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第49讲　抛物线 (时间:45分钟)
　　　　　　 　　　　　　　　　　
1.[2026·陕西汉中联考] 已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,点M在C上,且|MF|=4,则点M到y轴的距离为 (　 )
A.3 B.3
C.4 D.5
2.设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,点A在C上,过A作C的准线的垂线,垂足为B,若直线BF的方程为y=x+1,则|AF|= (　 )
A.1 B.2
C.3 D.4
3.[2026·福建福州质检] 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,直线y=3与l交于点M.若|MF|=5,则p= (　 )
A.1 B.2
C.4 D.8
4.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(1,0),点A在抛物线上,O是坐标原点,若△OFA的面积为,则|AF|= (　 )
A.2 B.3
C. D.4
5.过抛物线E:y2=6x的焦点的直线与该抛物线交于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为1,则|AB|= (　 )
A.12 B.
C. D.
6.已知点P(x,y)满足=|x+1|,Q(4,0),则|PQ|的最小值为 (　 )
A.2 B.2
C.2 D.4
7.设抛物线x2=2y的焦点为F,过抛物线上点P作其准线的垂线,垂足为Q,若∠PQF=30°,则|PQ|= (　 )
A. B.
C. D.
8.抛物线C:y=x2的准线方程为　　　　.
9.[2026·北京通州区期末] 已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点M,N在C上,若|MF|+|NF|=8,则线段MN的中点的横坐标为　　　　.
10.古希腊的几何学家用一个不过顶点的平面去截一个圆锥,将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线.如图所示的圆锥中,AB为底面圆的直径,M为PB的中点,某同学用平行于母线PA且过点M的平面去截圆锥,所得截口曲线为抛物线.若该圆锥的高PO=4,底面半径OA=4,则该抛物线的焦点到准线的距离为　　　　.
11.[2026·四川成都模拟] 如图,设抛物线C:x2=4y的焦点为F,过x轴上一点A作直线l交C于B,D两点,若|FB|=,|FD|=7,则= (　 )
A.4 B.3 C. D.
12.(多选题)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为y轴上一点,且|AF|=6,线段AF与抛物线C相交于点B,=,则下列结论正确的有 (　 )
A.直线AF的方程为4x+y-8=0
B.以线段BF为直径的圆与y轴相切
C.p=4
D.|OA|=4,O为坐标原点
13.已知F是抛物线C:y2=4x的焦点,P是抛物线C上一动点,Q是曲线x2+y2-10x-2y+25=0上一动点,则|PF|+|PQ|的最小值为　　　　.
14.已知点P为抛物线y2=8x上一点,过点P作圆C:(x-5)2+y2=1的两条切线,切点分别为M,N,则cos∠MPN的最小值为　　　　. 第49讲　抛物线
1.A　[解析] 因为F为抛物线C:y2=4x的焦点,所以F(1,0).设M(a,b),因为|MF|=4=a+1,所以a=3,故M到y轴的距离为3.故选A.
2.B　[解析] 如图,对于y=x+1,令x=0,得y=1,所以F(0,1),则p=2,故抛物线C:x2=4y,抛物线的准线方程为y=-1,故B(-2,-1),则xA=-2,代入x2=4y得yA=1,所以|AF|=|AB|=2.故选B.
3.C　[解析] 由抛物线C:y2=2px(p>0),得准线l:x=-,F.因为直线y=3与准线l交于点M,所以M,则|MF|==5,解得p=4.故选C.
4.D　[解析] 由F(1,0),得=1,即p=2,故抛物线的方程为y2=4x.设A(x0,y0),则△OFA的面积为×|OF|×|y0|=×|y0|=,得y0=±2.将y0=±2代入y2=4x,得x0=3,由焦半径公式得|AF|=x0+1=4.故选D.
5.C　[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),则则=.因为线段AB的中点的纵坐标为1,所以y1+y2=2,则=3.又直线AB过E的焦点,所以直线AB的方程为y=3,则线段AB的中点的横坐标为,则x1+x2=,故|AB|=x1+x2+p=+3=.故选C.
6.C　[解析] 因为表示点P(x,y)到点(1,0)的距离,|x+1|表示点P(x,y)到直线x=-1的距离,=|x+1|,所以点P(x,y)到点(1,0)的距离等于点P(x,y)到直线x=-1的距离.由抛物线的定义知,点P的轨迹为抛物线,抛物线方程为y2=4x.设P,则|PQ|===≥2,当且仅当t=±2时,等号成立,故|PQ|的最小值为2.故选C.
7.A　[解析] 由题意可知,抛物线的焦点为F,准线方程为y=-.如图,设M为准线与y轴的交点,过点P作PN⊥y轴,垂足为N,则|FM|=1,
因为∠PQF=30°,且|PF|=|PQ|,所以∠PFQ=30°,∠QPF=120°,则∠FPN=30°.因为FM∥PQ,所以∠QFM=30°,可得|MQ|=|FM|tan∠QFM=,则|PN|=|MQ|=,所以|PQ|=|PF|===.故选A.
8.y=-　[解析] 抛物线C的标准方程为x2=6y,所以C的准线方程为y=-.
9.3　[解析] 设M(x1,y1),N(x2,y2),根据抛物线定义可得|MF|+|NF|=x1+1+x2+1=8,
可得x1+x2=6,所以线段MN的中点的横坐标为3.
10.2　[解析] 因为AB为底面圆的直径,|PO|=4,|OA|=4,所以|PA|=|PB|=4,则|PA|2+|PB|2=|AB|2,所以AP⊥PB,则△PAO,△PAB都是等腰直角三角形.
因为M是PB的中点,O是AB的中点,所以AP∥OM,|OM|=|AP|=2.
因为截面平行于母线PA且过母线PB的中点M,所以O在此截面内.
根据对称性可知抛物线的对称轴为OM,焦点在OM上.
在截面内,以M为原点,OM所在直线为x轴,过M点且与OM垂直的直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图,设抛物线与底面交点为E,则xE=|OM|=2,yE=|OA|=4,
设抛物线方程为y2=2px(p>0),将点E的坐标代入得16=2p×2,解得p=2,
故该抛物线的焦点到准线x=-的距离为2.
11.B　[解析] 抛物线C:x2=4y的焦点为F(0,1),准线方程为y=-1.
如图,
过B作准线的垂线,垂足为N,交x轴于E,根据抛物线定义,得|BF|=|BN|=,所以|BE|=-1=.过D作准线的垂线,垂足为G,交x轴于H,根据抛物线定义,得|DF|=|DG|=7,所以|DH|=7-1=6,所以===,所以==3.故选B.
12.BCD　[解析] 抛物线的焦点F,准线l:x=-,|OF|=.对于C,如图,因为=,所以B为线段AF的中点,|BF|=|AF|=3,过点B作准线的垂线,垂足为N,垂线与y轴交于点M,则|BM|=|OF|=,由抛物线的定义可知,|BF|=|BN|=+=3,解得p=4,故C正确;对于D,在Rt△OAF中,|OA|2=|AF|2-|OF|2=36-4=32,得|OA|=4,故D正确;对于A,tan∠AFO===2,则直线AF的斜率为±2,又F(2,0),所以直线AF的方程为y=±2(x-2),即4x+y-8=0或4x-y-8=0,故A错误;对于B,取线段BF的中点D,过D作DE⊥y轴于点E,则|DE|=(|BM|+|OF|)==,所以|DE|=|BF|,即线段BF的中点到y轴的距离等于|BF|,则以线段BF为直径的圆与y轴相切,故B正确.故选BCD.
13.5　[解析] 曲线x2+y2-10x-2y+25=0,即(x-5)2+(y-1)2=1为圆,
设其圆心为M,则M(5,1).
抛物线y2=4x的准线l:x=-1,
如图,过点P作PG⊥l,垂足为G,则|PG|=|PF|,所以|PF|+|PQ|=|PG|+|PQ|.
由图知当G,P,Q,M四点共线且点Q在P,M之间时,|PG|+|PQ|最小,最小值为点Q到直线l的距离.
设M到直线l的距离为d,则d=5-(-1)=6,则|PG|+|PQ|的最小值为d-1=6-1=5,所以|PF|+|PQ|的最小值为5.
14.　[解析] 圆(x-5)2+y2=1的圆心C的坐标为(5,0),半径为1.
连接PC,CM,CN,因为PM,PN为圆C的切线,切点分别为M,N,
所以CN⊥PN,CM⊥PM,|PM|=|PN|,|CM|=|CN|,
所以△PMC≌△PNC,
所以∠MPC=∠NPC=∠MPN,sin∠MPC==.
设P,则|PC|2=+t2=-+25=+24.
当t2=8时,|PC|min=2,此时sin∠MPC最大.
又∠MPN∈,函数y=sin x在上单调递增,
所以当t2=8,即P(1,±2)时,∠MPC最大,
此时∠MPN最大,cos∠MPN最小,
则(cos∠MPN)min=1-2(sin∠MPC=1-2×=.

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