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第46讲　直线与圆、圆与圆的位置关系 (时间:45分钟)
　　　　　　 　　　　　　　　　　
1.若圆C1:x2+y2+2x+3y+1=0,圆C2:x2+y2+4x+3y+2=0,则圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程是 (　 )
A.x=
B.x=-
C.x+y=-
D.x-y=-
2.已知圆O的方程是x2+y2-8x-2y+10=0,则圆O中过点(5,2)的最短弦所在直线的方程是 (　 )
A.x-y-3=0
B.x+y-7=0
C.x+2y-9=0
D.2x-y-8=0
3.若圆(x-a)2+(y-a)2=8上总存在到原点的距离为的点,则实数a的取值范围是 (　 )
A.(-3,-1)∪(1,3)
B.(-3,3)
C.[-1,1]
D.[-3,-1]∪[1,3]
4.[2026·湖北武汉调研] 已知直线l:ax+by=r2,圆C:x2+y2=r2(r>0),则“点P(a,b)在圆C外”是“直线l与圆C相交”的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.[2026·山东青岛调研] 已知圆C1:(x-a)2+y2=4与圆C2:x2+(y-b)2=1恰有3条公切线,则ab的最大值是 (　 )
A. B.4
C.2 D.
6.已知实数x,y满足(x+2)2+y2=4,则4x+3y的取值范围为 (　 )
A.[-18,2] B.[-2,18]
C.[-10,10] D.[-10,-6]
7.[2025·安徽亳州期末] 若当动点P(m,n)在圆C上运动时,的取值范围为,则圆心C (　 )
A.一定在直线y=-x上
B.一定在直线y=-x上
C.一定在直线y=(-2)x上
D.一定在直线y=(1-)x上
8.(多选题)已知圆C:(x+2)2+y2=4,直线l:(m+1)x+2y-1+m=0(m∈R),则下列结论正确的是 (　 )
A.直线l与圆C不可能相切
B.当m=0时,圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1
C.恰有三条直线与圆C和圆x2+y2-2x+8y+8=0都相切
D.直线l与直线2x-(m+1)y=0垂直
9.已知在平面直角坐标系xOy中,A(-3,0),B(1,0),直线l:2kx-y+3k=0上存在动点P满足|PA|=3|PB|,则实数k的取值范围为　　　　.
10.已知圆C:x2+y2-2x+t=0,直线l:2x+y=0.
(1)若直线l与圆C相切,求实数t的值;
(2)若直线l与圆C相交于A,B两点,O为坐标原点,且·=-1,求圆C的半径r.
11.[2026·海南三亚诊断] 已知过原点且斜率存在的直线l与圆M:+(y-2)2=16交于A,B两点(M为圆心),当△MAB的面积最大时,直线l的斜率为 (　 )
A.-2 B.-
C.- D.-
12.(多选题)[2025·山东省实验中学四诊] 设动直线l:mx+y-m-2=0(m∈R)与圆C:(x-3)2+(y-4)2=12交于A,B两点,则下列说法正确的有 (　 )
A.直线l过定点(1,2)
B.当|AB|取得最大值时,m=-1
C.|AB|的最小值为2
D.当∠ACB最小时,其余弦值为
13.已知MN是圆O:x2+y2=4的一条弦,∠MON=60°,P是弦MN的中点.当弦MN在圆O上运动时,直线l:y=x-4上总存在两点A,B,使得∠APB为钝角,则|AB|的取值范围是　　　　　　　.
14.已知圆C过点A(1,-),B(6,2),且圆心C在x轴上.
(1)求圆C的周长;
(2)若直线l过点D(2,10),且被圆C截得的弦长为4,求直线l的方程;
(3)过点C且不与x轴重合的直线与圆C相交于M,N两点,O为坐标原点,直线OM,ON分别与直线x=8相交于P,Q两点,记△OMN的面积为S1,△OPQ的面积为S2,求的最大值.第46讲　直线与圆、圆与圆的位置关系
1.B　[解析] 两圆方程相减,化简得x=-,即圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程为x=-.故选B.
2.B　[解析] 圆O:x2+y2-8x-2y+10=0的圆心为(4,1),圆心与点(5,2)连线所在直线的斜率k1==1.因为52+22-8×5-2×2+10=-5<0,所以点(5,2)在圆内,所以当过点(5,2)的弦与过点(5,2)的直径垂直时,弦长最短,所以最短弦所在的直线斜率k2满足k1k2=-1,所以k2=-1.由点斜式方程得,最短弦所在直线的方程为y-2=-(x-5),整理得x+y-7=0.故选B.
3.D　[解析] 由圆(x-a)2+(y-a)2=8上总存在到原点的距离为的点,知圆(x-a)2+(y-a)2=8与圆x2+y2=2有交点,又两圆的半径分别为2,,圆心距为|a|,∴2-≤|a|≤2+,∴1≤|a|≤3,解得1≤a≤3或-3≤a≤-1,∴实数a的取值范围是[-3,-1]∪[1,3].
4.C　[解析] 由点P(a,b)在圆C外,得a2+b2>r2,则圆心C到直线l的距离d=r2,因此点P(a,b)在圆C外,即“点P(a,b)在圆C外”是“直线l与圆C相交”的必要条件.所以“点P(a,b)在圆C外”是“直线l与圆C相交”的充要条件.故选C.
5.A　[解析] 由题意可知,圆C1的半径r1=2,圆心C1(a,0);圆C2的半径r2=1,圆心C2(0,b).因为两圆恰有3条公切线,所以两圆外切,则|C1C2|==r1+r2=3,可得a2+b2=9,由基本不等式可得9=a2+b2≥2ab,当且仅当即a=b=或a=b=-时,等号成立,可得ab≤,故ab的最大值为.故选A.
6.A　[解析] 因为实数x,y满足(x+2)2+y2=4,所以点P(x,y)在圆C:(x+2)2+y2=4上,圆心C(-2,0),半径r=2.设4x+3y=t,则点P(x,y)在直线l:4x+3y-t=0上,所以直线l与圆C有公共点,
则圆心C到直线l的距离d≤r,即≤2,解得-18≤t≤2,则4x+3y的取值范围为[-18,2].故选A.
7.C　[解析] 如图所示,kOP=,O为坐标原点,
因为的取值范围为,所以直线OP的倾斜角的取值范围是∪.由题意可知,直线y=-x,y=x为圆C的两条切线,即直线x+y=0,x-y=0为圆C的两条切线,由图可知,直线OC的斜率为负数.设圆心C(a,b),则<0,且=,整理可得-=0,即a2+2ab-b2=0,可得-2·-1=0.因为<0,所以=-2,因此圆心C一定在直线y=(-2)x上.故选C.
8.ACD　[解析] 对于A项,由(m+1)x+2y-1+m=0(m∈R),可得m(x+1)+x+2y-1=0,解方程组可得所以直线l过定点A(-1,1),圆C:(x+2)2+y2=4的圆心为C(-2,0),半径r=2,则|AC|==<2,所以点A在圆C内,所以直线l与圆C一定相交,不可能相切,故A正确;
对于B项,当m=0时,直线l化为x+2y-1=0,此时圆心C(-2,0)到直线l的距离d==∈(1,2),因此圆C上只有两个点到直线l的距离等于1,故B错误;对于C项,x2+y2-2x+8y+8=0可化为(x-1)2+(y+4)2=9,其圆心为M(1,-4),半径R=3,因为|MC|=5=r+R,所以两圆外切,故恰有三条直线与圆C和圆x2+y2-2x+8y+8=0都相切,故C正确;对于D项,因为(m+1)×2-2(m+1)=0,所以直线l与直线2x-(m+1)y=0垂直,故D正确.故选ACD.
9.　[解析] 设P(x,y),由|PA|=3|PB|,可得=3,
整理得x2+y2-3x=0,即+y2=,则点P在以为圆心,为半径的圆上运动.又P在直线l上,所以直线l和圆有交点,因此圆心到直线l的距离d=≤,解得-≤k≤,即实数k的取值范围是.
10.解:(1)由圆C的一般方程x2+y2-2x+t=0可得标准方程(x-1)2+y2=1-t,则1-t>0,即t<1.
圆心C(1,0)到直线l:2x+y=0的距离d==,
因为直线l与圆C相切,所以d2=1-t=,解得t=,满足t<1.所以t=.
(2)由可得5x2-2x+t=0,
则Δ=4-20t>0,解得t<,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,
则·=x1x2+y1y2=x1x2+(-2x1)(-2x2)=5x1x2=t=-1,
所以t=-1,满足t<.
所以圆C的半径r满足r2=1-t=2,故r=.
11.B　[解析] 设直线l的方程为y=mx,即l:mx-y=0.又圆M的圆心为M(2,2),半径r=4,所以圆心M(2,2)到直线l的距离d=,弦长|AB|=2=2,所以S△MAB=·|AB|·d==.当d2=8时,S△MAB最大,此时=8,整理得2m+1=0,解得m=-,所以直线l的斜率为-.故选B.
12.AB　[解析] 圆C:(x-3)2+(y-4)2=12的圆心为C(3,4),半径r=2.对于选项A,由动直线l:mx+y-m-2=0,可得m(x-1)+y-2=0,令可得即直线l过定点M(1,2),选项A正确;对于选项B,当|AB|取得最大值时,直线l过圆心(3,4),则3m+4-m-2=0,得m=-1,选项B正确;对于选项C,当|AB|取得最小值时,直线l与直线CM垂直,又直线CM的斜率kCM=1,所以直线l的斜率为-1,故m=1,此时直线l的方程为x+y-3=0,圆心C(3,4)到直线l:x+y-3=0的距离d==2,所以|AB|min=2=2=4,选项C错误;对于选项D,当∠ACB最小时,|AB|最小,结合C选项的推导可得,此时cos∠ACB=
=,选项D错误.故选AB.
13.(4+2,+∞)　[解析] 圆O:x2+y2=4的圆心O(0,0),半径r=2.
因为P为弦MN的中点,所以OP⊥MN.
又因为∠MON=60°,所以三角形OMN为正三角形,所以|OP|=r=,即点P在以O为圆心,为半径的圆上,点P所在圆的方程为x2+y2=3.
要使得∠APB为钝角恒成立,则点P所在的圆在以AB为直径的圆的内部,而AB在直线l:y=x-4上,
O到直线l:y=x-4的距离d==2,所以以AB为直径的圆的半径R>2+,所以|AB|min=2R>4+2,所以|AB|的取值范围是(4+2,+∞).
14.解:(1)由圆心C在x轴上,设圆的方程为(x-a)2+y2=r2,
由圆C过A(1,-),B(6,2),得 解得所以圆C的方程为(x-4)2+y2=16,
其周长为2πr=8π.
(2)因为直线被圆C所截得的弦长为4,
所以圆心C到直线l的距离为=2.
①若直线l的斜率不存在,则直线l:x=2与圆C的交点为(2,±2),
直线被圆C截得的弦长为4,故直线l:x=2符合题意.
②若直线l的斜率存在,则设l:y-10=k(x-2),整理得l:kx-y+10-2k=0,
所以圆心C到直线l的距离为=2,解得k=-,
则直线l:y-10=-(x-2),即直线l:12x+5y-74=0.
综上所述,直线l的方程为x=2或12x+5y-74=0.
(3)如图,由题知原点O在圆(x-4)2+y2=16上,直线MN过圆心C,且与x轴不重合,故∠MON=.设直线OM的斜率为k(k≠0),则直线ON的斜率为-,则直线OM的方程为y=kx,直线ON的方程为y=-x,
由得(1+k2)x2-8x=0,解得或
则点M的坐标为.同理,点N的坐标为.
由题可知P(8,8k),Q,
故==·,
又因为===,===,
所以==≤=,当且仅当k2=,即|k|=1时等号成立,
所以的最大值为.

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