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第九单元　统计
第52讲　随机抽样
1.C　[解析] 对于A,要了解一批节能灯泡的使用寿命,调查过程具有破坏性,只能采取抽样调查的方式,而不能将整批节能灯泡全部用于实验,故A错误;对于B,要调查某个班级同学的身高,采用全面调查的方式,故B错误;对于C,调查海河某段水域的水质情况,采用抽样调查的方式,故C正确;对于D,调查全市高中生每天的睡眠时间,采用抽样调查的方式,故D错误.故选C.
2.C　[解析] 由题可知,选出的男生有×19=8(人),则选出的女生有11人,所以男生比女生少选3人.故选C.
3.A　[解析] 由题知,=,解得n=150.故选A.
4.A　[解析] 对于A,这次抽样可能采用的是简单随机抽样,故A正确.对于B,由=知,采用的可以是比例分配的分层随机抽样,故B错误.对于C和D,抽样中每个女生被抽到的概率与每个男生被抽到的概率均等于,故C和D均错误.故选A.
5.B　[解析] 根据系统抽样法可知,分段间隔为=6,编号共分为200段,编号10属于第2段,所以最大编号在第200段,编号为10+6×(200-2)=1198.故选B.
6.D　[解析] 由题意得=0.3,所以n=1000×0.3=300,故选D.
7.B　[解析] 由题意可知,从该校高一年级男生中抽取了×45=25(人),
从该校高一年级女生中抽取了×45=20(人),所以不同的抽样结果共有种,故选B.
8.280　[解析] 由B层中甲被抽到的概率为,得B层中每个个体被抽到的概率都为,因此总体中每个个体被抽到的概率都为,而样本容量为10,所以总体包含的个体数为=280.
9.1800　[解析] 设该校高中部高一、高二、高三年级人数分别为5k,4k,3k,依题意得,×120-×120=10,解得k=150,则12k=1800,所以该校高中部学生人数为1800.
10.B　[解析] 由题意该校女生、男生的比值为=,不妨设抽取女生、男生的人数分别为2n,3n,则总数为5n,则所有样本的平均数为×(80×3n+60×2n)=72,所以所有样本的方差为×[10+(80-72)2]+×[20+(60-72)2]=110,则估计全校学生每天运动时间的方差为110.故选B.
11.C　[解析] 设抽取的总样本的平均数为,方差为s2,抽取的男生的平均每周课外阅读时间的平均数和方差分别为,,抽取的女生的平均每周课外阅读时间的平均数和方差分别为,,则=×+×=×5+×4==4.4,s2=×[+(-)2]+×[+(-)2]=×[1.65+(5-4.4)2]+×[3.5+(4-4.4)2]=3,所以估计该校学生平均每周课外阅读时间的总体方差为3.故选C.
12.ACD　[解析] 对于A,由题可知抽取的高三年级学生人数为200×=50,所以A正确;对于B,比例分配的分层随机抽样中,每一个个体被抽中的可能性相同,所以B错误;对于C,估计该校全体学生的平均身高为170×+172×+175×=172(cm),所以C正确;对于D,易知抽取的样本中,高一、高二、高三年级的学生分别有75,75,50人,则估计该校全体学生身高的方差s2=×{75×[78+(170-172)2]+75×[80+(172-172)2]+50×[76+(175-172)2]}=82,所以D正确.故选ACD.
13.解:(1)由题可知=,解得N=24,故估计敌军生产了24架战机.
(2)(i)不能估计敌军所有现役战机的平均飞行高度,需要知道这三个等级战机具体数量X,Y,Z或者抽取的样本量m,n,l,
估计式为++或++.
(ii)证明:因为样本是按比例在各层抽取的,且各层抽取的样本量分别为a,b,c,所以==,则===,所以=,=,=,
所以++=++.第九单元　统计
第52讲　随机抽样 (时间:45分钟)
　　　　　　 　　　　　　　　　　
1.下列调查方式合适的是 (　 )
A.要了解一批节能灯泡的使用寿命,采用全面调查的方式
B.要调查某个班级同学的身高,采用抽样调查的方式
C.调查海河某段水域的水质情况,采用抽样调查的方式
D.调查全市高中生每天的睡眠时间,采用全面调查的方式
2.[2025·广西南宁质检] 某学校高一年级有男生480人,女生660人,现按性别采用比例分配的分层随机抽样的方法从中选出19人,则男生比女生少选 (　 )
A.1人 B.2人 C.3人 D.4人
3.某学校有2000名男生和1000名女生,为了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从男生中抽取了100名学生,则n为 (　 )
A.150 B.200 C.250 D.300
4.某班级有男生20人,女生30人,现从中抽取10人参加活动,其中一次抽样结果是:抽到了4名男生、6名女生,则下列说法中正确的是 (　 )
A.这次抽样可能采用的是简单随机抽样
B.这次抽样一定没有采用比例分配的分层随机抽样
C.这次抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率
D.这次抽样中每个女生被抽到的概率小于每个男生被抽到的概率
5.系统抽样,也称为等距抽样,是概率抽样的一种方法.它的核心思想是:将总体中的所有单位按一定顺序(如时间、空间、名册顺序等)排列,然后随机确定一个起点,之后按照固定的、相等的“间隔”来抽取样本单位.某校有高三学生1200名,现采用系统抽样法从中抽取200名学生,用电脑对这1200名学生随机编号为1,2,3,…,1200,已知随机抽取的一名学生的编号为10,则抽取的学生中最大编号为 (　 )
A.2004 B.1198
C.1192 D.1086
6.[2025·湖北武汉期末] 某中学高一年级有400人,高二年级有320人,高三年级有280人,若用随机数法在该中学抽取容量为n的样本,每人被抽到的可能性都为0.3,则n等于 (　 )
A.160 B.200 C.280 D.300
7.某中学为了了解高一年级学生的课外活动情况,用比例分配的分层随机抽样的方法拟从男生和女生中共抽取45名学生.已知该校高一年级男生和女生分别有500人和400人,则不同的抽样结果共有 (　 )
A.种 B.种
C.种 D.种
8.一个总体分为A,B两层,A,B两层的个体数之比为4∶1,用比例分配的分层随机抽样的方法从总体中抽取一个容量为10的样本.已知B层中甲被抽到的概率为,则总体包含的个体数是　　　　.
9.[2026·安徽宿州期末] 某校高中部高一、高二、高三年级人数之比为5∶4∶3,其中三个年级女生共有600人,现准备从该校所有高中学生中抽取容量为120的样本.若根据年级采用比例分配的分层随机抽样,则抽取的高三年级学生人数为n;若根据性别采用比例分配的分层随机抽样,则抽取的女生人数为m,且m-n=10,则该校高中部学生人数为　　　　.
10.某学校有男生600人,女生400人.为调查该校全体学生每天的运动时间,采用按性别比例分配的分层随机抽样的方法获取容量为n的样本.经过计算,样本中男生每天运动时间的平均数为80分钟,方差为10;女生每天运动时间的平均数为60分钟,方差为20.结合数据,估计全校学生每天运动时间的方差为 (　 )
A.96 B.110
C.112 D.128
11.为了解学生的课外阅读情况,某校对该校高中生进行平均每周课外阅读时间(单位:小时)的调查,采用样本量比例分配的分层随机抽样的方法.如果不知道样本数据,只知道抽取了男生40人,其平均每周课外阅读时间的平均数和方差分别为5和1.65;抽取了女生60人,其平均每周课外阅读时间的平均数和方差分别为4和3.5,则估计该校学生平均每周课外阅读时间的总体方差为 (　 )
A.2.58 B.2.76 C.3 D.3.2
12.(多选题)[2025·云南昆明质检] 某中学为了了解学生的身高(单位:cm)情况,采用比例分配的分层随机抽样的方法从4000名学生(该校高一、高二、高三年级学生人数之比为3∶3∶2)中抽取了一个容量为200的样本.其中,高一年级学生的平均身高为170 cm,方差为78,高二年级学生的平均身高为172 cm,方差为80,高三年级学生的平均身高为175 cm,方差为76.则下列结论正确的是 (　 )
A.抽取的样本中高三年级的学生有50人
B.每位高三年级学生被抽中的可能性小于每位高二年级学生被抽中的可能性
C.估计该学校全体学生的平均身高为172 cm
D.估计该学校全体学生身高的方差为82
13.统计学家将战争中摧毁敌军的战机序列号作为样本,用样本估计总体的方法推断敌军每年生产的战机数量.假设敌军某年生产的战机数量为N,摧毁的某年生产的n架战机的编号按从小到大的顺序排列为x1,x2,x3,…,xn,最大的编号为xn,摧毁敌军战机是随机的,摧毁战机的编号x1,x2,x3,…,xn相当于从[1,N]中随机抽取的n个整数,这n个数将区间[0,N]分成(1+n)个小区间(如图),可以用前n个区间的平均长度估计(1+n)个区间的平均长度,进而得到N的估计值.
已知在某次战斗中摧毁敌军的战机编号为2,5,7,13,15,17,21,据此回答下列问题.
(1)根据材料估计敌军生产的战机数量.
(2)已知敌军所有现役战机分为三个等级(四代战机,四代半战机,五代战机),通过比例分配的分层随机抽样的方法调查三类战机的飞行高度,得到各个等级飞行高度的样本平均数为,,.
(i)根据上述信息是否可以估计敌军所有现役战机的平均飞行高度 若不能,还需要什么条件,请补充条件并写出估计式.
(ii)若敌军现役战机是按照比例生产的,四代战机,四代半战机,五代战机的战机数量分别为A,B,C,样本量分别为a,b,c,据此证明:++=++.

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