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第57讲　二项式定理
1.C　[解析] (x-1)6的展开式的通项为Tr+1=x6-r(-1)r,令6-r=2,得r=4,由T5=x2(-1)4=15x2,可得展开式中x2的系数为15.故选C.
2.D　[解析] 令x=1,则(1+ax)5的展开式中各项系数的和是(1+a)5=-1,∴a=-2.故选D.
3.D　[解析] 的展开式的通项为Tk+1=(-y)k=(-1)kyk,令k=1得展开式中x2y的系数为(-1)=-5.故选D.
4.B　[解析] (1+x)4的展开式的通项为Tr+1=xr,r=0,1,2,3,4,则(a+2x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数和为a+a+2+2+2=8a+16,故8a+16=32,则a=2.故选B.
5.A　[解析] 表示5个(x2+2x-1)相乘,每个(x2+2x-1)在相乘时均有三种选择,选x2或2x或-1.设选x2的有a个,选2x的有b个,那么选-1的有(5-a-b)个,其中a,b∈N,则有2a+b=5,可得或或因此展开式中x5的系数为×25+××23×(-1)+××2×(-1)2=-68.故选A.
6.AC　[解析] 的展开式的通项为Tr+1=··=(-1)r26-r·,当=0,即r=2时,该项为常数项,为T3=(-1)2×24×=16×15=240,故选项A正确.令x=1,得各项的系数和为1,故选项B错误.因为6是偶数,所以二项式系数最大的项是=T4,即第4项为二项式系数最大的项,故选项C正确.有理项要求x的指数为整数,即为整数,令=k(k∈Z),则6-3r=2k,即3r=6-2k,故r需为偶数,因此r=0,2,4,6,则有理项的系数和为×26×(-1)0+×24×(-1)2+×22×(-1)4+×20×(-1)6=64+240+60+1=365,故选项D错误.故选AC.
7.AD　[解析] 根据组合数的性质可知,A正确;因为+++…+=2n,所以++…+=2n-1,故B错误;根据选项A中的等式得,+++++==126,所以++++=125,故C错误;第10行中从左往右数第5个数与第6个数分别为和,之比为5∶6,故D正确.故选AD.
8.22022　[解析] 因为a0x2022+a1x2021(1-x)+a2x2020(1-x)2+…+a2022(1-x)2022=1=[x+(1-x)]2022,所以a0+a1+a2+…+a2022为[x+(1-x)]2022的展开式中各项的二项式系数之和,则a0+a1+a2+…+a2022=+++…+=22022.
9.-560　[解析] 由题意知,+2+22+…+2n=(1+2)n=729=36,所以n=6,则的展开式的通项为Tr+1=(2x)7-r=(-1)r×27-rx7-2r,令7-2r=1,解得r=3,所以展开式中x的系数为(-1)3×24=-560.
10.解:(1)(1+3x)n的展开式中末三项的二项式系数分别为,,,
则++=67,即++=67,整理可得n2+n-132=0,
解得n=-12(舍去)或n=11.
令f(x)=(1+3x)11=a0+a1x+…+a11x11,则f(0)=a0=1,f(1)=a0+a1+…+a11=411,
故a1+a2+…+a11=f(1)-f(0)=411-1.
(2)由(1)知n=11,则(1+3x)11的展开式的通项为Tr+1=·3rxr.
设第r+1项为系数最大的项,
则解得8≤r≤9.
因此系数最大的项为T9=·38x8或T10=·39x9.
11.ACD　[解析] 对于选项A,(2-x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,令x=1,得a0+a1+a2+…+a8=1,所以选项A正确;对于选项B,(2-x)8的展开式的通项为Tr+1=
28-r(-x)r=(-1)r28-rxr(0≤r≤8,r∈N),所以(2-x)8的展开式中偶数项的系数为负数,奇数项的系数为正数,所以|a1|+|a2|+|a3|+…+|a8|=-a1+a2-a3+…+a8,对于(2-x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,令x=0,得a0=28,令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…+a8=38,所以|a1|+|a2|+|a3|+…+|a8|=38-28,所以选项B错误;对于选项C,因为f(-1)=38=94=(10-1)4=104-×103+×102-×10+1=10×(103-×102+×101-)+1,所以f(-1)除以5所得的余数是1,所以选项C正确;对于选项D,令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…+a8=38,所以选项D正确.故选ACD.
12.ACD　[解析] 的展开式的通项为Tr+1=·=mn-r.对于A,根据题意可得=,由组合数的性质可知n=10,故A正确;对于B,的展开式中奇数项的二项式系数之和为210-1=512,故B错误;对于C,由=15,解得r=2,则展开式中x15的系数为m10-2=45m8,故C正确;对于D,令x=1,则展开式中各项系数之和为(m+1)10=1024=210,解得m=1(负值舍去),可得展开式的通项为Tr+1=,即每项系数均为该项的二项式系数,易知展开式中第6项为中间项,则其系数最大,故D正确.故选ACD.
13.3　[解析] 由二项式定理可得,(x+2)5=x5+·x4·2+·x3·22+·x2·23+·x·24+·25=x5+10x4+40x3+80x2+80x+32,则x5+10x4+40x3+80x2+80x=(x+2)5-32,当x=-2时,x5+10x4+40x3+80x2+80x=(x+2)5-32=-32=35-32=3.
14.解:(1)当n=10时,f(x)=(x-2)10=(-2+x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,
(-2+x)10的展开式的通项为Tr+1=(-2)10-rxr,则ar=(-2)10-r,r=0,1,2,…,10,
显然当r为奇数时,ar<0,当r为偶数时,ar>0,
则当ar取到最大值时,r为偶数.
设a0,a1,a2,…,a10中的最大值为ak,其中k∈{0,2,4,6,8,10}.当2≤k≤8时,
ak≥ak-2>0,且ak≥ak+2>0,即
≥>0,且≥>0,
可得0≥3k2+19k-132,且3k2+31k-82≥0,又因为k∈{2,4,6,8},所以验证得k=4.
又因为a0=210=1024(2)方法一:因为f(x)=(x-2)n=b0+b1(x+1)+b2(x+1)2+…+bn(x+1)n,
所以f'(x)=n(x-2)n-1=b1+2b2(x+1)+…+nbn(x+1)n-1,
令x=0,得n(-2)n-1=b1+2b2+…+nbn,所以rbr=n(-2)n-1.
方法二:(x-2)n=[(-3)+(x+1)]n=(-3)n+(-3)n-1(x+1)1+(-3)n-2(x+1)2+…+(-3)0(x+1)n,
则br=(-3)n-r,r=0,1,2,…,n,因为r=r==n,所以rbr=n(-3)n-r,
所以rbr=rbr=n(-3)n-r=n(-3)n-r=n[(-3)n-1+(-3)n-2+…+(-3)0]
=n[(-3)+1]n-1=n(-2)n-1.第57讲　二项式定理 (时间:45分钟)
1.[2026·江苏南京调研] (x-1)6的展开式中x2的系数为 (　 )　　　　　 　　　　　　　　　　
A.-20 B.-15
C.15 D.20
2.[2026·安徽芜湖期末] 若(1+ax)5的展开式中各项系数之和为-1,则实数a为 (　 )
A.0 B.-1
C.1 D.-2
3.(-y)5的展开式中x2y的系数为 (　 )
A.10 B.5
C.-10 D.-5
4.[2025·山东济南模拟] (a+2x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a= (　 )
A.1 B.2
C.3 D.4
5.(x2+2x-1)5的展开式中x5的系数为 (　 )
A.-68 B.-80
C.160 D.80
6.(多选题)[2025·广东上进模拟] 在的展开式中,下列说法正确的是 (　 )
A.常数项为240
B.各项的系数和为26
C.二项式系数最大的项为第4项
D.有理项的系数和为364
7.(多选题)“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数阵中的一种几何排列规律,在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现,如图所示.下列关于“杨辉三角”的说法中正确的是 (　 )
A.=+
B.++…+=2n
C.++++=126
D.第10行中从左往右数第5个数与第6个数之比为5∶6
8.[2026·河南郑州模拟] 若a0x2022+a1x2021(1-x)+a2x2020(1-x)2+…+a2022(1-x)2022=1,则a0+a1+a2+…+a2022=　　　　.
9.已知2+22+…+2n=728,则的展开式中x的系数为　　　　.
10.已知(1+3x)n(n为正整数)的展开式中,末三项的二项式系数的和等于67.
(1)记(1+3x)n=a0+a1x+…+anxn,求a1+a2+…+an的值;
(2)求展开式中系数最大的项.
11.(多选题)已知f(x)=(2-x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,则 (　 )
A.a0+a1+a2+…+a8=1
B.|a1|+|a2|+|a3|+…+|a8|=38
C.f(-1)除以5所得的余数是1
D.a0-a1+a2-a3+…+a8=38
12.(多选题)[2026·广东江门模拟] 已知(常数m>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,则 (　 )
A.n=10
B.展开式中奇数项的二项式系数的和为256
C.展开式中x15的系数为45m8
D.若展开式中各项系数的和为1024,则第6项的系数最大
13.设x=-2,则x5+10x4+40x3+80x2+80x=　　　　.
14.[2026·江苏镇江期中] 已知f(x)=(x-2)n,n∈N*.
(1)当n=10时,f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,求a0,a1,a2,…,an中的最大值;
(2)若f(x)=b0+b1(x+1)+b2(x+1)2+…+bn(x+1)n,求rbr.

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