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第59讲　随机事件的相互独立性与条件概率、全概率公式
1.D　[解析] “设任取一个零件,该零件是由第1,2,3台车床加工出来的”分别为事件A,B,C,“该零件为次品”为事件D,则P(A)=0.25,P(B)=0.3,P(C)=0.45,P(D|A)=0.06,P(D|B)=P(D|C)=0.08,则任取一个零件是次品的概率P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)=0.25×0.06+0.3×0.08+0.45×0.08=0.075.故选D.
2.B　[解析] 因为P(A)=,所以P()=,又P(B|)=,P(B|A)=,所以P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=×+×=+=.故选B.
3.C　[解析] 对于A,掷两次骰子,n(Ω)=6×6=36,事件A包含的样本点为(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共5个,所以P(A)=,故A错误;对于B,事件B包含的样本点为(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),共6个,所以P(B)==,事件AB包含的样本点为(3,3),共1个,所以P(AB)=,因为P(A)·P(B)=×≠=P(AB),所以A与B不相互独立,故B错误;对于C,易知事件C包含的样本点个数为18,所以P(C)=,事件BC包含的样本点为(2,2),(4,4),(6,6),共3个,所以P(BC)==,因为P(B)·P(C)=×==P(BC),所以事件B,C相互独立,故C正确;对于D,因为事件AC包含的样本点为(2,4),(4,2),共2个,所以P(AC)==,因为P(A)·P(C)=×≠=P(AC),所以事件A与C不相互独立,故D错误.故选C.
4.D　[解析] 设甲、乙、丙通关分别为事件A,B,C,三人中恰有两人通关为事件D,则P(A)=,P(B)=,P(C)=,P(D)=P(BC∪AC∪AB)=P(BC)+P(AC)+P(AB)=××+××+××=,P(AD)=P(AC∪AB)=P(AC)+
P(AB)=,所以P(A|D)===.故选D.
5.B　[解析] 设事件A为“甲准点到站”,事件B为“乙准点到站”,依题意得P(A)=,P(A|B)=,P(|A)=,所以P(A)=P(A)P(|A)=,又P(A)=P(AB∪A)=P(AB)+P(A)=,所以P(AB)=,所以P(B)==.故选B.
6.AC　[解析] 对于A,P(B)==,A正确;对于B,由题意知P(|A)=,B错误;对于C,P(AB)=P(A)P(B|A)=×=,则P(A|B)===,C正确;对于D,P(A)=,P(B)=,P(AB)=,则P(AB)≠P(A)P(B),所以A,B不相互独立,D错误.故选AC.
7.　[解析] 由题意可知若甲最终获胜,则比赛的结果可以为3∶0,3∶1或3∶2.若甲以3∶0获胜,则概率P1==;若甲以3∶1获胜,则概率P2=××=;若甲以3∶2获胜,则概率P3=××=.所以甲最终获胜的概率P=P1+P2+P3=.则在已知甲最终获胜的条件下,甲是以3∶1获胜的概率为==.
8.875　[解析] 由题意知,如果比赛继续,乙需要连赢三局才能获胜,因为甲、乙两人在每局比赛中获胜的可能性均相同,各局比赛结果互不影响,所以乙连赢三局最终获胜的概率为××=,则甲最终获胜的概率为1-=,所以甲应分得奖金的,乙应分得奖金的,即甲应该分得×1000=875(元).
9.　[解析] 设“从甲袋中取出2个球,其中红球的个数为i”为事件Ai(i=0,1,2),“从乙袋中取出2个球,其中白球的个数为2”为事件B.由题意知P(A0)==,P(B|A0)==;P(A1)==,P(B|A1)==;P(A2)==,P(B|A2)==.所以P(B)=P(Ai)P(B|Ai)=×+×+×=.
根据贝叶斯公式可得P(A2|B)===.
10.解:(1)设“从甲机器生产的产品中任取2件产品,2件产品都合格”为事件A,
所以P(A)=×=.
(2)设“从甲、乙、丙机器生产的产品中各任取1件,恰有2件产品合格”为事件B,“从甲机器生产的产品中任取1件产品为合格产品”为事件B1,“从乙机器生产的产品中任取1件产品为合格产品”为事件B2,“从丙机器生产的产品中任取1件产品为合格产品”为事件B3,
则P(B1)=,P(B2)=,P(B3)=,所以P(B)=P(B2B3∪B1B3∪B1B2)=P(B2B3)+P(B1B3)+P(B1B2)=××+××+××=,
所以从甲、乙、丙机器生产的产品中各任取1件,恰有2件产品合格的概率为.
(3)设“该产品为甲机器生产的”为事件C1,“该产品为乙机器生产的”为事件C2,“该产品为丙机器生产的”为事件C3,“这件产品合格”为事件D,
根据已知条件有P(C1)=P(C2)=P(C3)=,P(D|C1)=,P(D|C2)=,P(D|C3)=,
根据全概率公式有
P(D)=P(D|C1)P(C1)+P(D|C2)P(C2)+P(D|C3)P(C3)=×+×+×=.
11.C　[解析] 设事件A,B,C分别为选择甲种、乙种、丙种AI工具写报告,事件D为报告有误,则P(A)=P(B)=P(C)=,P(D|A)=,P(D|B)=,P(D|C)=,所以P(A|D)==
==.故选C.
12.ACD　[解析] 若事件B=“得到4点”,则事件AB为不可能事件,P(AB)=0,故A正确;因为事件AC A,所以P(AC)≤P(A)=<1,故B错误;若事件B=“得到4点或5点”,事件C=“得到5点”,则事件BC=“得到5点”,P(C|B)===,故C正确;若事件B=“得到1点或2点或4点”,事件C=“得到2点或3点或5点或6点”,则事件ABC=“得到2点”,P(A)==,P(B)==,P(C)==,P(ABC)=,所以P(ABC)=P(A)·P(B)·P(C),故D正确.故选ACD.
13.　[解析] 设“选到非碳酸饮料”为事件M,“选出的饮料是A种型号”为事件A1,“选出的饮料是B种型号”为事件A2,则P(A1)=,P(A2)=,P(M|A1)=1-0.6=0.4,P(M|A2)=1-0.4=0.6,由全概率公式得P(M)=P(A1)P(M|A1)+P(A2)P(M|A2)=×0.4+×0.6=.
14.解:(1)设摸球一次,“取到甲袋”为事件A1,“取到乙袋”为事件A2,“摸出白球”为事件B1,“摸出红球”为事件B2.
则P(B1)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B1|A2)=×+×=,
所以首次摸球后试验就结束的概率为.
(2)由题意知,B1和B2为对立事件,则P(B2)=1-P(B1)=,
则P(A2|B2)===,所以在首次摸出红球的条件下,选到的袋子是乙袋的概率是.
(3)方案一:从原袋中摸球.
若首次在甲袋中摸出红球,则P(A1|B2)=1-P(A2|B2)=1-=,从原袋(甲袋)中摸出白球的概率为,所以第二次摸球后试验结束的概率为×=;
若首次在乙袋中摸出红球,则P(A2|B2)=,从原袋(乙袋)中摸出白球的概率为=,所以第二次摸球后试验结束的概率为×=.
综上,方案一使第二次摸球后试验结束的概率为+=.
方案二:从另外一个袋子中摸球.
若首次在甲袋中摸出红球,则P(A1|B2)=,从另一个袋子(乙袋)中摸出白球的概率为=,所以第二次摸球后试验结束的概率为×=;
若首次在乙袋中摸出红球,则P(A2|B2)=,
从另一个袋子(甲袋)中摸出白球的概率为,所以第二次摸球后试验结束的概率为×=.
综上,方案二使第二次摸球后试验结束的概率为+=.
因为<,所以方案二使第二次摸球后试验结束的概率更大.第59讲　随机事件的相互独立性与条件概率、全概率公式 (时间:45分钟)
1.有三台车床加工同一型号的零件,第1台车床加工的零件次品率为6%,第2,3台车床加工的零件次品率均为8%,加工出来的零件混放在一起,已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%,从所有加工出来的零件中任取一个零件,则它为次品的概率是 (　 )　　　　　　 　　　　　　　　　　
A.0.078 B.0.077
C.0.076 D.0.075
2.[2025·河南周口模拟] 已知随机事件A,B,若P(A)=,P(B|)=,P(B|A)=,则P(B)= (　 )
A. B.
C. D.
3.[2026·武汉华中师大附中期末] 抛掷一枚质地均匀的骰子两次,事件A=“两次掷出的点数之和是6”,事件B=“两次掷出的点数相同”,事件C=“第一次掷出的点数是偶数”,则 (　 )
A.P(A)=
B.A与B相互独立
C.B与C相互独立
D.A与C相互独立
4.在一场游戏中,甲、乙、丙通关的概率分别是,,,且三人通关与否相互独立,则在甲、乙、丙中恰有两人通关的条件下,甲通关的概率为 (　 )
A. B.
C. D.
5.已知某条线路上有甲、乙两辆相邻班次的公交车,若甲准点到站的概率为,在乙准点到站的前提下甲准点到站的概率为,在甲准点到站的前提下乙不准点到站的概率为,则乙准点到站的概率为 (　 )
A. B. C. D.
6.(多选题)[2026·江苏南京调研] 一个袋中有大小、形状完全相同的3个球,颜色分别为红、黄、蓝,从袋中无放回地取出2个球,记“第一次取到红球”为事件A,“第二次取到黄球”为事件B,则　　 (　 )
A.P(B)= B.P(|A)=
C.P(A|B)= D.A,B相互独立
7.[2026·山西长治模拟] 甲、乙两位同学进行羽毛球比赛,比赛采取五局三胜制,各局比赛相互独立,甲每局获胜的概率为,没有平局.若已知甲最终获胜,则甲是以3∶1获胜的概率为　　　　.
8.甲、乙两人进行一场比赛,且比赛中不存在平局,先赢三局者获胜,并可以获得1000元奖金.已知两人在每局比赛中获胜的可能性均相同,各局比赛结果互不影响.当甲连赢两局,乙一局未赢时,因某种特殊情况需要终止比赛.现将1000元奖金按比赛继续下去两人各自最终获胜的可能性的比例进行分配,则甲应该分得　　　　元.
9.假设甲袋中有3个白球和2个红球,乙袋中有3个白球和2个红球,现从甲袋中任取2个球放入乙袋,再从乙袋中任取2个球,已知从乙袋中取出的是2个白球,则从甲袋中取出的是2个红球的概率为　　　　.
10.甲、乙、丙3台机器生产同一型号的产品,假设所有产品合格与否相互独立,已知甲、乙、丙机器的产品合格率分别为,,.
(1)从甲机器生产的产品中任取2件产品,求2件产品都合格的概率;
(2)从甲、乙、丙机器生产的产品中各任取1件,求恰有2件产品合格的概率;
(3)若三台机器的产量相同,将生产出来的产品混放在一起,从中任取一件产品,求这件产品合格的概率.
11.随着互联网的发展,AI的出现为人们提供了很大的便利.某人选择甲、乙、丙三种AI工具的概率均为,而使用甲种、乙种、丙种AI工具出错的概率分别为,,.若已知今天他的报告有误,则他选择甲种AI工具写报告的概率为 (　 )
A. B. C. D.
12.(多选题)[2026·广东六校联盟联考] 掷一枚质地均匀的骰子,可等可能得到1~6点,现投掷一次这枚骰子,记事件A=“得到1点或2点或3点”,事件B,C与A为两两互不相同的随机事件,且P(B)≠0,P(C)≠0,则 (　 )
A.存在事件B,使得P(AB)=0
B.存在事件C,使得P(AC)=1
C.存在事件B,C,使得P(C|B)=
D.存在事件B,C,使得P(ABC)=P(A)·P(B)·P(C)
13.某饮料厂生产A,B两种型号的饮料,已知A种饮料的生产量是B种饮料的生产量的2倍,且A种、B种型号的饮料中碳酸饮料所占的比例分别为60%,40%,若从该厂生产的饮料中任选一瓶,则选到非碳酸饮料的概率为　　　　.
14.[2026·河北石家庄模拟] 有甲、乙两个袋子,袋子里有形状大小完全相同的球,其中甲袋中有3个红球、7个白球,乙袋中有4个红球、6个白球.从两个袋子中等可能地选一个袋子,再从该袋子中随机摸出1个球,称为一次摸球试验,多次做摸球试验直到摸出白球,试验结束.
(1)求首次摸球后试验就结束的概率.
(2)在首次摸出红球的条件下,求选到的袋子是乙袋的概率.
(3)在首次摸出红球的条件下,将红球放回原袋中,继续第二次摸球试验,有如下两个方案:
方案一:从原袋中摸球;
方案二:从另外一个袋子中摸球.
请通过计算,说明哪个方案能使第二次摸球后试验结束的概率更大.

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