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第48讲　双曲线
1.A　[解析] 由椭圆C:5x2+2y2=10可得a1=,b1=,c1==,且焦点在y轴上,可知椭圆的长轴端点为(0,±),焦点为(0,±),所以双曲线的焦点为(0,±),顶点为(0,±).设双曲线的方程为-=1,可得a2=3,c2=5,则b2=c2-a2=2,所以双曲线E的方程为-=1.故选A.
2.C　[解析] 由双曲线C:-y2=1(a>0)的渐近线方程是y=±,可得=,解得a=2,则c==,所以双曲线C的离心率e==.故选C.
3.C　[解析] 由题可知a=b=1,如图,连接MF2,
由题意可知|MF1|-|MF2|=2a=2.因为O为坐标原点,N为线段MF1的中点,所以|ON|=|MF2|,|F1N|=|MF1|.又|ON|=|PN|,所以|PF1|=|F1N|-|PN|=|F1N|-|ON|=(|MF1|-|MF2|)=1.故选C.
4.C　[解析] 因为|F1F2|=2c,所以正三角形MF1F2的边长为2c.由题可知F1(-c,0),点M在y轴上,且|MO|=c(O为坐标原点),所以M(0,±c),所以边MF1的中点为A.因为边MF1的中点在双曲线上,所以-=1,化简得e2(e2-1)-3e2=4(e2-1),即e4-8e2+4=0,解得e2==4±2.又e>1,所以e==+1.故选C.
5.C　[解析] 如图,不妨取渐近线y=x,过A,F,B分别作渐近线y=x的垂线,垂足分别为C,E,D,
因为AC⊥CD,BD⊥CD,
所以四边形ACDB是直角梯形.根据图形的对称性可知F是AB的中点,又EF⊥CD,
所以|EF|==4,又|EF|==b,所以b=4.
由双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,
可得=,则=3,解得a=2,所以双曲线的方程为-=1.故选C.
6.B　[解析] 如图,因为直线AP与直线OQ(O为坐标原点)的交点M在双曲线E上,所以点M与点Q关于原点对称.设点F'为双曲线的左焦点,连接MF',QF',MF,因为|OF|=|OF'|,所以四边形MF'QF为平行四边形,故MF'∥QF,|MF'|=|QF|,易得△MAF'∽△PAF,则====4,化简得3c=5a,故离心率e==.故选B.
7.D　[解析] 设|F1Α|=m,连接BF2,因为|F2Α|=2|F1Α|,所以|F2Α|=2m.根据双曲线的定义,可得|F2Α|-|F1Α|=2a,即2m-m=2a,解得m=2a,所以|F1Α|=2a,|F2Α|=4a.又|BF1|-|BF2|=2a,H为线段AB的中点,且F2H⊥AB,所以|BF2|=|AF2|=4a,则|BF1|=2a+|BF2|=6a,所以|AB|=|BF1|-|AF1|=6a-2a=4a,则|AH|=2a,|F2H|===2a,|F1H|=|F1A|+|AH|=2a+2a=4a.设直线l的倾斜角为θ,则tan θ=k,则|tan θ|===,所以直线l的斜率k=±.故选D.
8.ABC　[解析] 选项A,当k=4时,曲线C的方程为x2+y2=2,此时曲线C为圆心在原点,半径为的圆,所以A正确;选项B,当k=0时,曲线C的方程为-=1,可得a=,b=,此时双曲线C的渐近线方程为y=±x,即y=±x,所以B正确;选项C,当曲线C为焦点在x轴上的椭圆时,有解得44”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件,所以C正确;选项D,当曲线C为离心率为的双曲线时,双曲线为等轴双曲线,即实半轴长与虚半轴长相等,则|k-2|=|6-k|,解得k=4,由选项A知,当k=4时,曲线C为圆,所以D错误.故选ABC.
9.(6,-1)　2x+y-11=0　[解析] 由题知F(4,0),设M(x1,y1),N(x2,y2),
因为F为△MNG的重心,所以=4, =0,即x1+x2=12,y1+y2=-2,
所以线段MN的中点坐标为(6,-1).
因为M,N是双曲线C右支上的两点,所以
两式相减并化简得=×=-2,即直线MN的斜率为-2,
所以直线MN的方程为y+1=-2×(x-6),即2x+y-11=0.
10.　[解析] 由题知A1(-a,0),A2(a,0),F1(-c,0),F2(c,0),由∠F1PF2=,得点P在以F1F2为直径的圆上,|OP|=|F1F2|=c,O为坐标原点.
不妨假设P在第一象限,设经过第一、三象限的渐近线的倾斜角为θ,则tan θ=,P(ccos θ,csin θ),
因为c2=a2+b2,所以sin θ=,cos θ=,则P(a,b),
故PA2⊥x轴,即∠PA2A1=.
因为3∠A1PA2=,所以∠A1PA2=,又∠A1PA2=-∠PA1A2,所以∠PA1A2=,所以==tan∠PA1A2=,所以=2,所以离心率e=====.
11.D　[解析] 设A(x1,y1),P(x2,y2),因为点A,B的连线经过坐标原点,所以A,B关于原点对称,则B(-x1,-y1),所以kPA·kPB=·=.因为点A,P在双曲线上,所以两式相减,得kPA·kPB==,所以e2==,所以e=.故选D.
12.D　[解析] 双曲线C:-=1的实半轴长a=3,半焦距c=5,焦点F1(-5,0),F2(5,0).设圆M与△PF1F2的三边PF1,F1F2,PF2分别相切于点R,N,Q,如图,则|PF1|-|PF2|=|PR|+|RF1|-|QF2|-|PQ|=|RF1|-|QF2|=|NF1|-|NF2|=2a=6.又|NF1|+|NF2|=|F1F2|=2c=10,所以|NF1|=8,|NF2|=2,|ON|=|OF2|-|NF2|=3,O为坐标原点,则点N(3,0).因为MN⊥x轴,所以M(3,1),tan ∠MF1N==,所以直线PF1的斜率=tan 2∠MF1N===.故选D.
13.ABD　[解析] 如图,∵2=,∴2||=||,2S△OAF=S△OBF,∵点F到两条渐近线的距离相等,∴|OB|=2|OA|,故A正确;∵AB⊥OA,|OB|=2|OA|,∴∠ABO=30°,∠AOB=60°,∴∠AOF=∠BOF=30°,∴∠AFO=60°,故B正确;由B知,一条渐近线的斜率为=tan 30°=,则e===,故C错误;由C知,=cos 30°=,∴|OA|=c=·a=a=b,又|AF|=b,∴|AB|=3b,∴S△AOB=×b×3b=2,∴b=,a=2,c=,故D正确.故选ABD.
14.　[解析] 设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),由离心率e==2,知c=2a.又c2=a2+b2,所以b=a,所以A(0,a),C(0,-a),B(-a,0),F(-2a,0),则=(a,a),=(-2a,a),cos∠BDF=cos<,>===.第48讲　双曲线 (时间:45分钟)
　　　　　　 　　　　　　　　　　
1.若椭圆C:5x2+2y2=10的焦点和顶点分别是双曲线E的顶点和焦点,则双曲线E的标准方程为 (　 )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
2.若双曲线C:-y2=1(a>0)的渐近线方程是y=±,则C的离心率为 (　 )
A. B.
C. D.
3.已知双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,M为C的右支上一点,N为线段MF1的中点,P为线段NF1上一点,若|ON|=|PN|(O为坐标原点),则|PF1|= (　 )
A.4 B.2
C.1 D.
4.[2026·广东深圳中学摸底] 已知F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,以线段F1F2为边作正三角形MF1F2,若边MF1的中点在双曲线上,则该双曲线的离心率e= (　 )
A. B.
C.+1 D.4+2
5.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,过右焦点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=8,则双曲线的方程为 (　 )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
6.已知双曲线E:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,右顶点为A,过点F的直线与双曲线E的一条渐近线交于点P,与其左支交于点Q,且点P与点Q不在同一象限,直线AP与直线OQ(O为坐标原点)的交点在双曲线E上,若=-3,则双曲线E的离心率为 (　 )
A. B.
C.2 D.3
7.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于点A,B,H为线段AB的中点,若F2H⊥AB,且|F2A|=2|F1A|,则直线l的斜率k= (　 )
A. B.或-
C. D.或-
8.(多选题)[2026·福建福州质检] 已知曲线C的方程为+=1(k∈R),则下列结论正确的是 (　 )
A.当k=4时,曲线C为圆
B.当k=0时,曲线C为双曲线,其渐近线方程为y=±x
C.“k>4”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要条件
D.存在实数k使得曲线C为双曲线,其离心率为
9.已知双曲线C:-=1的右焦点为F,M,N是双曲线C右支上的两点,若G(0,2),且F为△MNG的重心,则MN的中点坐标为　　　　,直线MN的方程为　　　　.
10.设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A1,A2,P为双曲线的一条渐近线上一点,若∠F1PF2=3∠A1PA2=,则双曲线C的离心率为　　　　.
11.已知A,B,P是双曲线-=1(a>0,b>0)上不同的三点,且点A,B连线经过坐标原点,若直线PA,PB的斜率之积为,则该双曲线的离心率e= (　 )
A. B.
C. D.
12.[2025·江苏如皋调研] 双曲线C:-=1的右支上一点P在第一象限,F1,F2分别为双曲线C的左、右焦点,M为△PF1F2的内心,若内切圆M的半径为1,则直线PF1的斜率为 (　 )
A. B.
C. D.
13.(多选题)[2026·四川成都模拟] 已知F(c,0)是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,过点F向C的一条渐近线引垂线,垂足为A,交另一条渐近线于点B,若2=,O为坐标原点,则下列结论正确的是 (　 )
A.|OB|=2|OA|
B.∠AFO=∠AOB
C.离心率e=
D.若S△AOB=2,则c=
14.如图,双曲线的中心为坐标原点O,A,C分别是双曲线虚轴的上、下端点,B是双曲线的左顶点,F为双曲线的左焦点,直线AB与FC相交于点D.若双曲线的离心率为2,则∠BDF的余弦值是　　　　.

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