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第50讲　直线与圆锥曲线的位置关系 (时间:45分钟)
　　　　　 　　　　　　　　　　
1.[2026·浙江杭州模拟] 已知直线y=x+3与椭圆+=1有公共点,则m的取值范围是 (　 )
A.(0,4] B.(-∞,0]∪[4,+∞)
C.[4,+∞) D.[4,5)∪(5,+∞)
2.已知点M(-,0),N(,0),若直线y=kx上存在点P满足|PM|-|PN|=2,则实数k的取值范围是 (　 )
A.∪
B.
C.(-∞,-2)∪(2,+∞)
D.(-2,2)
3.已知双曲线C:x2-=1的左、右顶点分别为点A,B,点P在双曲线的右支上且异于点B.若直线AP的斜率的取值范围是,则直线BP的斜率的取值范围是 (　 )
A.[4,8] B.(2,4]∪[8,+∞)
C.(4,8) D.(0,4]∪[8,+∞)
4.[2025·湖南张家界联考] 在平面直角坐标系xOy中,已知拋物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为直线x=-2,过点F的直线l与C交于A,B两点,则△AOB面积的最小值为 (　 )
A.18 B.16
C.12 D.8
5.已知椭圆C:+=1(a>)的离心率为,过点P的直线与椭圆C交于A,B两点,且满足|PA|=|PB|,则直线AB的方程为(　 )
A.3x+y-5=0 B.3x-y-4=0
C.x+y-2=0 D.x-y-1=0
6.设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线-=1(a>0,b>0)相交于A,B两点,若线段AB的中点坐标是(x0,y0),且x0∶y0=4∶3,则= (　 )
A. B.
C. D.2
7.[2025·福建莆田调研] 已知椭圆的方程为+=1,过椭圆中心的直线交椭圆于A,B两点,F2是椭圆的右焦点,则△ABF2的周长的最小值为 (　 )
A.8 B.6+2
C.10 D.8+2
8.(多选题)抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线l:y=k(x-2)过点F且与抛物线E交于A,B两点,其中点A在第一象限,则下列说法正确的是 (　 )
A.p=4
B.当k=2时,|AB|=
C.若点P的坐标为(3,2),则△APF周长的最小值为8
D.当|AF|=3|BF|时,k=
9.[2026·云南昆明模拟] 已知O为原点,椭圆C:+=1(a>b>0)与直线l:x-y+1=0交于A,B两点,线段AB的中点为M,若直线OM的斜率为-,则椭圆C的离心率为　　　　.
10.[2026·陕西师大附中模拟] 已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F(0,1),过点P(-2,2)的直线l与抛物线交于A,B两点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)当点P为线段AB的中点时,求直线AB的方程;
(3)求|AF|·|BF|的最小值.
11.已知点P在椭圆+=1上,点Q在圆x2+y2-2y=0上,F(-1,0),则|PQ|+|PF|的最大值为 (　 )
A.5- B.5+
C.2 D.5+2
12.(多选题)[2025·全国二卷] 双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A1,A2,以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M,N两点,且∠NA1M=,则 (　 )
A.∠A1MA2=
B.|MA1|=2|MA2|
C.C的离心率为
D.当a=时,四边形NA1MA2的面积为8
13.已知过点M(2,1)的直线与抛物线C:y2=4x交于A,B两点,过点A,B分别作抛物线C的切线,两条切线交于点P,则|PM|的最小值为　　　　.
14.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,右焦点到双曲线C的一条渐近线的距离为1,两动点A,B在双曲线C上,线段AB的中点为M(2m,m)(m≠0).
(1)求双曲线C的方程;
(2)证明:直线AB的斜率k为定值;
(3)若O为坐标原点,△OAB的面积为,求直线AB的方程.第50讲　直线与圆锥曲线的位置关系
1.D　[解析] 根据椭圆方程的特点,可得m>0且m≠5,可排除B,C;直线y=x+3过点(0,3),当m>9时,点(0,3)在椭圆内部,所以直线y=x+3与椭圆+=1必有公共点,排除A.故选D.
2.D　[解析] 因为|PM|-|PN|=2<2=|MN|,所以P在双曲线的右支上,且c=,2a=2,故双曲线右支的方程为x2-=1(x≥1),其渐近线方程为y=±2x,由题知直线y=kx与双曲线右支有公共点,所以k∈(-2,2).故选D.
3.A　[解析] 设直线AP,BP的斜率分别为kAP,kBP,由题可得A(-1,0),B(1,0),设P(x0,y0),则-=1,即=4(-1),所以kAP·kBP=·===4,所以kBP=.又kAP∈,所以kBP∈[4,8].故选A.
4.D　[解析] 依题意得,-=-2,解得p=4,则抛物线C的方程为y2=8x,焦点F(2,0).设点A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为x=my+2,由消去x得y2-8my-16=0,则Δ>0,y1+y2=8m,y1y2=-16,因此S△AOB=|OF|·|y1-y2|==≥8,当且仅当m=0时取等号,所以△AOB面积的最小值为8.故选D.
5.C　[解析] 由题意知,=,即=1-=1-=,可得a2=6,过P的直线与椭圆C交于A,B且满足|PA|=|PB|,则P为线段AB的中点,所以xA+xB=3,yA+yB=1,又+=1,+=1,所以+=0,即=
-,所以=-=-1,故直线AB的方程为y-=-,即x+y-2=0.故选C.
6.D　[解析] 将(x0,y0)代入直线方程x-3y+m=0(m≠0)中,得x0-3y0+m=0,又x0∶y0=4∶3,所以x0=m,y0=m.设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去x得(9b2-a2)y2-6b2my+b2(m2-a2)=0,则Δ=36b4m2-4b2(9b2-a2)(m2-a2)=4a2b2(9b2+m2-a2)>0,因此y1+y2==,整理得a2=4b2,则a=2b,所以=2.故选D.
7.C　[解析] 由题可得a=3,b=2,则c==,设椭圆的右焦点为F1,连接AF1,BF1,则|OA|=|OB|,|OF1|=|OF2|(其中O为原点),可知四边形AF1BF2为平行四边形,则|BF2|=|AF1|,可得△ABF2的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=|AF1|+|AF2|+|AB|=2a+|AB|,当A,B为短轴的端点时,|AB|取得最小值,最小值为2b=4,所以△ABF2的周长为2a+|AB|≥6+4=10.故选C.
8.ACD　[解析] 对于A,直线l:y=k(x-2)与x轴的交点为(2,0),所以F的坐标为(2,0),所以=2,即p=4,所以A选项正确;对于B,当k=2时,由得x2-5x+4=0,则Δ>0,x1+x2=5,故|AB|=x1+x2+p=5+4=9,所以B选项错误;对于C,因为P(3,2),F(2,0),所以|PF|=3,过点A作准线的垂线,垂足为A',则三角形APF的周长为|AP|+|AF|+|PF|=|AP|+|AA'|+3≥|PA'|+3≥5+3=8,当且仅当点A在点P,A'之间时等号成立,所以C选项正确;对于D,设直线l与抛物线的准线交于点D,过点B作准线的垂线,垂足为B',设|BF|=t,则|AF|=3t,|BB'|=t,|AA'|=3t,根据三角形相似得|DB|=2t=2|BB'|,所以∠DBB'=60°,所以直线l的倾斜角为60°,则k=,所以D选项正确.故选ACD.
9.　[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1且+=1,
故+=0,则-==·=kl·kOM,
故-=1×,即=,
因此离心率e===.
10.解: (1)∵抛物线C的焦点为F(0,1),∴=1,即p=2,∴抛物线C的方程为x2=4y.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),显然直线l的斜率存在. 设l的方程为y=k(x+2)+2,
由消去y,整理得x2-4kx-8k-8=0,则Δ>0,x1+x2=4k,∵点P(-2,2)是线段AB的中点,∴x1+x2=4k=-4,解得k=-1.∴直线AB的方程为y=-(x+2)+2,即x+y=0.
(3)由抛物线的定义可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,∴|AF|·|BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1.
由(2)知x1+x2=4k,x1·x2=-8(k+1),∴y1y2=·=4(k+1)2,y1+y2=k(x1+x2+4)+4=4k2+4k+4,∴|AF|·|BF|=4(k+1)2+4k2+4k+4+1=8k2+12k+9=8+,∴当k=-时,|AF|·|BF|取得最小值.
11.B　[解析] 设椭圆+=1的另一个焦点为F'(1,0),由题知圆的圆心为C(0,1),半径r=1.因为|PF|+|PF'|=2a=4,所以|PF|=4-|PF'|,所以|PQ|+|PF|=4+|PQ|-|PF'|.要求|PQ|+|PF|的最大值,即求4+|PQ|-|PF'|的最大值.设过点C,F'的直线交圆C于点Q',点C在Q',F'之间,因为|PQ|-|PF'|≤|Q'F'|,当且仅当P,Q',F'三点共线时等号成立,所以|PQ|-|PF'|的最大值为|Q'F'|.又|Q'F'|=|CF'|+r=+1,所以|PQ|+|PF|的最大值为4+|Q'F'|=4++1=5+.故选B.
12.ACD　[解析] 不妨设渐近线方程为y=x,M在第一象限,N在第三象限.对于A,由双曲线的对称性可得四边形A1MA2N为平行四边形,则∠A1MA2=π-=,故A正确.对于B,方法一:因为M在以F1F2为直径的圆上,所以F1M⊥F2M且|MO|=c(O为原点),设M(x0,y0),则得故MA2⊥A1A2,由A得∠A1MA2=,所以|MA2|=|MA1|×,即|MA1|=|MA2|,故B错误.
方法二:因为tan∠MOA2=(O为原点),在双曲线中,c2=a2+b2,所以cos∠MOA2=,又因为以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M,N两点,所以|OM|=c,过点M作MH⊥x轴,垂足为H,则|OH|=c·=a=|OA2|,所以点H与A2重合,则MA2⊥x轴,在Rt△MA1A2中,由∠A1MA2=,得=,即|MA1|=|MA2|,故B错误.
方法三:因为tan∠MOA2=(O为原点),c2=a2+b2,所以cos∠MOA2=,在△OMA2中由余弦定理知,|MA2|2=|OM|2+|OA2|2-2|OM||OA2|cos∠MOA2,即|MA2|2=c2+a2-2ac·=b2,则|MA2|=b,因为|MA2|2+|OA2|2=b2+a2=c2=|OM|2,所以MA2⊥OA2,所以△A1A2M为直角三角形,又∠A1MA2=,所以|MA2|=|MA1|,故B错误.对于C,方法一:因为=(+),所以4=+2·+,由B可知|MA2|=b,|MA1|=b,故4c2=b2+b2+2×b×b×=b2=(c2-a2),即c2=13a2,则离心率e=,故C正确.
方法二:因为==,所以=2,则e====,故C正确.对于D,当a=时,由C可知e=,则c=,b=2,故四边形NA1MA2的面积为2=2××2×2=8,故D正确.故选ACD.
13.　[解析] 设A,B,且A在第一象限,不妨设y>0,则由y2=4x,得y=2,则y'=,所以抛物线C在点A处的切线斜率k==,则抛物线C在点A处的切线方程为y-y1=,即y1y=2.同理可得抛物线C在点B处的切线方程为y2y=2.
由解得即P.
又因为直线AB的斜率kAB===,所以直线AB的方程为y-y1=(x-x1),即(y1+y2)y=4x+y1y2.
将点M的坐标代入直线AB的方程得y1+y2=8+y1y2①,
设点P的坐标为(x,y),则①式可整理为2y=8+4x,即2x-y+4=0,
所以点P的轨迹为一条直线,
所以|PM|的最小值为点M到直线2x-y+4=0的距离,即|PM|min==.
14.解:(1)不妨取C的一条渐近线的方程为y=x,即bx-ay=0,所以==b=1.又=,a2+b2=c2,所以a=b=1,
所以双曲线C的方程为x2-y2=1.
(2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),则两式相减并整理得(x1-x2)(x1+x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0,
因为线段AB的中点为M(2m,m)(m≠0),所以所以4m(x1-x2)-2m(y1-y2)=0,因为m≠0,所以=2,所以直线AB的斜率k为定值2.
(3)设直线AB的方程为y=2x+t,由消去y得3x2+4tx+t2+1=0,因为Δ=16t2-12(t2+1)>0,所以t∈(-∞,-)∪(,+∞),
则x1+x2=-t,x1x2=.
故|AB|=·|x1-x2|=·=,
则点O到直线AB的距离d=,
所以S△OAB=|AB|·d=×·=,
整理得t4-3t2-4=0,解得t2=4(t2=-1舍去),则t=±2,
又因为±2∈(-∞,-)∪(,+∞),所以直线AB的方程为y=2x±2.

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