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第58讲　随机事件与概率、古典概型 (时间:45分钟)
1.[2026·四川成都调研] 给出下列说法,其中正确的是 (　 )　　　　　　 　　　　　　　　　　
A.一年按365天计算,两名学生的生日相同的概率是
B.买彩票中奖的概率是0.001,那么买1000张彩票一定能中奖
C.乒乓球比赛前,用抽签来决定谁先发球,抽签方法是从1~10共10个整数中各抽取1个,再比较大小,这种抽签方法是公平的
D.昨天没有下雨,则说明气象局预报昨天“降水的概率为90%”是错误的
2.[2025·河北秦皇岛质检] 投掷两枚质地均匀的骰子,记事件A为“两枚骰子朝上的点数均为偶数”,事件B为“两枚骰子朝上的点数均为奇数”,则 (　 )
A.A为必然事件
B.B为不可能事件
C.A与B为互斥但不对立事件
D.A与B互为对立事件
3.某人连续投篮两次,下列事件中与事件“恰有一次投中”互斥的为 (　 )
A.至多有一次投中 B.至少有一次投中
C.恰有一次没有投中 D.两次都投中
4.已知两个随机事件A和B,其中P(A)=,P(B)=,P(A∪B)=,则P(AB)= (　 )
A. B.
C. D.
5.[2026·沈阳期末] 某厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检,发现其中有5件不合格,则估计该厂这20万件产品中合格产品有 (　 )
A.1万件 B.18万件
C.19万件 D.2万件
6.已知事件A与事件B是互斥事件,则 (　 )
A.P(∩)=1
B.P(A∩B)=P(A)P(B)
C.P(A)=1-P(B)
D.P(∪)=1
7.[2026·长沙模拟] 有10张卡片,其中有8张标有数字2,有2张标有数字5.从中任意抽出3张卡片,设3张卡片上的数字之和为X,则X≥8的概率是 (　 )
A. B. C. D.
8.(多选题)某冷饮店为了保证顾客能买到当天制作的酸奶,同时尽量减少滞销,统计了30天的销售情况,得到如下数据:
日销售量/杯 [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75]
天数 4 6 9 5 6
以样本估计总体,用频率代替概率,则下列结论正确的是 (　 )
A.估计平均每天销售50杯酸奶(同一组区间以区间的中点值为代表)
B.若当天准备55杯酸奶,则售罄的概率为
C.若当天准备45杯酸奶,则卖不完的概率为
D.这30天酸奶日销售量的80%分位数是65杯
9.[2026·重庆八中模拟] 在一次男子羽毛球单打比赛中,运动员甲和乙进入了决赛(比赛采用三局两胜制,要求比满三局),假设每局比赛甲获胜的概率为0.6.现采用随机模拟方法估计甲获得冠军的概率,先由计算机产生1~5之间的随机整数,指定1,2,3表示一局比赛中甲胜,4,5表示一局比赛中乙胜,经随机模拟产生了如下20组随机数:
334 221 433 551 454 452 315 142 331 423
212 541 121 451 231 414 312 552 324 115
据此估计甲获得冠军的概率为　　　　.
10.甲、乙两人用4张扑克牌(分别是红桃2,红桃3,红桃4,方片4)玩游戏,他们将扑克牌洗匀后,背面朝上放在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回,各抽一张.
(1)写出甲、乙抽到牌的所有样本点.
(2)设事件A=“乙抽到的牌的数字比3大”,求事件A发生的概率.
(3)甲、乙约定,若甲抽到的牌的数字比乙的大,则甲胜,否则乙胜,你认为此游戏是否公平 为什么
11.如图,一个质点在随机外力的作用下,从原点0出发,每次等可能地向左或向右移动一个单位,共移动4次,则质点位于原点左侧的概率为 (　 )
A. B. C. D.
12.[2026·浙江杭州联考] 设A,B是一个随机试验中的两个事件,记,分别为事件A,B的对立事件,且P(A)=,P(B)=,P(A)=,则P(+B)= (　 )
A. B. C. D.
13.(多选题)现有6个节目准备参加比赛,其中4个舞蹈节目,2个语言类节目,如果不放回地从中依次抽取2个节目,则 (　 )
A.第1次抽到舞蹈节目的概率为
B.第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率为
C.第2次抽到语言类节目的概率为
D.在第1次抽到舞蹈节目的条件下,第2次抽到舞蹈节目的概率为
14.[2026·湖南常德模拟] 某班元旦联欢会上开展趣味抽奖小游戏,在不透明的盒子中装有标号为1,2的两个红球和标号为3,4,5的三个白球,五个小球除颜色和标号外完全相同,参与游戏的同学从中任取1个,有放回地抽取2次,根据抽到小球的情形分别设置一、二、三等奖.班委会讨论了以下两种规则.
规则一:若抽到两个红球且标号和为偶数,则获一等奖;若抽到两个白球且标号和为偶数,则获二等奖;若抽到两个球的标号和为奇数,则获三等奖;其余情形不获奖.
规则二:若抽到两个红球且标号和为奇数,则获一等奖;若抽到两个球的标号和为5的倍数,则获二等奖;若抽到两个球的标号和为偶数,且不是5的倍数,则获三等奖;其余情形不获奖.
(1)分别求两种规则下获得二等奖的概率;
(2)请问哪种规则的获奖概率更大,并说明理由.第58讲　随机事件与概率、古典概型
1.C　[解析] 对于A选项,先确定一名学生的生日,则另外一名学生的生日与其相同的概率为,故A错误;对于B选项,买彩票中奖的概率是0.001,这是中奖的可能性,不代表买1000张彩票一定能中奖,故B错误;对于C选项,抽签的先后顺序不影响概率大小,故C正确;对于D选项,概率是一种可能性,不代表对应事件一定发生,若对应事件没有发生,也不能说明之前对概率的预报是错误的,故D错误.故选C.
2.C　[解析] 显然A与B都是随机事件,且A与B不能同时发生,但可能同时不发生,故A与B为互斥但不对立事件.故选C.
3.D　[解析] 某人连续投篮两次,可能结果为第一次投中第二次没投中,第一次没投中第二次投中,第一次投中第二次投中,第一次没投中第二次没投中,共4种.事件“恰有一次投中”包含第一次投中第二次没投中和第一次没投中第二次投中,结合选项可知,与事件“恰有一次投中”互斥的是“两次都投中”.故选D.
4.D　[解析] 因为A和B是两个随机事件,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB),则P(AB)=P(A)+P(B)-P(A∪B)=+-=.故选D.
5.C　[解析] 由题意得,合格率为=,因此估计该厂这20万件产品中合格产品有20×=19(万件).故选C.
6.D　[解析] 对于A,B,C,设随机试验为抛掷一枚质地均匀的骰子,观察朝上的点数,事件A={1,3},B={2,4},则事件A与事件B是互斥事件,此时∩={5,6},A∩B= ,P(A)=P(B)=,所以P(∩)=,A错误;P(A∩B)=0,P(A)P(B)=,P(A∩B)≠P(A)P(B),B错误;P(A)≠1-P(B),C错误;因为事件A与事件B是互斥事件,所以A∩B= ,所以∪为必然事件,所以P(∪)=1,D正确.故选D.
7.C　[解析] 由题意知,从10张卡片中任意抽出3张卡片,所有样本点总数为=120.抽出的3张卡片上的数字之和X≥8的情况为抽出一个5两个2或者抽出两个5一个2.若抽出一个5两个2,则包含的样本点个数为=56;若抽出两个5一个2,则包含的样本点个数为=8.则满足X≥8的样本点个数为56+8=64,所以P(X≥8)==.故选C.
8.BCD　[解析] 对于A,估计平均每天酸奶的销售量为×(30×4+40×6+50×9+60×5+70×6)=51(杯),A错误;对于B,日销售量不小于55杯的概率为=,B正确;对于C,日销售量小于45杯的概率为=,C正确;对于D,1-=0.8,因此这30天酸奶日销售量的80%分位数是65杯,D正确.故选BCD.
9.0.65　[解析] 20组随机数中,表示甲获得冠军的有334,221,433,315,142,331,423,212,121,231,312,324,115,共13组,所以估计甲获得冠军的概率为=0.65.
10.解:(1)分别用2,3,4,4'表示红桃2,红桃3,红桃4,方片4,则甲、乙抽到牌的所有样本点为(2,3),(2,4),(2,4'),(3,2),(3,4),(3,4'),(4,2),(4,3),(4,4'),(4',2),(4',3),(4',4),共12个.
(2)事件A={(2,4),(2,4'),(3,4),(3,4'),(4,4'),(4',4)},共含有6个样本点,故P(A)==.
(3)“甲抽到的牌的数字比乙的大”包含的样本点有(3,2),(4,2),(4,3),(4',2),(4',3),共5个,则甲胜的概率为,乙胜的概率为,因为<,所以此游戏不公平.
11.A　[解析] 由题意可得,质点移动4次,样本空间中的样本点总数为2×2×2×2=16.质点位于原点左侧的可能结果为:向左移动4次;向左移动3次,向右移动1次.向左移动4次,包含1个样本点,为(左,左,左,左);向左移动3次,向右移动1次,包含4个样本点,分别为(左,左,左,右),(左,左,右,左),(左,右,左,左),(右,左,左,左).所以质点位于原点左侧共包含5个样本点,由古典概型的概率公式可得,质点位于原点左侧的概率为.故选A.
12.D　[解析] 因为P(A)=,所以P()=1-P(A)=.又P(AB)=P(A)-P(A)=-=,所以P(B)=P(B)-P(AB)=-=,故P(+B)=P()+P(B)-P(B)=+-=.故选D.
13.ACD　[解析] 设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A,“第2次抽到舞蹈节目”为事件B,“第2次抽到语言类节目”为事件C.对于A,从6个节目中不放回地依次抽取2个,n(Ω)==30,根据分步乘法计数原理有n(A)==20,所以P(A)===,故A正确;对于B,n(AB)==12,则P(AB)===,故B错误;对于C,n(C)=+=10,则P(C)===,故C正确;对于D,P(B|A)===,故D正确.故选ACD.
14.解:(1)据题意,两次抽取小球的所有样本点为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),共25个.
记“规则一获得二等奖”为事件A2,“规则二获得二等奖”为事件B2,
事件A2包含的样本点为(3,3),(3,5),(4,4),(5,3),(5,5),共5个,故P(A2)==.
事件B2包含的样本点为(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(5,5),共5个,故P(B2)==.
(2)两种规则的获奖概率一样大.理由如下.
记规则一获得一、二、三等奖分别为事件A1,A2,A3.
由(1)可知事件A1包含的样本点为(1,1),(2,2),共2个,所以P(A1)=.
事件A3包含的样本点为(1,2),(1,4),(2,1),(2,3),(2,5),(3,2),(3,4),(4,1),(4,3),(4,5),(5,2),(5,4),共12个,所以P(A3)=.由(1)知P(A2)=,
所以规则一的获奖概率P1=P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=++=.
记规则二获得一、二、三等奖分别为事件B1,B2,B3.
事件B1包含的样本点为(1,2),(2,1),共2个,所以P(B1)=.
事件B3包含的样本点为(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),共12个,所以P(B3)=.
由(1)知P(B2)=,
所以规则二获奖的概率P2=P(B1+B2+B3)=P(B1)+P(B2)+P(B3)=++=.
因为P1=P2,
所以两种规则获奖的概率一样大.

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