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第55讲　两个计数原理 (时间:45分钟)
1.将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次,可能会出现的结果数为 (　 )　　　　　　 　　　　　　　　　　
A. 6 B. 12
C. 24 D.36
2.[2025·北京一六五中学期中] 某学校组织课外实践活动,现有5条不同的路线供高一、高二、高三3个年级选择,每个年级从中任意选择一条路线,最终确定3个年级的课外实践活动总方案.则不同的活动方案有 (　 )
A.53种 B.60种
C.35种 D.3×5种
3.如图,从A→C(图中不能折返回A)不同的走法有 (　 )
A.8种 B.6种
C.4种 D.2种
4.已知某博物馆的展览分为“百鸟鸣春”“百兽率舞”“百态生灵”3个单元.现有甲、乙、丙三名游客参观展览,每人选择其中的一个单元进行参观,则至少有一人参观“百鸟鸣春”单元的参观方案有 (　 )
A.12种 B.18种
C.19种 D.24种
5.如图所示,在A,B间有四个焊接点1,2,3,4,若某焊接点脱落,则此处断路,则焊接点脱落导致电路不通的情况的种数为 (　 )
A.9 B.11 C.13 D.15
6.[2026·广东江门模拟] 下列说法正确的是(　 )
A.中国灯笼又统称为灯彩,主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类,现有4名学生,每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种,则不同的选购方式有24种
B.从A村去B村的道路有3条,从B村去C村的道路有5条,则从A村经过B村去C村的不同路线的条数为8
C.一个两层书架,分别放置语文类读物4本,数学类读物5本,每本读物各不相同,从中取出1本读物,则不同的取法共有20种
D.从1,2,3,4,5五个数字中任选三个,可组成无重复数字的三位数的个数为60
7.[2026·河北保定联考] 如图,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.现有红、黄、蓝、绿四种不同的颜色供选择给“赵爽弦图”涂色,要求每个区域只涂一种颜色且相邻两个区域颜色不同,则不同的涂色方法种数为 (　 )
A.48 B.24 C.144 D.72
8.重庆九宫格火锅下面是相通的,实现了“底同火不同,汤通油不通”,它把火锅分为三个层次,不同的格子代表不同的温度和不同的牛油浓度,其锅具抽象成数学形状如图(同一类格子形状相同):
“中间格”火力旺盛,不宜久煮,适合放一些质地嫩脆、顷刻即熟的食物;
“十字格”火力稍弱,但火力均匀,适合煮食,长时间加热以锁住食材原香;
“四角格”属文火,火力温和,适合焖菜,让食物软糯入味.
现有6种不同的食物(足够量),其中1种适合放入“中间格”,3种适合放入“十字格”,2种适合放入“四角格”.现将九宫格全部放入食物,且每格只放一种,若同时可以吃到这六种食物(不考虑位置),则不同的放法种数为 (　 )
A.36 B.18
C.9 D.6
9.如图,某植物园的参观路线形如三叶草,若要全部参观并且路线不重复,则不同的参观路线共有　　　　种.
10.对于直线y=k(x+b),若k与b均在集合{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}内取值,则不同的直线条数为　　　　.
11.(多选题)[2026·江苏连云港调研] 用0,1,2,3,4,5,6这七个数字,可以组成 (　 )
A.180个无重复数字的三位数
B.75个无重复数字且为奇数的三位数
C.30个无重复数字且能被25整除的四位数
D.480个无重复数字且比1300大的四位数
12. 中国是世界上最早发明雨伞的国家,伞是中国劳动人民的一个重要的创造.如图所示为雨伞展开后的示意图,其伞面被伞骨分成8个区域,每个区域分别印有数字1,2,3,…,8.现准备给该伞面的每个区域涂色,要求每个区域涂一种颜色,相邻两个区域所涂颜色不能相同,对称的两个区域(如区域1与区域5)所涂颜色相同.若有6种不同颜色的颜料可供选择,则不同的涂色方案有　　　　种.
13.从按直线方向排列的10块地中选2块种植A,B两种作物,且A,B至少间隔6块地,有　　　　种不同的种植方法.
14.[2025·安徽江南十校联考] 程大位(1533-1606)是明代珠算发明家,他所编撰的《算法统宗》是最早记载并推广珠算开平方、开立方方法的古算书之一,它完成了计算由筹算向珠算的转变,使算盘成为主要的计算工具.算盘其形长方,周为木框,内贯直柱,俗称“档”.现有一种算盘(如图①)共三档,自右向左分别表示个位、十位和百位,档中横以梁,梁上一珠,下拨一珠记作数字5;梁下五珠,上拨一珠记作数字1.例如:图②中算盘表示整数506.如果拨动图①中算盘的3枚算珠,则可以表示不同的三位整数的个数为　　　　. 第十单元　排列、组合与二项式定理、概率
第55讲　两个计数原理
1.D　[解析] 将骰子先后抛掷2次,每次有6种不同的结果,一共有6×6=36(种)不同的结果.
2.A　[解析] 完成这件事情可分三步:第一步:高一年级学生选择一条路线,有5种选法;第二步:高二年级学生选择一条路线,有5种选法;第三步:高三年级学生选择一条路线,有5种选法.根据分步乘法计数原理可知,完成这件事情的方法有5×5×5=53(种).故选A.
3.A　[解析] 分为两类讨论,不经过B点有2种走法,经过B点有2×3=6(种)走法,共有2+6=8(种)走法.故选A.
4.C　[解析] 由题可知至少有一人参观“百鸟鸣春”单元的参观方案有33-23=19(种).故选C.
5.C　[解析] 按照焊接点脱落的个数分类讨论,若焊接点脱落1个,则有{1},{4},共2种情况;若焊接点脱落2个,则有{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},共6种情况;若焊接点脱落3个,则有{1,2,3},{1,2,4},{2,3,4},{1,3,4},共4种情况;若焊接点脱落4个,则有{1,2,3,4},共1种情况.由分类加法计数原理可知,焊接点脱落导致电路不通的情况种数为2+6+4+1=13.故选C.
6.D　[解析] 对于A,现有4名学生,每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种,每人都有3种选择,则不同的选购方式有3×3×3×3=81(种),故A错误;对于B,从A村去B村的道路有3条,从B村去C村的道路有5条,则从A村经过B村去C村的不同路线的条数为3×5=15,故B错误;对于C,一个两层书架,分别放置语文类读物4本,数学类读物5本,每本读物各不相同,从中取出1本读物,共有4+5=9(种)取法,故C错误;对于D,从1,2,3,4,5五个数字中任选三个,组成无重复数字的三位数分三步,首先确定百位,有5种选择,再确定十位,有4种选择,最后确定个位,有3种选择,故共有5×4×3=60(个)满足题意的三位数,故D正确.故选D.
7.D　[解析] 若选三种颜色,则①③同色且②④同色,则有4×3×2=24(种)方法;若选四种颜色,则①③同色或②④同色,则有2×4×3×2×1=48(种)方法.所以一共有24+48=72(种)方法.故选D.
8.C　[解析] 由题可知,“中间格”只有1种放法;“十字格”有四个位置,有3种适合放入的食物,所以其中有一种食物放两个位置,共有3种放法;“四角格”有四个位置,有2种适合放入的食物,可分为一种食物放三个位置,另一种食物放一个位置,有2种放法,或每种食物都放两个位置,有1种放法,故“四角格”共有3种放法.所以不同放法共有1×3×3=9(种).故选C.
9.48　[解析] 参观路线分步完成:第一步,选择三个“环形”路线中的一个参观,有3种选法,而在参观选择的“环形”时,可以按顺时针方向或按逆时针方向两类方法完成;第二步,选择余下的两个“环形”路线中的一个参观,有2种方法,同理,在参观选择的“环形”时,可以按顺时针方向或按逆时针方向两类方法完成;第三步,参观最后一个“环形”路线,也可以按顺时针方向或按逆时针方向两类方法完成.根据分步乘法计数原理可知不同的参观路线共有3×2×2×2×2=48(种).
10.91　[解析] 当k=0时,b任取一个值,均对应同一条直线;当k∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9}时,b从{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取一个值,对应的直线有9×10=90(条).所以不同的直线条数为1+90=91.
11.AB　[解析] 对于A,可以组成无重复数字的三位数的个数为6×6×5=180,故A正确.对于B,个位可选的数字有1,3,5,则可以组成无重复数字且为奇数的三位数的个数为3×5×5=75,故B正确.对于C,能被25整除的四位数的最后两位为25,50,则可以组成无重复数字且能被25整除的四位数的个数为4×4+5×4=36,故C错误.对于D,若千位数字比1大,则可以组成无重复数字的四位数的个数为5×6×5×4=600;若千位数字为1且百位数字比3大,则可以组成无重复数字的四位数的个数为1×3×5×4=60;若千位数字为1、百位数字为3且十位数字比0大,则可以组成无重复数字的四位数的个数为1×1×4×4=16;若千位数字为1、百位数字为3、十位数字为0且个位数字比0大,则可以组成无重复数字的四位数的个数为4,综上可得共有600+60+16+4=680(个)满足条件的四位数,故D错误.故选AB.
12.630　[解析] 根据题意,只需确定区域1,2,3,4的颜色,即可确定整个伞面的涂色.先涂区域1,有6种选择,再涂区域2,有5种选择,当区域3与区域1涂的颜色不同时,区域3有4种选择,剩下的区域4有4种选择;当区域3与区域1涂的颜色相同时,剩下的区域4有5种选择.故不同的涂色方案有6×5×(4×4+5)=630(种).
13.12　[解析] 方法一:对作物A所种的位置进行分类:
①当A种在第1块地时,B只能种在第8,9,10块地上,有3种种植方法;
②当A种在第2块地时,B只能种在第9,10块地上,有2种种植方法;
③当A种在第3块地时,B只能种在第10块地上,有1种种植方法.
由分类加法计数原理得,共有3+2+1=6(种)种植方法.再对换A,B,可得共有12种不同的种植方法.
方法二:把6块地捆绑.先在其余的4块地中选2块种植A,B,不同的种植方法有4×3=12(种),
再把捆绑的6块地插在A,B之间,由于不分顺序,故有1种方法.由分步乘法计数原理得,不同的种植方法有12×1=12(种).
14.26　[解析] “百位”拨动3枚算珠可以表示的不同的三位整数有300,700,共2个;“百位”拨动2枚算珠可以表示的不同的三位整数有210,250,201,205,610,650,601,605,共8个;“百位”拨动1枚算珠可以表示的不同的三位整数有120,102,160,106,111,151,115,155,520,502,506,560,511,551,515,555,共16个.
综上,符合条件的三位整数的个数为26.

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