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2026年河北省沧州市任丘市二模数学试题
一、单选题
1．比大4的数是( )
A．1 B． C． D．9
2．如图，则（ ）
A． B． C． D．
3．两个大小不同的正方体按如图摆放，组成一个几何体，下列不是这个几何体的三视图为（ ）．
A． B． C． D．
4．在计算时，下列数中x能取的值是( )
A．1 B． C．0 D．2
5．若一元二次方程的两根为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．和相乘后得正有理数的是（ ）
A． B． C． D．
7．不透明袋子中有红球、绿球和蓝球共个，这些球除颜色外无其他差别，若从袋子中随机取出1个球，取出红球的概率是，取出绿球的概率是．嘉嘉从中拿出一个红球后，再从剩下的球中随机取出个球，这个球是蓝球的概率是（ ）．
A． B． C． D．
8．如图所示的箭头图形中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
9．如图，四边形是正方形，点E，G分别是边上的动点，且，分别作，，与交于点F，设，，则下列图象能反映y与x函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，E在格点上，点C，D在网格线上．对于下列两个结论：
①平分；②．
下列说法正确的是（ ）
A．①对，②错 B．①错，②对 C．①②都错 D．①②都对
11．将一张长方形纸片（如图1）进行折叠操作，第一次折叠后如图2），使得，再沿着将纸片剪开，取部分继续折叠；第二次折叠后（如图3），使得，再沿着将纸片剪开，取部分继续折叠；……按此操作，若将纸片沿着剪开，此时小于20°，则n的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
12．课堂上老师给出如下问题：在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，如图，，，四边形是矩形，将直线沿横轴平移个单位，是否存在的值使得矩形内部（不含边界）的整点落在直线两侧的个数之比为？甲：矩形内部的整点共有个，不能分成个数比为，所以不存在这样的值．乙：存在，其中一个值为．下面的说法正确的是（ ）
A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙都对 D．甲乙都不对
二、填空题
13．计算：______．
14．如图1是圆规实物图，图2是其示意图，其中，以A为支撑点铅笔芯端点B绕点A旋转做出圆．若，则该圆的半径可能是______．（写出一个即可）
15．在我国古代数学名著《九章算法比类大全》中记载有一则“哪吒战夜叉”的趣题．书中是这样叙述的：八臂一头号夜叉、三头六臂是哪吒．两处争强来斗胜，不相胜负正交加．三十六头齐出动，一百八手乱相抓，旁边看者殷勤问，几个哪吒几夜叉？这道题的意思是：夜叉有1个头8条胳膊，哪吒有3个头6条胳膊，哪吒与夜叉打得不可开交，只看见战场上有36个头108条胳膊在搏斗，旁边观看的人问：战场上有几个哪吒，几个夜叉？题目中夜叉的个数为________．
16．如图，在中心为的正六边形中，点同时、同速从点出发，点沿的延长线向右运动，点沿方向运动，当点运动到点时，两点都停止运动，此时，与多边形和的延长线所围成图形的面积记为，，其中，那么图中阴影面积（即）为________．
三、解答题
17．设的结果为P．
(1)若，求P的值；
(2)若P为正数，求x的最大整数值．
18．有一道题：“先化简，再求值：，其中”，小明的化简过程如下：
原式
请你判断他的化简过程是否正确？若正确，请完成代入求值；若不正确，请写出正确完整的解答过程．
19．已知题目：如图，B，D，E，C在同一直线上，，，求证：．下面是小明的证明过程．
证明：∵，∴．………………………………………第①步 在和中，∵，∴，………第②步 ∴．…………………………………………………………………第③步
(1)老师批改时，告知小明在第______步中出现错误，请你写出正确的证明过程；
(2)若，，通过计算比较与的大小．
20．为了弘扬航天精神，某校开展了航天知识竞赛，共有20道题，竞赛采用限定时间快速答题的方式进行，多选，不选，选错都算错．竞赛结束后，学校抽取了m名学生的答卷，将他们答对的题数（单位：道）统计如下（有几个数据被墨水污染了）；2，8，4，10，18，5，9，10，12，11，20，16，15，13，10，15，14，13，将以上数据分5个等次，绘制了尚不完整的频数分布直方图及扇形统计图．（A：，B：，C：，D：，E：），
(1)________，________；
(2)求的值，并补出频数分布直方图中B等次部分；
(3)直接写出答对题数的众数和中位数．
(4)再追加一名学生参赛，该同学要至少答对几道题才能使答对题数的中位数提高？请直接写出．
21．摄氏温度和热力学温度是两种不同的温度计量方法，二者成一次函数关系，与之间的部分对应数值如表所示．
摄氏温度 1 2 3 4
热力学温度 274 275 276 277
(1)求与之间的函数解析式；
(2)是热力学温度中的绝对零度，则绝对零度是________；
(3)一定质量的理想气体，在压强不变时，气体体积与气体的热力学温度成正比，即常数．在压强不变时，将的的氮气加热到时，求此时氮气的体积发生了什么变化，变化到了多少？
22．如图1和图2，中，对角线，是上一点（不与点重合），以为直径作半圆，圆心为点，交于点．
(1)如图1，若半圆与相切，点为切点，连接并延长，交于点，求证：；
(2)如图2，若半圆与交于点，，且，，．
①求的长；
②连接，直接写出与长的大小关系．（注：取3.14）
23．已知同一坐标系中，直线与过点的抛物线．
(1)当时：
①求出此时抛物线解析式．
②设点在轴下方，且到轴距离1个单位．抛物线上是否存在这样的点？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
③抛物线沿纵轴平移个单位时和直线只有一个交点，求值．
④是直线上一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，且点在点下方，直接写出线段的长度随的增大而减小时，的取值范围．
(2)无论怎样变化，抛物线与直线始终有两个交点，设这两个交点分别为，．直接写出线段的中点到抛物线对称轴的距离．
24．如图，在矩形中，，为边的中点，动点从点出发，沿射线以每秒1个单位长度的速度运动，连接，设点的运动时间为秒，当点与点重合时，．
(1)在图中，利用尺规作出点关于直线的对称点，连接、；
(2)________，________；
(3)求为何值时，直线平分矩形的面积；
(4)当点在矩形内部（不含边界）时，直接写出的取值范围；
(5)点在射线上，且，连接，点为的中点．当点在线段上运动时，请直接写出点的运动路径长．
参考答案
1．B
解：
2．A
解：直尺较长的两边是一组平行线，由两直线平行，同位角相等得到的对顶角为，
所以．
3．A
解：该几何体的三视图如图所示：
∴只有选项A不是．
4．D
解：∵分式运算中，分母不能为0，除数不能为0，
∴原式需满足以下条件：
，
解得：且且，
选项A的，选项B的，选项C的都不满足条件，只有选项D的符合要求，因此选D．
5．C
解：将原方程展开整理为一元二次方程一般形式：，其中，，
∵对于一元二次方程，两根之积为，两根之和为
∴ ，
∴点的坐标为，横纵坐标均为负数，因此该点位于第三象限
6．D
解：选项A∶ ，结果是无理数，不符合要求．
选项B∶ ，结果是无理数，不符合要求．
选项C∶ ，结果是负有理数，不符合要求．
选项D∶ ，是正有理数，符合要求．
7．D
解：∵袋子中共有个球，取出红球的概率为，取出绿球的概率为，
∴红球个数为（个），绿球个数为（个），
∴蓝球个数为（个），
∵拿出个红球后，剩余球的总个数为（个），蓝球个数仍为个，
∴再随机取出个球是蓝球的概率为．
8．D
解：如图所示，延长交于点，延长交于点，过点作，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴．
9．B
解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴矩形是正方形，
∴四边形的周长为，
∵，
∴，
∵点E在上，
∴，
∴，
∴只有B选项中的函数图象符合题意．
10．A
解：由图可知：
，
∴，
∴平分，，
故①对②错．
11．C
解：∵第一次折叠后（如图2），补原图形，使得，
由矩形
∴，
即．
同理：第二次折叠后，补图如图3，
由 ，
每一次折叠后形成的角都为原角的，
第次折后的角为：，
所以有：＜20°，
经验算可得：n的最小值为4．
故选：C．
12．D
解：∵，
设直线：，
代入得，
解得，
∴解析式：，
∵将直线沿横轴平移个单位，
∴平移后：，
甲：矩形中，，内部（不含边界）整点满足：
，
整点：一共个整点，
两侧个数比，总份数，总整点，
若两侧整点个数比为，则两侧数量分和，都不是整数，
但要注意：平移后的直线可能经过部分整点，这些点不属于两侧，
因此两侧的整点总数会小于，
故甲说法错误；
乙：存在，其中一个值为，
平移后直线：，
代入矩形内部整点横坐标：
当时，，此时对应的个整点都在直线上方；
当时，，此时对应的个整点都在直线上方；
当时，，此时对应的个整点都在直线上方；
当时，，此时对应的个整点都在直线上方；
当时，，此时对应的个整点都在直线上方；
即个整点都在直线下方，不满足整点落在直线两 侧的个数之比为，乙的说法错误
综上，甲错乙错．
13．
解：．
14．（答案不唯一）
解：根据三角形的三边关系可知，
又∵，，
∴
则该圆的半径可能是（答案不唯一）．
15．
解：设战场上有个夜叉，个哪吒．
根据题意，可得方程组：
①，得③ ．
，得．
解得．
16．
解：如图， 连接、、，作，垂足为，
正六边形各边长相等，设边长为，点从运动到，总路程为；
∵同速同时运动，
∴运动的路程，
∵
∴都是等边三角形，
同理，正六边形的中心与相邻顶点构成的、都是等边三角形，
∴
∴，即
∴
∴四边形的面积等于个等边三角形的面积：
∴
∴，
设与交于点，则：， ，
∴，
∵，
∴，
故．
17．(1)的值为
(2)的最大整数值为
（1）解：当时，
；
（2）解：由题意得，
∴，
解得，
∴的最大整数值为．
18．小明的化简过程不正确，
正确解答过程如下：原式
将代入得 ．
19．(1)②；见详解
(2)
（1）解：观察过程可知，小明在第②步中有错，原因是不能证明两个三角形全等，
正确过程如下所示：
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
（2）解：∵，
，
，
，
，
．
20．(1)；
(2)，频数分布直方图补全如下：
(3)众数为，中位数为
(4)至少需要答对道题
（1）解：由统计图可知，E等次的学生有3人，占比为，
∴抽取的学生数为（人），
∴，
，
∴；
（2）解：，
∴B等次的学生人数为（人），
频数分布直方图如答案所示；
（3）解：将已知数据从小到大排列，得：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，
其中A等次2人，B等次2人，C等次6人，D等次6人，E等次2人，
结合频数分布直方图可知，缺失的数据有2个，1个在B等次，1个在E等次，
∴这20个数的第10个数为11，第11个数为12，
∴这组数的中位数为，
∵这组数中，10出现3次，出现的次数最多，
∴这组数的众数为10；
（4）解：要想使整体的中位数提高，则必须进入前，
由（3）可知，原中位数为，
∴至少需要答对12道题．
21．(1)
(2)
(3)氮气的体积增加了，变化到了
（1）解：设，
将；，，代入，得，
，
解得，
∴；
（2）解：将代入，得，
∴绝对零度是；
（3）解：设时，氮气的体积为，
当时，；当时，，
根据题意可得：，
解得，
∵，
∴氮气的体积增加了，变化到了．
22．(1)见解析；
(2)①；②．
【详解】（1）证明：连接，如图1．
∵半圆与相切，点为切点，
∴
∵，
∴,
∴
又，
∴
∴
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴
∴
∴
；
（2）解：①作于点，如图2．
设半圆的半径为，则
∵，
∴
∵，
∴
解得
∴的长为
②
如图3，∵是直径，
∴
∵，
∴
∴
∵，
∴
∵，
∴，
∴
而,
∴
23．(1)①；②存在，点的坐标为；③；④
(2)
（1）解：①当时，点的坐标为，
将点代入，得，
∴抛物线的解析式为；
②∵点在轴下方，且到轴距离1个单位，
∴，
将代入，得，
∴存在，点的坐标为；
③平移后的抛物线解析式为，
联立直线与抛物线，并消去，得，
，
整理，得，
∵直线与抛物线只有一个交点，
∴，
解得；
④解：如图，设直线与抛物线的交点为点和点，
联立直线与抛物线，得，
，
解得或，
∴点的坐标为，点的坐标为，
由图可知，当时，点在点的下方时，
∵点在直线上，
∴点的坐标为，
∵轴，
∴，
∴点的坐标为，
∴，
∵，
∴当时，随的增大而减小，
综上，的取值范围为；
（2）解：设点、的横坐标为、，中点的横坐标为，
将点代入，得，
，
∴，
∴抛物线解析式为，对称轴为直线，
联立直线与抛物线，并消去，得，
，
∵，
∴，
整理，得，
根据根与系数的关系可得，，
由中点公式可得，，
∴线段的中点到抛物线对称轴的距离为．
24．(1)点如图所示：
(2)；
(3)
(4)或
(5)
（1）解：如图，连接交于点，
根据题意，，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴点与点关于直线对称；
（2）解：∵为边的中点，
∴，
由轴对称的性质可得，，
当点与点重合时，如图，
∵四边形是矩形，
∴，
在中，；
（3）解：如图，连接、交于点，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵直线平分矩形的面积，
∴直线过点，
∵为边的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵点与点关于直线对称，
∴，
∴，
∴；
（4）解：设的中点为，连接，
根据题意，，
由（2）可知，为定值，
∴点在以点为圆心，为半径的圆弧上，
①当点在线段上时，如图，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∵、为、的中点，
∴，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
由轴对称的性质可得，，，
在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴当时，点在矩形内左侧的圆弧上；
②当点在线段上时，如图，
∴，
同理①可得，，
∴，
由轴对称的性质可得，，
在中，，
∴，
解得，
∴当时，点在矩形内右侧的圆弧上；
综上所述，当或时，点在矩形内部（不含边界）；
（5）解：如图，连接，取的中点，连接，
∵点为的中点，点为的中点，
∴是的中位线，
∴，为定值，
∴点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动，
如图，
当点与点重合时，点也与点重合，此时点是的中点，即点处，则；
当点与点重合时，点在点处，延长交于点，
在中，，
∴，
由轴对称的性质可得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点的运动路径为圆心角为，为半径的圆弧，
∴点的运动路径长为．

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