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第56讲　排列与组合
1.B　[解析] 先安排第一个位置,有2种排法,再安排后面的3个位置,有种排法,根据分步乘法计数原理,共有=12(种)排法.故选B.
2.C　[解析] 当三个不同数字各出现一次时,有=6(个)三位数;当有一个数字出现两次时,出现两次的数字只能是2,3,则有=12(个)三位数;当有一个数字出现三次时,出现三次的数字只能是3,则有1个三位数. 综上所述,满足条件的三位数共有6+12+1=19(个).故选C.
3.A　[解析] 由题意知,不可能出现3点共线的情况,所以共可以作=56(个)平面.故选A.
4.D　[解析] 利用隔板法,将9个名额分给4个班级,每个班级至少1个名额,则有=56(种)分配方法.故选D.
5.B　[解析] 先将6名同学分为人数互不相同的3组,有=60(种)方法,然后将这3组同学分配到3个场地,有=6(种)方法,由分步乘法计数原理可知,不同的选派方法种数为60×6=360.故选B.
6.C　[解析] 登山运动员中不熟悉道路的有6人,平均分为两组有种方法;熟悉道路的有4人,平均分为两组有种方法.根据题意可得,将10人平均分为两组,每组有3名不熟悉道路的运动员和2名熟悉道路的运动员,所以不同的分组方法有·=60(种).故选C.
7.B　[解析] 方法一:数字2,7,1,8,2,8中有2个2,2个8,故可组成的六位数密码有=180(个).
方法二:数字2,7,1,8,2,8中有2个2,2个8,故先选出两个位置放2,有种方法;再从剩下的4个位置中选出两个位置放8,有种方法;剩下的全排列,有种方法.故可组成的六位数密码有=180(个).故选B.
8.2520　[解析] 由题可知完成任务共需搬运10次,只需在10次中选择3次搬运白色木箱,剩余7次中选择2次搬运灰色木箱,剩余5次搬运黑色木箱即可,故不同的搬法有=2520(种).
9.15　[解析] 从M地到N地的最近走法为横向的道路走且仅走四段,纵向的道路走且仅走两段,于是,原问题等价于求四个“横”字,两个“纵”字排成一列的方法种数.因为是相同元素的排列,所以只需从六个位置中任取四个填“横”,剩余两个填“纵”,共有=15(种)方法.
10.144　[解析] 六名同学排成一排照相,其中甲、乙相邻的安排方式有=240(种),六名同学排成一排照相,其中甲、乙相邻,丙在队伍两头的安排方式有=96(种),所以六名同学排成一排照相,其中甲、乙两名同学彼此相邻,丙不在队伍两头的安排方式共有240-96=144(种).
11.BC　[解析] 先选择1个奇数放在个位,再将其他数字进行排列,可得组成的五位数中奇数有=72(个),故A错误;若能被5整除,则个位为5,共=24(个)五位数,故B正确;数字2的位置有3种选择,则1在万位而2不在个位的五位数有=18(个),故C正确;由1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数共=120(个),其中最小的五位数是12345,故比12345大的有119个,故D错误.故选BC.
12.ACD　[解析] 对于A,每个小球都有3种放法,故共有34=81(种)不同的放法,故A正确;对于B,先将4个小球分为三组,每组至少1个小球,有种方法,再将三组小球放入3个盒子,有种方法,故共有=36(种)不同的放法,故B不正确;对于C,相当于在6个小球中间产生的5个空隙中插入2块隔板,故共有=10(种)不同的放法,故C正确;对于D,相当于找到方程x1+x2+x3=6的非负整数解的组数,令yi=xi+1(i=1,2,3),则问题相当于找到方程y1+y2+y3=9的正整数解的组数,相当于在9个小球中间产生的8个空隙中插入2块隔板,故共有=28(种)不同的放法,故D正确.故选ACD.
13.6　[解析] 分两种情况:第一种情况,4个0全部相邻,把4个0看成1个元素,共有=3(种)信号;第二种情况,将4个0分成2组,每组2个0,2组不相邻,利用插空法,共有=3(种)信号.综上,满足题意的信号共有6种.
14.480　[解析] 设这7张连号票的编号依次为1~7号,王老师留下的2张连号票的情况有(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7),共6种.
若王老师留下1,2号票,剩下3,4,5,6,7号票,则先把5张票分成4组,有(3,4),5,6,7;3,(4,5),6,7;3,4,(5,6),7;3,4,5,(6,7).共4种分法.再将4组票分给4个人,共有4×=96(种)不同的分法.
同理,若王老师留下6,7号票,也有96种不同的分法.
若王老师留下2,3号票,剩下1,4,5,6,7号票,则先把5张票分成4组,有1,(4,5),6,7;1,4,(5,6),7;1,4,5,(6,7).共3种分法.再将4组票分给4个人,共有3×=72(种)不同的分法.
同理,若王老师留下3,4号票或4,5号票或5,6号票,都各有72种分法.
所以共有96×2+72×4=480(种)不同的分法.第56讲　排列与组合 (时间:45分钟)
1.[2026·北京顺义区模拟] 甲、乙、丙、丁四人排成一列,且甲、乙均不在第一个位置,则不同的排法种数为 (　 )　　　　　 　　　　　　　　　　
A.6 B.12
C.24 D.36
2.用1,2,3组成三位数,数字i最多用i次,其中i=1,2,3,则满足条件的三位数的个数是 (　 )
A.15 B.18
C.19 D.27
3.在空间中有8个点,其中任何4个点不共面,过每3个点作一个平面,则可以作的平面个数为 (　 )
A.56 B.70
C.210 D.336
4.现有9个三好学生的名额分给4个班级,若每个班级至少1个名额,则不同的分配方法有 (　 )
A.504种 B.126种
C.84种 D.56种
5.某班选派6名同学到学校的A,B,C这3个活动场地做志愿者工作,每个场地至少去1名同学,每名同学只能去1个场地,且3个场地去的同学人数互不相同,则不同的选派方法种数为 (　 )
A.90 B.360
C.450 D.990
6.现有登山运动员10人,要平均分为两组,其中熟悉道路的有4人,每组都需分配到2人,那么不同的分组方法种数为 (　 )
A.10 B. 20
C. 60 D. 120
7.[2026·江西上饶期末] e是自然对数的底数,被称为自然常数或者欧拉数.最初由雅各布·伯努利在研究复利时发现,后由莱昂哈德·欧拉证明其为无理数,
其值大约为2.718 281 828.小明是个数学迷,他在设置手机的数字密码时,打算将自然常数e的前6位数字2,7,1,8,2,8进行排列得到一个六位数密码,则小明可以设置的密码个数为 (　 )
A.240 B.180
C.120 D.72
8.现有三堆木箱,5个黑色,3个白色,2个灰色,如图所示,工人随机将其一个个地搬上车,则不同的搬法有　　　　种.
9.如图,在某个城市中,M与N两地之间有整齐的道路网,则从M地到N地的距离最近的走法共有　　　　种.
10.[2026·江苏镇江期中] 某数学兴趣小组的六名同学排成一排照相,其中甲、乙两名同学必须彼此相邻,丙不在队伍两头的安排方式共有　　　　种.(用数字作答)
11.(多选题)由1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,则所有组成的五位数中 (　 )
A.奇数有60个
B.能被5整除的有24个
C.1在万位而2不在个位的有18个
D.比12345大的有108个
12.(多选题)[2026·江苏南京联考] 下列说法中正确的是 (　 )
A.4个不同的小球,放入3个不同的盒中,共有81种不同的放法
B.4个不同的小球,放入3个不同的盒中,不能有空盒,共有12种不同的放法
C.6个相同的小球,放入3个不同的盒中,不能有空盒,共有10种不同的放法
D.6个相同的小球,放入3个不同的盒中,共有28种不同的放法
13.[2025·湖南怀化模拟] 在数字通信中,信号是由数字“0”和“1”排成一行组成的序列,不同的排列表示不同的信号.已知某信号由2个1和4个0组成,且每个0的左边或者右边位置至少有1个0与它相邻,则这样的信号有　　　　种.
14.川剧变脸是运用在川剧艺术中塑造人物的一种特技,是揭示剧中人物内心思想感情的一种浪漫主义手法.王老师获得了川剧演出的7张连号的票,王老师自己留下了2张连号的票,其余的票赠送给4位朋友,每人至少分1张,至多分2张,且这2张票连号,则共有　　　　种不同的分法.(用数字作答)

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