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第47讲　椭圆 (时间:45分钟)
　　　　　 　　　　　　　　　　
1.[2026·江苏南京三模] 已知曲线C:x2+y2=8(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线段PP',P'为垂足,则线段PP'的中点M的轨迹方程为 (　 )
A.+=1(y>0)
B.+=1(y>0)
C.+=1(y>0)
D.+=1(y>0)
2.如图所示,一个底面半径为的圆柱被与其底面夹角为45°的平面所截,截面是一个椭圆,则下列结论错误的是 (　 )
A.椭圆的长轴长为4
B.椭圆的离心率为
C.椭圆的方程可以为+=1
D.椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2-
3.已知F1,F2分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,A为C上的一点,且AF1⊥F1F2,|AF1|=3,|F1F2|=6,则C的短轴长为(　 )
A.3 B.6
C.2 D.4
4.[2026·河北秦皇岛三模] 若点P(1,-a)在椭圆x2-=2的内部,则实数a的取值范围为 (　 )
A.(-2,+∞)
B.∪
C.(-2,0)
D.∪
5.[2025·山东德州模拟] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F2为圆心的圆经过点F1,且与y轴正半轴交于点A,若线段AF1的中点在C上,则C的离心率是 (　 )
A.-1 B.-
C.- D.-1
6.如图,椭圆Γ:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1,F2分别作弦AB,CD.若AB∥CD,则|AF1|+|CF2|的取值范围为(　 )
A.
B.
C.
D.
7.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,长轴长为4,点P(,1)在椭圆C外,点Q在椭圆C上,则下列说法错误的是 (　 )
A.椭圆C的离心率的取值范围是
B.当椭圆C的离心率为时,|QF1|的取值范围是[2-,2+]
C.存在点Q使得·=0
D.+的最小值为1
8.椭圆+=1的焦距为4,则m=　　　　.
9.[2025·江西南昌期末] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)上有一异于顶点的点P,A,B分别是椭圆C的左、右顶点,且两直线PA,PB的斜率的乘积为-,则椭圆C的离心率e为　　　　.
10.[2025·全国二卷] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,长轴长为4.
(1)求C的方程.
(2)过点(0,-2)的直线l交C于A,B两点,O为坐标原点.若△OAB的面积为,求|AB|.
11.[2026·山西太原联考] 椭圆E:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆E上一动点,延长F1P到点Q,使得P为线段F1Q的中点,则|QF2|的最小值为 (　 )
A.1 B.2 C. D.4
12.在平面直角坐标系xOy中,F1,F2分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,过点F2作x轴的垂线交C于A,D两点,连接AF1并延长交C于另一点B,且|AD|=8,|AB|=9,则C的长轴长为 (　 )
A.7或10 B.6
C.7或9 D.10
13.(多选题)已知椭圆C:+=1的右焦点为F,左、右顶点分别为A,B,直线y=m(0A.椭圆C的焦距为2
B.|PF|+|QF|为定值
C.当以P,Q,F,B四个点为顶点的四边形为平行四边形时,该四边形的面积为
D.直线AP和AQ的斜率的乘积为
14.已知F1,F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,P,A,B为椭圆上三个不同的点,直线PA的方程为x=2,且∠APB的平分线经过点Q(1,0),设△AF1F2,△BF1F2内切圆的半径分别为r1,r2,则=　　　　. 第47讲　椭圆
1.A　[解析] 设点M(x,y),P(x,y0),则P'(x,0),因为M为PP'的中点,所以y0=2y,即P(x,2y),又P在圆x2+y2=8(y>0)上,所以x2+4y2=8(y>0),即+=1(y>0),故点M的轨迹方程为+=1(y>0).故选A.
2.B　[解析] 设椭圆的长半轴长为a,椭圆的短半轴长为b,半焦距为c,由题图可知b=,2acos 45°=2,∴ a=2,又c2=a2-b2,∴c=,∴椭圆的长轴长为2a=4,椭圆的离心率为=,椭圆的方程可以为+=1,椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a-c=2-,故A,C,D中说法正确,B中说法错误.故选B.
3.B　[解析] 由题意得
所以所以C的短轴长为2b=6.故选B.
4.B　[解析] 由点P(1,-a)在椭圆x2-=2的内部,可得1-<2,且2a<0,2a≠-1,解得-25.A　[解析] 如图,设F2(c,0)(c>0),连接AF2,由题知圆F2的半径为2c,且|AF1|=|AF2|=2c,得△AF1F2为等边三角形,则∠AF1F2=.设线段AF1的中点为B,连接BF2,则AF1⊥BF2,且|BF2|=|BF1|=c.因为点B在C上,所以|BF1|+|BF2|=2a,则(+1)c=2a,故=-1,即C的离心率为-1.故选A.
6.C　[解析] 如图,设点C关于原点的对称点为E,由椭圆Γ的对称性,得点E在椭圆上,连接CE,CF1,EF2.
由CE,F1F2互相平分,得四边形CF1EF2为平行四边形,则CF2∥EF1且|CF2|=|EF1|.又AB∥CF2且F1∈AB,所以点B与点E重合,因此|AF1|+|CF2|=|AB|.由椭圆性质知过椭圆+=1(a>b>0)焦点的最短弦长为通径,最长弦长为实轴长2a,椭圆+=1的通径长为,实轴长为2,由AB∥CD知,线段AB与椭圆长轴不重合,所以|AF1|+|CF2|=|AB|∈.故选C.
7.A　[解析] 由题意得2a=4,则a=2,又点P(,1)在椭圆C外,所以+>1,解得b<,所以椭圆C的离心率e==>,即椭圆C的离心率的取值范围是,故A中说法错误;当e=时,b=1,c=,此时|QF1|的取值范围是[a-c,a+c],即[2-,2+],故B中说法正确;设椭圆的上顶点为A(0,b),F1(-c,0),F2(c,0),则·=b2-c2=2b2-a2<0,所以存在点Q使得·=0,故C中说法正确;(|QF1|+|QF2|)=2++≥2+2=4,当且仅当|QF1|=|QF2|=2时,等号成立,又|QF1|+|QF2|=4,所以+≥1,故D中说法正确.故选A.
8.8　[解析] 当04时,椭圆的焦距为2=4,得m=8,符合题意.综上,m=8.
9.　[解析] 由题意可知A(-a,0),B(a,0),设P(x0,y0),x0y0≠0,
则+=1,则-a2=-,
于是kPA·kPB=·===-=-,所以a2=2b2,
所以e===.
10.解:(1)由题意知2a=4,故a=2,又=,故c=,所以b2=a2-c2=2,所以椭圆C的方程为+=1.
(2)①当l的斜率不存在时,不满足题意,舍去.
②当l的斜率存在时,设l的方程为y=kx-2,A(x1,y1),B(x2,y2).
由得(2k2+1)x2-8kx+4=0,其判别式Δ=32k2-16,
由Δ>0,解得k>或k<-,
故x1+x2=,x1x2=>0(两根同号).
方法一:|AB|=|x1-x2|=·=,
点O到直线AB的距离d=,
所以S△OAB=d·|AB|=×·==,解得k2=,
故|AB|==.
方法二:设P(0,-2),则S△OAB=|S△OPB-S△OPA|=×2|x2|-×2|x1|=|x2-x1|===,
解得k2=,故|AB|=|x2-x1|=×=.
11.B　[解析] 如图,由题意得a=,b=1,c=1,则|F1F2|=2c=2,记点T(3,0),连接QT,PF2,则|F2T|=2,即F2为线段F1T的中点,连接QT,因为P为线段F1Q的中点,所以在△QF1T中,|QT|=2|PF2|,|QF1|=2|PF1|,则|QT|+|QF1|=4>|F1T|,所以动点Q的轨迹为以F2为中心,T,F1为焦点的椭圆,其焦距为|F1T|=4,长轴长为|QT|+|QF1|=4,短半轴长为
=2,可得|QF2|的最小值为2.故选B.
12.D　[解析] 连接BF2,如图,依题意,|AF2|=|DF2|=4,椭圆的长半轴长为a,则|AF1|=2a-4,|BF1|=13-2a,|BF2|=2a-|BF1|=4a-13.在Rt△AF1F2中,cos A===,在△ABF2中,cos A===,则=,整理得-a(2a2-17a+35)=0.因为a≠0,所以2a2-17a+35=0,解得a=5或a=.当a=时,|AF1|=3,|BF1|=6,|AF1|<|BF1|,不满足题意;当a=5时,|AF1|=6,|BF1|=3,|AF1|>|BF1|,满足题意.所以C的长轴长为10.故选D.
13.ABD　[解析] 对于A,由a=2,b=,得c===1,可得椭圆C的焦距为2,故A正确;对于B,如图,设椭圆C的左焦点为F1,连接QF1,
由椭圆的对称性可知|PF|+|QF|=|QF1|+|QF|=2a=4,故B正确;对于C,由题意得|BF|=1,且PQ∥BF,又因为四边形PQBF为平行四边形,所以|PQ|=|BF|=1,设点P的坐标为,代入椭圆方程中,得+=1,解得y0=,即P的坐标为,则平行四边形的面积为1×=,故C错误;对于D,由题易知A(-2,0),设点P,Q的坐标分别为(x0,m),(-x0,m),代入椭圆方程得+=1,则kAP·kAQ=·===,故D正确.故选ABD.
14.5　[解析] 设点P在A的上方,如图,由题意可知a=2,b=2,c=2,由直线PA的方程为x=2,知直线PA过右焦点F2,则|AF2|=|PF2|===,|AF1|=2a-|AF2|=3,|F1F2|=2c=4.
由=r1=|AF2||F1F2|=2,得r1==
==2-.
又P(2,),Q(1,0),所以tan∠F2PQ===,
所以tan∠F2PB===2,
所以kPB==,所以直线PB的方程为y=(x-2)+,即x-2y+2=0.
令y=0,得x=-2,故直线PB经过点F1.
由得10y2-8y-4=0,
所以yB=-=-,得yB=-,
所以r2====,所以==5.

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