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第2课时　定点、定值、定直线问题
1.解:(1)依题意有所以c=,所以b2=a2-c2=4-3=1,
所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)证明:显然直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+m,联立消去y得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,则Δ=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-4)>0,即m2<4k2+1,设E(x1,y1),F(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.因为直线AE,AF的斜率之和为1,
所以kAE+kAF=+===
==1,
所以m-2k=1,即m=2k+1,
所以直线l的方程为y=kx+2k+1,即y-1=k(x+2),所以直线l过定点(-2,1) .
2.解:(1)由题意得,=1,解得p=2,
所以抛物线C的方程为x2=4y.
(2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),直线AB的方程为y=kx+3.由y=,求导得y'=,则在A处的切线方程为y-y1=(x-x1),即x1x=2y+2y1,因为直线x1x=2y+2y1过点P(x0,y0),所以x1x0=2y0+2y1.同理,在B处的切线过点P,则x2x0=2y0+2y2.显然点A,B在直线xx0=2y0+2y上,即直线xx0=2y0+2y与y=kx+3是同一条直线,因此x0=2k,y0=-3,则P(2k,-3),所以点P在定直线y=-3上.
3.解:(1)由题意得解得所以椭圆C的方程为+=1.
(2)由题可知|HF1|+|HF2|=2,|F1F2|=2=4.在△F1HF2中,由余弦定理得=+-2|HF1|·|HF2|·cos∠F1HF2=-3|HF1|·|HF2|,则16=24-3|HF1||HF2|,即|HF1||HF2|=,所以=|HF1|·|HF2|·sin 60°=××=,故△F1HF2的面积是.
(3)证明:当直线l的斜率为0时,+=+=2.当直线l的斜率不为0时,设直线l的方程为x=ty+,A(x1,y1),B(x2,y2).联立得(t2+3)y2+2ty-3=0,此时Δ>0,y1+y2=,y1y2=.则+=+=·=·=·
=2.综上,+为定值.
4.解:(1)由题意知,c=,
由双曲线的定义得2a=-=4,
所以a=2,所以b2=1,
所以双曲线C的方程为-y2=1.
(2)设B(x0,y0),则-=1,即-4=4,
由题意知MA⊥NA,则kNA·kMA=kNA·k1=-1①.
因为M(-2,0),N(2,0),所以k2·kNB=·===②.
因为N,A,B三点共线,所以kNA=kNB,由①÷②得=-4,即k1=-4k2.第2课时　定点、定值、定直线问题 (时间:45分钟)
　　　　　　 　　　　　　　　　　
1.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且经过点A(-2,0),直线l与C交于E,F两点,直线AE,AF的斜率之和为1.
(1)求椭圆C的方程;
(2)证明:直线l过定点.
2.[2025·内蒙古包头质检] 已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F(0,1),过点D(0,3)的直线交抛物线于A,B两点,在A处的切线与在B处的切线交于点P.
(1)求抛物线C的方程;
(2)证明:点P在定直线上.
3.[2026·广东湛江期末] 已知M(0,)和N(,1)为椭圆C:+=1(a>b>0)上两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若点H在椭圆C上,F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,且∠F1HF2=60°,求△F1HF2的面积;
(3)过点P(,0)的直线l与椭圆C交于A,B两点,证明:+为定值.
4.[2025·云南昆明一中模拟] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-,0),F2(,0),左、右顶点分别为M,N,且双曲线C经过点P.
(1)求双曲线C的方程;
(2)动点A在圆x2+y2=a2上,动点B在双曲线C上,设直线MA,MB的斜率分别为k1,k2,若N,A,B三点共线,试探索k1,k2之间的关系.

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