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第53讲　统计图表、用样本估计总体 (时间:45分钟)
　　　　　　 　　　　　　　　　　
1.下表为某平台向公众征集的某部热门电影的评分结果,根据表格信息我们可以估计其得分的60%分位数约为 (　 )
评分/分 1 2 3 4 5
人数占比/% 1.0 3.2 13.6 34.2 48.0
A.3.98 B.4.03
C.5 D.4.38
2.某市移动机器人比赛项目有19位同学参赛,他们在预赛中所得的积分互不相同,只有积分在前10位的同学才能进入决赛.若该比赛项目中的某同学知道自己的积分后,要判断自己能否进入决赛,则他只需要知道这19位同学的预赛积分的 (　 )
A.平均数 B.众数
C.中位数 D.极差
3.小李是一名健身运动爱好者,如图所示的统计图记录了他过去一个月(30天)每天花在健身运动上的时间(单位:分钟),记这组数据的众数为M,中位数为N,平均数为P,则 (　 )
A.NC.M4.[2026·贵州六校联盟联考] 某校的数学教师共有20人,他们的年龄分布如表所示:
年龄/岁 62 50 43 32 30 28 25
人数 2 3 3 5 2 4 1
则下列说法正确的是 (　 )
A.29是这20人年龄的上四分位数
B.29是这20人年龄的下四分位数
C.31是这20人年龄的中位数
D.这20人年龄的众数是50
5.随着春节申遗成功,世界对中国文化的理解和认同进一步加深,某学校为了解学生对春节习俗的认知情况,随机抽取了100名学生进行了测试,将他们的成绩适当分组后,画出的频率分布直方图如图所示,则下列数据一定不位于区间[80,85)内的是(注:每组数据用该区间的中点值代表) (　 )
A.众数 B.第70百分位数
C.中位数 D.平均数
6.[2025·广东湛江模拟] 一组数据1,3,7,9,m(m>0)的中位数不小于平均数,则m的取值范围为 (　 )
A.[5,7] B.[5,15]
C.[7,15] D.[5,20]
7.[2025·山东济南模拟] 一组样本数据中1,2,3,4出现的频率分别为p1,p2,p3,p4,且p1+p2+p3+p4=1.设这组数据的平均数为,中位数为m.下列条件一定能使得>m的是 (　 )
A.p1∶p2∶p3∶p4=1∶1∶1∶1
B.p1∶p2∶p3∶p4=1∶4∶4∶1
C.p1∶p2∶p3∶p4=1∶4∶3∶2
D.p1∶p2∶p3∶p4=2∶3∶4∶1
8.[2026·江苏南通期末] 已知互不相等的数据x1,x2,x3,x4,x5,t的平均数为t,方差为,数据x1,x2,x3,x4,x5的方差为,则,的大小关系为 (　 )
A.> B.=
C.< D.无法判断
9.[2026·浙江宁波期末] 已知数据x1,x2,x3,…,xn的平均数为3,方差为1,则数据3x1+1,3x2+1,3x3+1,…,3xn+1的平均数与方差的和为　　　　.
10.某社区组织了以“奔向幸福,‘毽’步如飞”为主题的踢毽子比赛活动,初赛结束后有甲、乙两个代表队进入决赛,已知每队有5名队员,按团体总数排列名次,在规定时间内每人踢100个以上(含100)为优秀,下表是两队各队员的比赛成绩.
1号 2号 3号 4号 5号 总数
甲队 103 102 98 100 97 500
乙队 97 99 100 96 108 500
根据以上信息,回答下列问题:
(1)分别计算甲、乙两队的优秀率.
(2)分别计算甲、乙两队比赛数据的中位数.
(3)分别计算甲、乙两队比赛数据的方差.
(4)根据以上信息,你认为综合评定哪一个队的成绩好 请简述理由.
11.一组数据x1,x2,x3,…,x10满足xi-xi-1=2(2≤i≤10),若去掉x1,x10后组成一组新数据,则新数据与原数据相比 (　 )
A.极差变大　　　 B.平均数变大
C.方差变小 D.第25百分位数变小
12.已知数据a1,a2,…,am的平均数为x,数据b1,b2,…,bn的平均数为y,若数据c1,c2,…,ck与数据a1,a2,…,am混合后的平均数为a,则数据b1,b2,…,bn与数据c1,c2,…,ck混合后的平均数为 (　 )
A.
B.
C.
D.
13.[2026·湖南长沙质检] 为完善学校体育教学模式,提高学生体育与健康素养,现对某校3000名高中学生每天的运动时间进行调查,随机抽取了100名学生的调查结果.下面是根据调查结果绘制的学生平均每天运动时间(单位:分钟)的频率分布直方图,将平均每天运动时间不低于85分钟的学生称为“运动爱好者”.
(1)求频率分布直方图中a的值,并估计该校学生中“运动爱好者”的人数;
(2)在抽取的100名学生中,随机选取了10名学生的平均每天运动时间(单位:分钟):x1,x2,x3,…,x10,已知这10个数的平均数=20,方差s2=25,若剔除其中的20和12两个数,求剩余8个数的平均数与方差.第53讲　统计图表、用样本估计总体
1.C　[解析] 因为1.0%+3.2%+13.6%+34.2%=52%<60%,1.0%+3.2%+13.6%+34.2%+48%=100%>60%,所以60%分位数为5.故选C.
2.C　[解析] 所得积分按从大到小的顺序排列后,因为这19位同学的积分的中位数是这组数据的第10个数据,所以知道中位数即可判断是否在前10名.故选C.
3.D　[解析] 由题图可得,众数M=50,处在中间位置的两个数据为50,60,所以中位数N==55,平均数P=×(2×30+3×40+10×50+6×60+3×70+2×80+2×90+2×100)≈59.7,所以M4.B　[解析] 对于A,上四分位数即75%分位数,因为20×75%=15,所以这20人年龄的上四分位数为按从小到大的顺序排列后的第15个数和第16个数的平均数,为=46.5,故A错误;对于B,下四分位数即25%分位数,因为20×25%=5,所以这20人年龄的下四分位数为按从小到大的顺序排列后的第5个数和第6个数的平均数,为=29,故B正确;对于C,这20人年龄的中位数是=32,故C错误;对于D,这20人年龄的众数是32,故D错误.故选B.
5.B　[解析] 对于A,由题图知,这组数据的众数为=82.5∈[80,85),A不符合题意;对于B,C,易知x==0.044,设这组数据的中位数、第70百分位数分别为m,n,因为(0.024+0.036)×5=0.3<0.5,0.3+0.060×5=0.6<0.7,0.6+0.044×5=0.82,所以0.060×(m-80)=0.5-0.3,0.044×(n-85)=0.7-0.6,解得m=∈[80,85),n= [80,85),B符合题意,C不符合题意;对于D,设这组数据的平均数为z,则z=72.5×0.12+77.5×0.18+82.5×0.3+87.5×0.22+92.5×0.12+97.5×0.06=83.6∈[80,85),D不符合题意.故选B.
6.B　[解析] 因为这组数据的平均数为=4+>4,所以这组数据的中位数只可能是m或7.若这组数据的中位数是m,则4+≤m≤7,即5≤m≤7;若这组数据的中位数是7,则4+≤7≤m,即7≤m≤15.综上所述,m的取值范围为[5,15].
7.C　[解析] 方法一:设样本数据的总个数为20n,n∈N*.对于A,==,m=,A不符合题意;对于B,==,m=,B不符合题意;对于C,==,m=,C符合题意;对于D,==,m=,D不符合题意.故选C.
方法二:由图可知,当频率分布直方图呈现“右拖尾”时平均数大于中位数,只有选项C中给出频率呈现“右拖尾”,故选C.
8.C　[解析] 由t=×(x1+x2+x3+x4+x5+t),得x1+x2+x3+x4+x5=5t,所以x1,x2,x3,x4,x5的平均数=×(x1+x2+x3+x4+x5)=t,且x1,x2,x3,x4,x5,t互不相等.易知=×[+++++(t-t)2]=×[++++],=×[++++],所以<.故选C.
9.19　[解析] 方法一:设数据x1,x2,x3,…,xn的平均数为,方差为s2,设yi=3xi+1(i=1,2,3,…,n),yi的平均数为,方差为,则=(3x1+1+3x2+1+…+3xn+1)==3+1=3×3+1=10,=[++…+]=[(3x1+1-3-1)2+(3x2+1-3-1)2+…+(3xn+1-3-1)2]=[(3x1-3)2++…+]=9×[++…+]=9s2=9×1=9,所以+=10+9=19.
方法二:设数据x1,x2,x3,…,xn的平均数为E(X),方差为D(X),设数据3x1+1,3x2+1,3x3+1,…,3xn+1的平均数为E(3X+1),方差为D(3X+1),则E(3X+1)=3E(X)+1=10,D(3X+1)=9D(X)=9.故平均数与方差的和为19.
10.解:(1)甲队的优秀率为×100%=60%,乙队的优秀率为×100%=40%.
(2)将甲队5名队员比赛成绩按从小到大的顺序排列为97,98,100,102,103,所以甲队比赛数据的中位数为100;
将乙队5名队员比赛成绩按从小到大的顺序排列为96,97,99,100,108,
所以乙队比赛数据的中位数为99.
(3)甲、乙两队比赛数据的平均数均为500÷5=100,则=×[(103-100)2+(102-100)2+(98-100)2+(100-100)2+(97-100)2]=.=×[(97-100)2+(99-100)2+(100-100)2+(96-100)2+(108-100)2]=18.
(4)综合评定甲队的成绩好,理由如下:
因为甲队的优秀率比乙队的优秀率高;甲队的中位数比乙队的中位数大;甲队的方差比乙队的方差小,比较稳定,故综合评定甲队的成绩比较好.
11.C　[解析] 由于xi-xi-1=2(2≤i≤10),故x2=x1+2,x3=x1+4,…,x9=x1+16,x10=x1+18.对于A,原数据的极差为x10-x1=18,去掉x1,x10后的极差为x9-x2=14,新数据与原数据相比极差变小,故A错误;对于B,原数据的平均数为==x1+9,去掉x1,x10后的平均数为==x1+9,新数据与原数据相比平均数不变,故B错误;对于C,原数据的方差为
×[+(x2-x1-9)2+…+]=33,去掉x1,x10后的方差为×[(x2-x1-9)2++…+(x9-x1-9)2=21,新数据与原数据相比方差变小,故C正确;对于D,10×25%=2.5,将所有数据按从小到大的顺序排列,第3个数为第25百分位数,即x3,去掉x1和x10后,8×25%=2,将所有数据按从小到大的顺序排列,第2个数和第3个数的平均数为第25百分位数,即,由于x3<,故去掉x1,x10后的数据的第25百分位数变大,故D错误.故选C.
12.A　[解析] 设数据c1,c2,…,ck的平均数为z,则=a,整理得kz=ma+ka-mx,故数据b1,b2,…,bn与数据c1,c2,…,ck混合后的平均数为=.故选A.
13.解:(1)由频率分布直方图可知,
20×(0.005+0.009+0.011+0.012 5+0.010+a)=1,解得a=0.002 5.
故估计该校学生中“运动爱好者”的人数为3000×[0.002 5×20+(100-85)×0.01]=600.
(2)xi=10=200,
剔除其中的20和12两个数,
剩余8个数的平均数===21.
因为====-,
所以=10s2+10=250+10×202=4250,
故剩余8个数的方差为-=-212=22.25.

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