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微专题10　概率统计与数列、函数的综合问题
(时间:45分钟)
1.诗词是中华文化的瑰宝,蕴含着丰富的文学内涵和美学价值.某学校为了培养学生学习诗词的兴趣,特别组织了一次关于诗词的知识竞赛,竞赛分为初赛和决赛,初赛通过后才能参加决赛.
(1)初赛采用选一题答一题的方式,每位参赛学生最多有5次答题机会,累计答对3道题或答错3道题即终止比赛,答对3道题则进入决赛,答错3道题则被淘汰.已知学生甲答对每道题的概率均为,且回答各题的结果相互独立.
(i)求甲至多回答了4道题被淘汰的概率;
(ii)设甲在初赛中答题的数量为X,求X的分布列和数学期望.
(2)决赛共答3道题,若答对题目不少于2道,则胜出.已知学生甲进入了决赛,他在决赛中前2道题答对的概率相等,均为x(02.有一种掷骰子(骰子是用一种均匀材料做成的正方体形状的游戏玩具,它的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)走跳棋的游戏:棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…、第100站,共101站,设棋子跳到第n站的概率为Pn,一枚棋子开始在第0站,棋手每掷一次骰子,棋子向前跳动一次,若掷出奇数点,则棋子向前跳一站,若掷出偶数点,则棋子向前跳两站,直到棋子跳到第99站(获胜)或第100站(失败)时,游戏结束.
(1)求P0,P1,P2,并根据棋子跳到第n站的情况,试用Pn-2和Pn-1表示Pn(2≤n≤99);
(2)求证:{Pn-Pn-1}(n=1,2,…,99)为等比数列;
(3)求玩该游戏获胜的概率.
3.[2026·武汉华中师大附中检测] 为了合理配置旅游资源,管理部门对首次来武汉旅游的游客进行了问卷调查.据统计,其中计划只参观黄鹤楼的人数占调查总人数的,计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁的人数占调查总人数的.每位游客若只参观黄鹤楼,则记1分;若既参观黄鹤楼又游览晴川阁,则记2分.假设每位首次来武汉旅游的游客是否计划游览晴川阁相互独立,视频率为概率.
(1)从游客中随机抽取2人,记这2人的合计得分为X,求X的分布列和数学期望;
(2)从游客中随机抽取n人(n∈N*),记这n人的合计得分恰为n+1分的概率为Pn,求
4.[2026·山东临沂模拟] 在“飞彩镌流年”文艺汇演中,诸位参赛者一展风采,奉上了一场舞与乐的盛宴.现从2000位参赛者中随机抽取40位幸运嘉宾,统计他们的年龄数据,得到样本平均数μ=45.75.
(1)若所有参赛者的年龄X服从正态分布N(μ,15.752),请估计参赛者年龄在30岁以上的人数.
(2)若该文艺汇演对所有参赛者的表演作品进行评级,每位参赛者只有一个表演作品且每位参赛者作品有a%(0(3)以(2)中确定的a0作为a的值,记上述幸运嘉宾的作品中的A类作品数为Y,若对这些幸运嘉宾进行颁奖,现有两种颁奖方式:甲:A类作品参赛者获得1000元现金,B类作品参赛者获得100元现金;乙:A类作品参赛者获得3000元现金,B类作品参赛者不获得现金奖励.根据奖金期望判断主办方选择何种颁奖方式,成本可能更低.
附:若X~N(μ,σ2),则P(|X-μ|<σ)≈0.682 7.微专题10　概率统计与数列、函数的综合问题
1.解:(1)(i)甲至多回答了4道题被淘汰有两种情况,一种是连续答错前3道题,另一种是甲在前三道题中答错两道,且答错第4道题,
所以甲至多回答了4道题被淘汰的概率为××+×××=.
(ii)由题可得X的可能取值为3,4,5,
P(X=3)=+=,P(X=4)=×××+×××=,P(X=5)=××=,
所以X的分布列为
X 3 4 5
P
所以X的数学期望E(X)=3×+4×+5×=.
(2)由题可得学生甲第3道题答对的概率为,
所以学生甲答对2道题目胜出的概率为f(x)=x2+2x(1-x)·=x2+-,0所以f'(x)=2x-=,
所以当x∈时f'(x)<0,当x∈时f'(x)>0,
所以函数f(x)在上单调递减,在上单调递增,
所以当x=时,f(x)取得最小值,最小值为f=.
2.解:(1)根据题意可知,每次掷骰子的结果之间是相互独立的,
棋子开始在第0站是必然事件,所以P0=1.
棋子跳到第1站,只有一种情形,第一次掷骰子出现奇数点,其概率为,所以P1=.
棋子跳到第2站,包括两种情形,①第一次掷骰子出现偶数点,其概率为;②前两次掷骰子都出现奇数点,其概率为×=.所以P2=+=.
棋子跳到第n(2≤n≤99)站,包括两种情形,①棋子先跳到第n-2站,又掷骰子出现偶数点,其概率为Pn-2;②棋子先跳到第n-1站,又掷骰子出现奇数点,其概率为Pn-1.
故Pn=Pn-2+Pn-1(2≤n≤99).
(2)证明:由(1)知,Pn=Pn-2+Pn-1(2≤n≤99),所以Pn-Pn-1=-(Pn-1-Pn-2)(2≤n≤99).
又因为P1-P0=-1=-,
所以{Pn-Pn-1}(n=1,2,…,99)是首项为-,公比为-的等比数列.
(3)由(2)得,Pn-Pn-1=-×=(n=1,2,…,99),
所以P99=(P99-P98)+(P98-P97)+…+(P1-P0)+P0=++…++1=+1=
,
所以玩该游戏获胜的概率为.
3.解:(1)根据题意可得,随机变量X 的可能取值为 2,3,4,
P(X=2)==,P(X=3)=××=,P(X=4)==.
所以X 的分布列为
X 2 3 4
P
所以数学期望 E(X)=2×+3×+4×=.
(2)若n 人的合计得分为 n+1 分,
则其中只有1人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁,
所以Pn=××=,Pi=+++…+,
则×Pi=+++…+,
两式相减可得×Pi=+++…+-=×-=1--,
所以Pi=-.
(3)在随机抽取的若干人的合计得分为n-1 分的基础上再抽取1人,则这些人的合计得分可能为n 分或 n+1 分,
记“合计得分为n分”为事件 A,“合计得分为n+1 分”为事件B,A 与 B 是对立事件,
因为P(A)=an,P(B)=an-1,
所以an+an-1=1(n≥2),则an-=-(n≥2),
因为a1=,a1-=-=-,所以数列 是首项为 -,公比为 - 的等比数列,
所以an-=-,所以an=-+.
4.解:(1)因为X~N(45.75,15.752),
所以P(X>30)=P(X>45.75-15.75)≈0.5+×0.682 7=0.841 35,
所以估计参赛者年龄在30岁以上的人数为2000×0.841 35≈1683.
(2)记x=a%,0依题意可得f(x)=x2(1-x)38,则f'(x)=[2x(1-x)38-38x2·(1-x)37]=2x(1-x)37(1-20x),
令f'(x)=0,因为0当00,当所以f(x)在上单调递增,在上单调递减,所以f(x)的极大值点为,即x0=.
所以p(a)在(0,5)上单调递增,在(5,100)上单调递减,
所以p(a)的极大值点a0=5.
(3)由题意知Y~B,则E(Y)=40×=2.
记Z1,Z2分别为甲、乙两种颁奖方式各自所发奖金总额,
因为Z1=1000×Y+100×(40-Y)=4000+900Y,Z2=3000Y,
所以E(Z1)=4000+900E(Y)=4000+900×2=5800,E(Z2)=3000E(Y)=6000,
所以E(Z1)故选择甲种颁奖方式成本更低.

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