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第61讲　二项分布与超几何分布、正态分布 (时间:45分钟)
1.[2026·长春质检] 已知随机变量X~B,则P(X≤1)= (　 )　　　　　　 　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
2.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(X≥3)=0.3,则P(1A.0.1 B.0.2
C.0.3 D.0.4
3.在三次独立重复射击中,若至少有一次击中目标的概率为,则每次射击击中目标的概率是(　 )
A. B. C. D.
4.袋中有质地、大小均相同的3个红球,2个白球.现从中任取3个球,其中取出红球的个数为X,则E(X)= (　 )
A.1.2 B.1.8 C.2 D.3
5.[2026·河南商丘模拟] 某初级中学对本校八年级的500名男生进行1000米跑步体能测试,据统计,500名男生跑完1000米所用的时间X(单位:分钟)服从正态分布N(5,σ2),若P(X≤4)=0.01,则估计这500名男生跑完1000米所用的时间不少于6分钟的人数为 (　 )
A.1 B.5
C.9 D.50
6.[2026·河北石家庄调研] 一个箱子中有100个大小相同的球,其中有40个黄球,60个红球,每次从中随机摸出1个,共摸20次.用X表示采取有放回的方式摸球时摸到黄球的次数,用Y表示采取不放回的方式摸球时摸到黄球的次数,X,Y的概率分布图如图所示,则下列结论正确的是 (　 )
A.D(X)>D(Y) B.D(X)C.E(X)>E(Y) D.E(X)7.(多选题)已知盒子中有12个样品,其中6个不同的正品和6个不同的次品,每次从中抽取1个样品,共抽5次.方案一:有放回抽样,记取得次品的次数为X;方案二:不放回抽样,记取得次品的次数为Y.则 (　 )
A.P(X=0)B.当k=2或3时,P(X=k)最大
C.E(X)=E(Y)
D.两种方案中第三次抽到次品的概率均为
8.(多选题)下列结论中,正确的是 (　 )
A.若随机变量X~N(2,σ2),则P(X≥2)=
B.若随机变量Y服从两点分布,且E(Y)=,则D(2Y)=1
C.若随机变量Z的分布列为P(Z=i)=,i=-1,0,1,2,则a=10
D.若随机变量T~B,则T的分布列中概率最大的只有P(T=3)
9.[2026·江苏扬州模拟] 一个盒子中有大小与质地均相同的20个小球,其中白球n个,其余为黑球.
(1)当盒中的白球数n=6时,从盒中不放回地随机取两次,每次取一个球,用A表示事件“第一次取到白球”,用B表示事件“第二次取到白球”,判断并说明事件A与B是否相互独立;
(2)某同学要策划一个抽奖活动,参与者从盒中一次性随机取10个球,若取得白球的个数是3,则获奖,否则不获奖,该同学放置白球的数量n为多少时,参与者获奖的可能性最大
10.[2026·广东深圳联考] 小张上班有四种方式:步行,骑自行车,乘坐公共汽车,自己开车.他记录了100次用这四种方式上班所花费的时间,分别用随机变量X1,X2,X3,X4来表示用这四种方式上班所用时间(单位:分钟).经数据分析可知,X1~N(60,102),X2~N(40,102),X3~N(40,152),X4~N(30,402).若某天有70分钟可用,为了保证上班不迟到的概率最大,则他应该选择的上班方式为 (　 )
(附:P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3)
A.步行 B.骑自行车
C.乘坐公汽 D.自己开车
11.(多选题)若0A.P(Y>8)=P(Y<4)
B.当D(X)=时,D(Y)=
C.当D(Y)=时,D(X)=
D.当p在变化时,P(X=1)的最大值为
12.(多选题)[2026·山东菏泽期末] 如图,一个质点在随机外力的作用下,从原点0出发,每经过1 s向左或向右移动一个单位,向左移动的概率为,向右移动的概率为,各次移动互不影响.设移动n次后质点位于位置Xn,则下列结论正确的有 (　 )
A.当n=4时,P(X4=0)=
B.当n=5时,P(X5=1)=
C.当n=6时,质点共经过两次3的概率为
D.当n=2025时,X2025的期望E(X2025)=-675
13.无人驾驶被视为推动社会进步和改善生活质量的重要工具,但其安全性和对劳动就业的影响也受到人们的质疑.为了解某大学的学生对无人驾驶的态度,随机调查了该校96名大学生,调查结果如下表所示:
对无人驾驶的态度 支持 中立 反对
频数 48 32 16
用样本的频率分布估计该校每名学生对无人驾驶态度的概率分布,且学生的态度相互独立.为衡量学生对无人驾驶的支持程度,每名支持者得5分,每名中立者得3分,每名反对者得1分.
(1)从该校任选2名学生,求他们的得分不相同的概率.
(2)从该校任选3名学生,求他们的得分之和为7的概率.
(3)从该校任选n名学生,其中得分为5的学生人数为X,若P≥0.9,则利用下面所给的两个结论,求正整数n的最小值.
结论一:若随机变量Y~B(n,p),则随机变量Z=近似服从正态分布N(0,1);
结论二:若随机变量Z~N(0,1),则P(Z≤1.28)≈0.9,P(Z≤1.65)≈0.95.第61讲　二项分布与超几何分布、正态分布
1.D　[解析] 由题意得P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=××+××=.故选D.
2.B　[解析] 因为随机变量X服从正态分布N(2,σ2),所以P(X≤2)=0.5,又P(X≥3)=0.3,所以P(X≤1)=P(X≥3)=0.3,则P(13.D　[解析] 设每次射击击中目标的概率为p,因为至少有一次击中目标的概率为,所以三次都未击中目标的概率为1-==(1-p)3,即1-p=,解得p=.故选D.
4.B　[解析] 由题意知,X的所有可能取值为1,2,3,则P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,所以E(X)=1×+2×+3×=1.8.故选B.
5.B　[解析] 因为X~N(5,σ2),P(X≤4)=0.01,所以P(X≥6)=P(X≤4)=0.01,则估计这500名男生跑完1000米所用的时间不少于6分钟的人数为500×0.01=5.故选B.
6.A　[解析] 由题意可知X服从二项分布,Y服从超几何分布,因此它们的期望相同,又因为Y的取值更集中在均值附近,所以D(X)>D(Y).故选A.
7.BCD　[解析] 由题可知,X~B,所以P(X=k)=·=,k=0,1,2,3,4,5,Y服从超几何分布,则P(Y=k)=,k=0,1,2,3,4,5.
对于选项A,P(X=0)==,P(Y=0)==,P(X=0)>P(Y=0),A错误;对于选项B,P(X=k)=,由于=>=>=,故当k=2或3时,P(X=k)最大,B正确;对于选项C,由二项分布及超几何分布的期望公式得E(X)=5×=,E(Y)=,C正确;对于选项D,方案一中,每次抽到次品的概率均为=,方案二中,第三次抽到次品的情况有四种,即前三次抽到样品的情况为“正正次”或“正次次”或“次正次”或“次次次”,其概率依次为××=,××=,××=,××=,故第三次抽到次品的概率为×3+=,D正确.故选BCD.
8.ABC　[解析] 若随机变量X~N(2,σ2),则μ=2,由正态分布的对称性可知P(X≥2)=,A正确;若随机变量Y服从两点分布,且E(Y)=,则分布列为
Y 0 1
P
则D(Y)=×+×=,所以D(2Y)=4D(Y)=1,B正确;若随机变量Z的分布列为P(Z=i)=,i=-1,0,1,2,则+++=1,解得a=10,C正确;若随机变量T~B,设P(T=n)≥P(T=n+1),且P(T=n)≥P(T=n-1),即××≥××,且××≥××,解得2≤n≤3,又n∈N,所以n=2或3,则T的分布列中概率最大的有两项,为P(T=2)和P(T=3),D错误.故选ABC.
9.解:(1)事件A与B不相互独立,理由如下.
当n=6时,由题可得P(A)==,P(B)=×+×==,P(AB)=×==,
所以P(A)P(B)=≠P(AB),所以事件A与B不相互独立.
(2)由题可得从20个球中取10个球,恰有3个白球的概率Pn=(3≤n≤13),
则==(3≤n≤13),
又(-n2+12n+13)-(-n2+22n-40)=53-10n,当3≤n<13时,-n2+12n+13>0,-n2+22n-40>0,
所以当3≤n≤5时>1,当6≤n<13时<1,所以P3P7>P8>P9>P10>P11>P12>P13,所以当n=6时,参与者获奖的可能性最大.
10.B　[解析] ①当小张步行上班时,由X1~N(60,102)知,μ1=60,σ1=10,所以他上班不迟到的概率P(X1≤70)=+P(μ1-σ1≤X1≤μ1+σ1)≈+×0.682 7=0.841 35.②当小张骑自行车上班时,由X2~N(40,102)知,μ2=40,σ2=10,所以他上班不迟到的概率P(X2≤70)=+P(μ2-3σ2≤X2≤μ2+3σ2)≈+×0.997 3=0.998 65.③当小张乘坐公共汽车上班时,由X3~N(40,152)知,μ3=40,σ3=15,所以他上班不迟到的概率P(X3≤70)=+P(μ3-2σ3≤X3≤μ3+2σ3)≈+×0.954 5=0.977 25.④当小张自己开车上班时,由X4~N(30,402)知,μ4=30,σ4=40,所以他上班不迟到的概率P(X4≤70)=+P(μ4-σ4≤X4≤μ4+σ4)≈+×0.682 7=0.841 35.综上可得,P(X2≤70)>P(X3≤70)>P(X1≤70)=P(X4≤70),所以小张应该选择骑自行车上班.故选B.
11.ACD　[解析] 因为Y~N(6,p2),=6,所以由正态分布的性质可知P(Y>8)=P(Y<4),故选项A正确.因为D(X)=,所以6p(1-p)=,即9p2-9p+2=(3p-1)(3p-2)=0,解得p=或.当p=时,D(Y)=p2=;当p=时,D(Y)=p2=.故选项B错误.当D(Y)=,即p2=时,因为00,当12.ACD　[解析] 设n次移动中,向右移动的次数为Y,则向左移动的次数为n-Y,Y~B,则Xn=Y-(n-Y)=2Y-n.对于A,当n=4时,要使得X4=0,则向左和向右移动的次数均为2,根据二项分布的概率公式得P(X4=0)=P(Y=2)==, A正确.对于B,当n=5时,要使得X5=1,则向右移动3次,向左移动2次,P(X5=1)=P(Y=3)==,B错误.对于C,当n=6时,设R表示向右移动,L表示向左移动,若该质点共经过两次3,则前5次的移动情况共有2种,即(R,R,R,L,R),(R,R,R,R,L),所以概率为+=,C正确.对于D,因为Xn=2Y-n,所以E(Xn)=E(2Y-n)=2E(Y)-n.因为Y~B,所以E(Y)=,则E(Xn)=2×-n=-,当n=2025时,E(X2025)=-=-675,D正确.故选ACD.
13.解:(1)由题可知该校每名学生得1分的概率为=,得3分的概率为=,得5分的概率为=,故从该校任选2名学生,他们的得分不相同的概率为1---=.
(2)因为7=5+1+1=3+3+1,
所以从该校任选3名学生,他们的得分之和为7的概率为××+××=.
(3)易知X~B,设Y==,
根据结论一,知Y~N(0,1),
根据结论二,知P(-1.65≤Y≤1.65)≈2×0.95-1=0.9.
由条件知P=P=P≥0.9,
所以≥1.65,解得n≥10.89,所以正整数n的最小值为11.

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