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第51讲　圆锥曲线热点问题
第1课时　求值、最值与范围、证明问题
1.解:(1)由焦点F到准线l的距离为2,可得p=2,则Γ的方程为y2=4x.
(2)由(1)知F(1,0),l:x=-1,当直线AB的斜率为0时,显然不符合题意,则设直线AB的方程为x=my+1,其斜率为.将直线AB的方程与抛物线方程联立,消去x得y2-4my-4=0,Δ=16m2+16>0,由根与系数的关系得y1+y2=4m,y1y2=-4,设A(x1,y1),B(x2,y2),则A1(-1,y1),B1(-1,y2),又D(2,0),所以=-,=-,从而直线A1D的方程为x=-y+2,直线B1D的方程为x=-y+2,
将两直线方程分别与直线AB的方程联立,得my+1=-y+2,my+1=-y+2,则yM=,yN=,
从而+=2m+3=2m+=2m-3m=-m=1,解得m=-1,故直线AB的斜率为-1.
2.解:(1)由题意知a=,=,故c=1,所以b=1,故椭圆E的方程为+y2=1.
(2)由题意知直线AB的斜率存在且不为零,设其斜率为k1,则AB的方程为y=k1(x-),由消去y可得(1+2)x2-4x+4-2=0,故xB=,故xB=,yB=.设AC的斜率为k2,同理可得xC=,yC=.由题意知BC与x轴不平行,故设BC的方程为x=ty+m,所以k1,k2是方程=t×+m的两个根,整理得(2-2m)k2+2tk--m=0,又k1k2=-1,所以=1,故m=,所以直线BC恒过定点Q,又|OQ|=,|AQ|=,所以=,=,所以=,即=.
3.解:(1)由椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,得e==,则a=2b,椭圆的方程可化为x2+4y2=4b2,直线OP的斜率k==,则直线OP的方程为y=x,由椭圆的对称性,不妨设点A(x0,y0),x0>0,y0>0,由解得因此|AB|=2|OA|=2=b=
,解得b=1,故a=2,所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)如图,延长MF1交C于点M0,由(1)知F1(-,0),F2(,0),设M(x1,y1),M0(x2,y2),MF1的方程为x=my-,
由消去x得(m2+4)y2-2my-1=0,
则
设F1M与F2N之间的距离为d,四边形F1F2NM的面积为S,
由MF1∥NF2及椭圆的对称性知,点N与点M0关于原点对称,则S=(|F1M|+|F2N|)d=(|F1M|+|F1M0|)d=|MM0|d=,连接MF2又=|F1F2|·==≤2,当且仅当=,即m=±时,等号成立,所以四边形F1F2NM面积的最大值为2.
4.解:(1)因为抛物线C经过点M(1,),所以2=2p×1,解得p=1,所以抛物线C的标准方程为y2=2x.
(2)依题意,直线l与抛物线有2个交点A,B,所以直线l的斜率不为0,设直线l的方程为x=ty+4,由整理得y2-2ty-8=0,由Δ>0,得t∈R,设A(x1,y1),B(x2,y2),则
y1+y2=2t,y1y2=-8.所以S△AOB=×4×|y1-y2|=2=2≥8,当且仅当t=0时,等号成立,
故△AOB面积的取值范围是[8,+∞).
(3)由题意得抛物线的焦点为F.由=2,可知直线l过焦点F且斜率不为0,设直线l的方程为x=ty+,
由得y2-2ty-1=0,Δ=4t2+4>0,
于是y1+y2=2t,y1y2=-1.
由=2可知,-y1=2y2,代入上式可得y1=4t,y2=-2t,所以y1y2=-8t2=-1,解得t=±,
所以直线l的方程为4x-y-2=0或4x+y-2=0.第51讲　圆锥曲线热点问题
第1课时　求值、最值与范围、证明问题
(时间:45分钟)
　　　　　　 　　　　　　　　　　
1.已知抛物线Γ:y2=2px(p>0)的焦点F到准线l的距离为2,点D(p,0),过F的直线交Γ于A,B两点,过A,B分别作l的垂线,垂足分别为A1,B1,直线A1D,B1D与直线AB分别交于点M,N.
(1)求Γ的方程;
(2)记M,N的纵坐标分别为yM,yN,当+=1时,求直线AB的斜率.
2.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的一个顶点为A(,0),离心率为.
(1)求椭圆E的方程;
(2)不经过点A的直线l与椭圆E交于不同的两点B,C,且AB⊥AC,记△BOC,△BAC的面积分别为S1,S2(其中O为坐标原点),求的值.
3.[2026·辽宁五校期末] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,过坐标原点O和点P(a,b)的直线与椭圆C交于A,B两点,且|AB|=.
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线l与C交于M,N两点(M,N在x轴的同侧),F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,当F1M∥F2N时,求四边形F1F2NM面积的最大值.
4.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,且抛物线C经过点M(1,),直线l与抛物线交于A,B两点,O为坐标原点.
(1)求拋物线C的标准方程;
(2)若直线l过定点(4,0),求△AOB面积的取值范围;
(3)若=2,求直线l的方程.

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