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第五单元数学广角——鸽巢问题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．把26条金鱼最多放进（ ）个鱼缸里，才能保证至少有一个鱼缸里不少于5条金鱼。
A．4 B．5 C．6 D．7
2．六年级有200名学生，他们分别订阅了甲、乙、丙、丁四种杂志中的一种、两种、三种或四种、至少有（ ）名学生订阅的杂志种类相同。
A．13 B．14 C．15 D．50
3．六（1）班有学生50人，至少有（ ）个学生是在同一个月出生的。
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（岳麓区）六一班有45个学生，去岳麓山、植物园、橘子洲三个景点游玩，每个学生可选择其中的一个或两个景点，则至少有（　　）位学生游玩的地点是相同的。
A．7 B．8 C．15 D．16
5．一个布袋中装有若干只手套，颜色有黑、红、蓝、白4种，至少要摸出（　　）只手套，才能保证有3只颜色相同。
A．5 B．8 C．9 D．12
6．把一个正方体的6个面分别涂上红、黄、蓝、绿四种颜色（每面只涂一种颜色）。无论怎么涂，至少有（ ）个面涂的颜色相同。
A．1 B．2 C．3 D．4
7．把21支笔放在（ ）个笔筒里，可以确保至少有一个笔筒里面放了3支笔。
A．10 B．7 C．6 D．3
8．把红、黄、蓝、白四种颜色的球各8个放到一个袋子里，至少要取（ ）个球，才能保证取到三个颜色相同的球。
A．5 B．8 C．9 D．13
二、填空题
9．六年级一班有54名学生，在这些学生中至少有( )人的出生月份是相同的。
10．“阿妹戚托”是贵州省晴隆县彝族的国家级非物质文化遗产，意为“姑娘出嫁舞”。学校文化节需表演“阿妹戚托”，若将42名学生分到4个舞蹈组中，总有一个舞蹈组至少有( )名学生。
11．从扑克牌中取出两张王牌，在剩下的52张中任意抽出5张，至少有( )张是同花色的。
12．英才小学六（2）班有29名男同学，20 名女同学，至少有( )名同学是同一个月过生日。
13．袋子里有红球、白球和黄球各10个，要想摸出的球一定有2个颜色相同，至少要摸出( )个球。
14．六年级有5个班，在一次数学竞赛中，至少要有( )人获奖，才能保证有3名学生一定在同一个班级里．
15．在367个2016年出生的儿童中，至少有( )个人是同一天出生的．
16．如图，每次任意摸一个球，摸到红球的可能性是；要摸出两个同色的球，至少一次摸出（ ）个；要摸出两个黑色的球，至少一次摸出（ ）个。
三、判断题
17．从一副没有大小王的扑克牌中任意抽出5张牌，一定有两张牌花色相同． ( )
18．六（1）班级有53名学生，同月过生日的至少有5人。( )
19．9只鸽子飞进4个鸽舍，至少有3只鸽子会飞进同一个鸽巢。( )
20．老师把36副羽毛球拍分给5个班，至少有7副羽毛球拍分给同一个班。( )
21．把7本书分别放进3个抽屉里，至少有一个抽屉放4本。 ( )
四、解答题
22．一个鱼缸里有4种花色的金鱼，每种花色各有10条，从中任意捞鱼．
（1）至少捞出多少条鱼，才能保证有3条花色相同的金鱼？
（2）至少捞出多少条鱼，才能保证有3种花色不同的金鱼？
23．在的方格纸中，每个方格纸内可以填上四个自然数中的任意一个，填满后对每个“田”字形内的四个数字求和，在这些和中，相同的和至少有几个？
24．52名同学答2道题，规定答对一题得3分，不答得0分，答错一题扣2分，至少有几名同学的成绩相同？
25．把若干个苹果放进9个抽屉里．不管怎么放，要保证总有一个抽屉里至少放进4个苹果．那么至少应该有多少个苹果
26．新兴镇上设置了3个信箱，现在有16封信要发出去，不管这些信怎样投，必有一个信箱里至少要投进6封信。你知道为什么吗？
《第五单元数学广角——鸽巢问题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B D B C B A C
1．C
【分析】抽屉原理如：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有：（1）当n不能被m整除时，k＝[]＋1个物体，（2） 当n能被m整除时，k＝个物体 。抽屉原理本质是平均分配，将鱼缸数量看作抽屉，将26条金鱼平均分到m个鱼缸里，若26÷m＝k（条）……r（条），即每个鱼缸可以放入k条，还余下r条，余下r条也要放入鱼缸中，无论怎样放，至少有一个鱼缸里再放入1条，即至少有一个鱼缸里有（k＋1）条，从题意可知，k＝5－1＝4，再用26÷4，即26里有几个4就有几个鱼缸。
【详解】26÷（5－1）
＝26÷4
＝6（个）……2（条）
把26条金鱼最多放进6个鱼缸里，才能保证至少有一个鱼缸里不少于5条金鱼。
故答案为：C
2．B
【分析】订阅杂志的类型有15种，即：第1种，都订阅甲杂志；第2种，都订阅乙杂志；第3种，都订阅丙杂志；第4种，都订阅丁杂志；第5种，只订阅甲乙杂志；第6种，只订阅甲丙杂志；第7种，只订阅甲丁杂志；第8种，只订阅乙丙 杂志；第9种，只订阅乙丁杂志；第10种，只订阅丙丁杂志；第11种，只订阅甲乙丙杂志；第12种，甲乙丁杂志；第13种，只订阅甲丙丁杂志，第14种，只订阅乙丙丁杂志；第15种，只订阅甲乙丙丁杂志；然后要把200个人放进这15种类型，那么就是200÷15＝13……5，要使一种类型人数最少，所以最后5个人要分散放到15种类型。相同的人数至少有13＋1＝14人。也就是至少有14个学生订阅的杂志种类相同。
【详解】由分析可知，
订阅杂志的类型有15种，
200÷15＝13……5
13＋1＝14人。
故答案为：B。
【点睛】此题属于典型的抽屉原理的习题，应明确：把不同的订阅方法看做抽屉，把参与订阅的学生看做元素。
3．D
【分析】一年有12个月，把月份看作抽屉数，把学生人数看作被分放物体数，被分放物体的数量÷抽屉的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量……剩下物体的数量，一个抽屉里至少分放物体的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量＋1，据此解答。
【详解】一年＝12个月
50÷12＝4（个）……2（个）
4＋1＝5（个）
所以，至少有5个学生是在同一个月出生的。
故答案为：D
【点睛】找准抽屉的数量和被分放物体的数量是解答此类问题的关键。
4．B
【分析】选择一个景点有3种选法，选择两个景点也有3种选择，所以共有3＋3＝6种选择，所以抽屉数是6，因此共有6个抽屉供45个学生来选，因为45÷6＝7……3，所以
至少有（7＋1）位学生游玩的地点是相同的。
【详解】选择一个景点有3种选法，选择两个景点也有3种选择，所以共有3＋3＝6种选择，
45÷6＝7……3
7＋1＝8（个）
至少有8位学生游玩的地点是相同的。
故答案为：B
【点睛】此题考查了排列组合知识和抽屉原理在实际问题中的灵活应用；关键是建立抽屉数。
5．C
【详解】2×4＋1
＝8＋1
＝9（种）
故答案为：C
6．B
【分析】分析题目，把红、黄、蓝、绿4种颜色看作4个鸽巢，要把正方体的6个面放进4个鸽巢里，则4种颜色各涂一个面，剩下（6－4）个面不管涂什么颜色，至少都有（1＋1）个面涂的颜色相同，据此解答。
【详解】6÷4＝1（个）……2（个）
1＋1＝2（个）
把一个正方体的6个面分别涂上红、黄、蓝、绿四种颜色（每面只涂一种颜色）。无论怎么涂，至少有2个面涂的颜色相同。
故答案为：B
7．A
【分析】根据最不利原则，先确保每个笔筒里放2支笔。用总数减去1，算出剩下的笔的数量，用剩下的数量除以2即可。
【详解】（21－1）÷2
＝20÷2
＝10（个）
把21支笔放在10个笔筒里，可以确保至少有一个笔筒里面放了3支笔。
故答案为：A
8．C
【分析】由于袋子里有红、黄、蓝、白四种颜色的球各8个，如果前4次，最差情况为红、黄、蓝、白四种颜色的球各一个；第二个4次，最差情况为红、黄、蓝、白四种颜色的球各一个，所以只要再多取1个球，就能保证取到三个颜色相同的球，据此解答。
【详解】4×2＋1＝9（个）
所以从中至少取出9个球，可以保证取到三个颜色相同的球。
故答案为：C
9．5
【分析】用物体数除以抽屉数，求出商，再用商＋1，求出至少数即可。
【详解】根据抽屉原理可得：
（人）（人）
（人）
【点睛】本题考查鸽巢问题，解答本题的关键是掌握鸽巢问题的计算方法。
10．11
【分析】把42名学生看作被分放物体，4个舞蹈组看作抽屉，被分放物体的数量÷抽屉的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量……剩下物体的数量，一个抽屉里至少分放物体的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量＋1，据此解答。
【详解】42÷4＝10（名）……2（名）
10＋1＝11（名）
所以，总有一个舞蹈组至少有11名学生。
11．2/两
【分析】因为没有王牌，所以扑克牌中只有4种花色，考虑最不利的情况，先把每种花色各取1张，再抽一张，至少有2张是同花色的。
【详解】分析可知，从扑克牌中取出两张王牌，在剩下的52张中任意抽出5张，至少有2张是同花色的。
【点睛】本题主要考查鸽巢原理，掌握鸽巢问题的解题方法是解答题目的关键。
12．5
【分析】在此类抽屉问题中，至少数＝被分配的物体数除以抽屉数的商＋1（有余的情况下）。在本题中，被分配的物体数是（29＋20），抽屉数是12（一年有12个月），据此计算即可。
【详解】（29＋20）÷12
＝49÷12
＝4（人）……1（人）
4＋1＝5（人）
【点睛】抽屉原理问题的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数，然后根据“至少数＝元素的总个数÷抽屉的个数＋1（有余数的情况下）”解答。
13．4
【分析】根据最不利原则，只要摸出的球数比袋子里球的颜色种数多1，就能保证至少有2个球同色。
【详解】袋子里共有3种颜色的球，考虑最差情况，摸出3个球，分别是红球、白球和黄球不同的颜色，那么再任意摸出1个球，可以保证摸出的球里一定有2个是同色的。所以要想摸出的球一定有2个颜色相同，至少要摸出个球。
14．11
【详解】略
15．2
【详解】略
16．；3；5
【分析】①图中箱子里一共有5个球，其中3个红球，2个黑球，摸到红球的可能性＝摸到红球可能出现的结果个数÷所有可能摸到的结果个数；②把红色和黑色看做两个抽屉，考虑最差情况：摸出2个球，红球、黑球各1个，此时再任意摸出1个，必定出现2个球同色；③考虑最差情况：3个红球全部摸出，此时剩下的2个是黑球，所以至少一次摸出5个，才能保证摸出2个黑球。
【详解】①一共有5个球，红球有3个，摸到红球的可能性为：；
②考虑最差情况：摸出2个球，红、黑球各1个，此时再任意摸出1个球，必定出现2个同色球。
2＋1＝3（个）
③考虑最差情况：3个红球全部摸出，把剩下的2个黑球全部摸出，3＋2＝5（个）。
因此摸到红球的可能性是；要摸出两个同色的球，至少一次摸出3个；要摸出两个黑色的球，至少一次摸出5个。
17．√
【详解】略
18．√
【分析】根据抽屉原理可知，一年12个月，53÷12＝4（人）……5（人），这5个同学无论怎样都会和其他同学在一个月里面过生日，所以这个班至少有5个同学是同一个月过生日的。
【详解】53÷12＝4（人）……5（人），所以至少有5人是在同一个月过生日；
故答案为：√。
【点睛】熟练掌握抽屉原理是解答本题的关键。
19．√
【分析】把4个鸽舍看作4个抽屉，把9只鸽子看作9个元素，那么每个抽屉需要放9÷4＝2（只） 1（只），所以每个抽屉有2只，剩下的1只鸽子不论怎么放，总有－个抽屉里至少有：2＋1＝3（只），所以，至少有3只鸽子要飞进同－个鸽舍；据此解答。
【详解】9÷4＝2（只） 1（只）
2＋1＝3（只）
则至少有3只鸽子会飞进同一个鸽巢。原题干说法正确。
故答案为：√
【点睛】此题属于典型的抽屉原理习题，根据抽屉原理进行解答即可。
20．×
【分析】把5个班看作5个抽屉，把36副羽毛球拍看作36个元素，从最不利情况考虑，36÷5＝7（副）……1（副），每个抽屉先放7副，共需要35副，余这1副无论放在那个抽屉里，总有一个抽屉里的有7＋1＝8（副），据此解答。
【详解】36÷5＝7（副）……1（副）
7＋1＝8（副）
即至少有8副羽毛球拍分给同一个班，所以原题说法错误。
故答案为：×。
【点睛】抽屉原理问题的思路是：根据“至少数＝元素的总个数÷抽屉的个数＋1（有余数的情况下）”解答。
21．×
【分析】物体的个数是7，抽屉数是3，要求其中一个抽屉至少有几本书，可先把总数平均分，这样每份数最少，如果有余数，不管余数是多少，都只把原来的商加上1即可求解。
【详解】7÷3＝2……1（本）
2＋1＝3（本）
把7本书分别放进3个抽屉里，至少有一个抽屉放3本；
故答案为：×
22．（1）9条 （2）21条
【分析】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑．
【详解】（1）2×4+1＝9（条）
答：至少捞出9条鱼，才能保证有3条花色相同的金鱼．
（2）10+10+1＝21（条）
答：至少捞出21条鱼，才能保证有3种花色不同的金鱼．
23．个
【分析】在的正方形网格中，可以找到49个的“田”字形，而从1~4中任取4个数的和可能是4~16的任何一个，共13种可能，抽屉数是13，苹果数是49。
【详解】出在的方格中，共有“田”字形49个；
至少有个“田”字形内的数字和是相同的；
答：相同的和至少有4个。
【点睛】本题考查的是抽屉原理，准确找出题目中所隐藏的苹果数和抽屉数是求解问题的关键。
24．9名
【解析】略
25．28个
【分析】要保证总有一个抽屉里至少放进4个苹果，考虑最差情况：每个抽屉都有3个苹果，此时苹果数最少是3×9=27个，再加上1个，即可出现一个抽屉里至少放进4个苹果，据此即可求出苹果最少有27+1=28个．
【详解】9×3+1=27+1=28（个）
答：那么至少应该有28个苹果．
26．16÷3＝5……1，也就是说将16个信封平均装进3个信箱，还差一封没有装，所以必然有一个信箱要装6封。
【分析】将3个信箱看成是3个抽屉，再根据鸽巢原理中的抽屉原则二：不能整除时至少数＝商＋1，能整除时至少数＝商，进行解答即可
【详解】16÷3＝5（封）……1（封）
5＋1＝6（封）
也就是说，将16个信封平均装进3个信箱，还差一封没有装，所以必然有一个信箱要装6封。
【点睛】本题主要考查了鸽巢原理的应用，关键是要理解鸽巢原理中的抽屉原则二：如果将n个物体放进m个抽屉（其中n＞m），那么必有一个抽屉至少有：①k＝＋1个物体（n不能被m整除是）；②k＝个物体（n能被m整除时）。
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