y2=2上,则△ABC面积的最大值为 (　 )
A.6 B.5
C.4 D.3
4.已知Q为圆M:x2+y2=4上的动点,点P满足=(2,-1),记P的轨迹为E,则E的方程为 (　 )
A.(x-2)2+(y+1)2=20
B.(x+2)2+(y-1)2=20
C.(x-2)2+(y+1)2=4
D.(x+2)2+(y-1)2=4
5.[2026·福建三明质检] 已知点O是坐标原点,点M是圆C:(x-3)2+(y-4)2=1上的动点,当动点P在直线x-y+4=0上运动时,|PM|+|PO|的最小值为(　 )
A.5 B.6
C.7 D.8
6.[2026·江苏南京模拟] 若两直线y=x+2k与y=2x+k+1的交点在圆x2+y2=4的内部,则实数k的取值范围是 (　 )
A.-1C.-7.已知点P(x,y)满足y=,点A(-2,3),则|PA|的最大值为 (　 )
A.3 B.2
C.3 D.6
8.[2026·江苏扬州期末] 某圆形拱梁的示意图如图所示,该圆拱的跨度AB是10 m,拱高OP是1 m,每隔1 m需要一根支柱支撑,则支柱M3N3的长度约为　　　　m.(精确到0.01 m.参考数据:≈3.162)
9.若直线l1:x+my-2=0与l2:mx-y+2=0(m∈R)相交于点P,点M(4,5),则|PM|的最大值为　　　　.
10.在平面直角坐标系Oxy中,圆C的圆心在x轴上,且过点A(-2,4)与点B(5,3).
(1)求圆C的方程;
(2)设M(-24,0),点P为圆C上的动点,求证:为定值.
11.已知圆O:x2+y2=2上一点P(1,1)关于x轴的对称点为Q,M是圆O上异于P,Q的任意一点,若MP,MQ分别交x轴于点R,S,则|OR|·|OS|= (　 )
A. B.2
C.2 D.4
12.(多选题)[2026·江苏镇江模拟] 已知点M在圆C:x2+y2+2x-3=0上,点P(0,1),Q(1,2),则 (　 )
A.存在点M,使得|MP|=1
B.∠MQP的最大值为
C.存在点M,使得|MP|=|MQ|
D.|MQ|=|MP|
13.(多选题)已知曲线C:x2+y2=2|x|-2|y|,则以下说法正确的是 (　 )
A.点(1,-1)在曲线内部
B.曲线关于原点对称
C.曲线与坐标轴围成图形的面积为2π-4
D.曲线的周长是π
14.古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果,写出了《圆锥曲线论》,此书中有许多关于平面轨迹的问题,例如:平面内到两定点距离之比等于定值(不为1)的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点A(-1,0)和B(2,1),且该平面内的点P满足|PA|=|PB|.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)若点P的轨迹关于直线mx+ny-2=0(m>0,n>0)对称,求+-15的最小值.第45讲　圆的方程
1.C　[解析] 方程x2+y2-2ax+2y+2a2-1=0可变形为(x-a)2+(y+1)2=2-a2,由题意知解得02.A　[解析] 由题意可设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Dy+F=0(D2-2F>0),因为该圆过点P(3,1),Q(1,-1),所以解得D=F=-2,所以该圆的方程为x2+y2-2x-2y-2=0.故选A.
3.A　[解析] 圆(x+2)2+y2=2的圆心为(-2,0),半径r=,则圆心到直线l的距离d==2,则点C到直线l的距离的最大值为d+r=3,则△ABC面积的最大值为×2×3=6.故选A.
4.C　[解析] 设P(x,y),因为=(2,-1),所以Q(x-2,y+1),又Q在圆M:x2+y2=4上,所以(x-2)2+(y+1)2=4,即E的方程为(x-2)2+(y+1)2=4.故选C.
5.B　[解析] 圆C:(x-3)2+(y-4)2=1的圆心为C(3,4),半径为1,如图所示.
设原点O关于直线x-y+4=0的对称点为E(m,n),可得解得即点E(-4,4).由对称性可得|PO|=|PE|,所以|PM|+|PO|=|PM|+|PE|≥|EM|≥|EC|-1=|-4-3|-1=6,当且仅当M,P分别为线段EC与圆C、直线x-y+4=0的交点时,上述不等式中的两个等号同时成立,故|PM|+|PO|的最小值为6.故选B.
6.B　[解析] 联立y=x+2k与y=2x+k+1,得x=k-1,y=3k-1,则两直线交点的坐标为(k-1,3k-1).因为两直线的交点在圆x2+y2=4的内部,所以(k-1)2+(3k-1)2<4,得-7.C　[解析] 由y=变形得(x-2)2+y2=4(y≥0),所以点P的轨迹是以(2,0)为圆心,以2为半径的圆的上半部分,包含点(0,0)与(4,0).如图所示,当P与点(4,0)重合时|PA|最大,此时|PA|==3.故选C.
8.0.65　[解析] 以O为坐标原点,线段AB所在直线为x轴,线段OP所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,
易知点A,B,P的坐标分别为(-5,0),(5,0),(0,1).设圆拱所在圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),因为点A,B,P在所求的圆上,所以解得故圆拱所在圆的方程是x2+y2+24y-25=0.将点N3的横坐标x=3代入上述方程,解得y=-12+4≈0.65(负值舍去),即支柱M3N3的长度约为0.65 m.
9.5+　[解析] 因为直线l1:x+my-2=0与l2:mx-y+2=0(m∈R)分别恒过定点A(2,0),B(0,2),且两条直线垂直,所以点P的轨迹是以AB为直径的圆(不含原点),如图.
设AB的中点为C,则C,即C(1,1),又|AB|==2,所以圆C:(x-1)2+(y-1)2=2,所以|PM|max=+=5+,经检验符合题意.
10.解:(1)设C(a,0),圆C的方程为(x-a)2+y2=r2,∵圆C过A(-2,4),B(5,3),
∴(-2-a)2+16=r2,(5-a)2+9=r2,解得a=1,r2=25,
∴圆C的方程为(x-1)2+y2=25.
(2)证明:设P(x,y),则|PM|=,|PO|=,
∴=.
∵(x-1)2+y2=25,∴y2=24-x2+2x,∴=====5,为定值.
11.B　[解析] 由题意知Q(1,-1),设M(x0,y0)(x0≠±1,y0≠±1),则+=2,则MP:=,MQ:=,可得R,S,故|OR|·|OS|====2.故选B.
12.AD　[解析] 圆C:x2+y2+2x-3=0的标准方程为(x+1)2+y2=4,则圆心C(-1,0),半径r=2.又P(0,1),所以|CP|=.因为点M在圆x2+y2+2x-3=0上,所以|MP|∈[2-,2+],所以存在点M,使得|MP|=1,故A正确.因为(1+1)2+22=8>4,所以点Q在圆外.又|CP|=13.BC　[解析] 对于选项A,当x=1时,1+y2=2-2|y|,即y2+2|y|-1=0,因为|y|≥0,所以|y|==-1,故y=-1或y=1-,因为-1<1-,所以点(1,-1)在曲线外部,故A错误.对于选项B,将x换成-x,y换成-y,曲线C的方程x2+y2=2|x|-2|y|不变,故曲线C关于原点对称,故B正确.对于选项C,将x换成-x,方程x2+y2=2|x|-2|y|不变,故曲线C关于y轴对称,设曲线在第一象限与坐标轴围成图形的面积为S, 则曲线与坐标轴围成图形的面积为4S,当x>0,y>0时,方程x2+y2=2x-2y,即(x-1)2+(y+1)2=2,设圆(x-1)2+(y+1)2=2的圆心为H,则H(1,-1),易知半径r=,如图,
当y=0时,得x=0或x=2,故弦长|OA|=2,又|OH|=|HA|=,所以|OH|2+|HA|2=|OA|2,故∠OHA=,则S=πr2-r2=π-1,故4S=2π-4,故C正确.对于选项D,结合选项C的分析可知曲线的周长为4××2πr=2π,故D错误.故选BC.
14.解:(1)设点P的坐标为(x,y),因为|PA|=|PB|,且A(-1,0),B(2,1),
所以=,
所以(x+1)2+y2=2(x-2)2+2(y-1)2,
所以x2+2x+1+y2=2x2-8x+8+2y2-4y+2,
所以x2-10x+y2-4y+9=0,即(x-5)2+(y-2)2=20,
所以点P的轨迹方程为(x-5)2+(y-2)2=20.
(2)因为点P的轨迹关于直线mx+ny-2=0(m>0,n>0)对称,
所以圆心(5,2)在此直线上,即5m+2n=2,
所以+-15=(5m+2n)-15=-15=-7+≥
-7+×2=-7+2,
当且仅当=,5m+2n=2,即m=,n=时,等号成立.
故+-15的最小值为-7+2.

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