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第二单元因数和倍数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．李叔叔买了3套同样的手工工具，每套工具的价格都是整数，且没有任何折扣，李叔叔可能花了（ ）元。
A．460 B．365 C．268 D．264
2．要使三位数“42□”是3的倍数，“□”里最大能填（ ）。
A．6 B．7 C．8 D．9
3．用3和6这两张数字卡片组成的所有两位数，一定都是（ ）。
A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数
4．若的和是奇数，一定是（ ）。
A．偶数 B．合数 C．奇数 D．无法确定
5．有101个不同的正整数，在这101个数中有100个数互相不成倍数，但任意两数的和是2的倍数，任意三个数的和是3的倍数，任意四个数的和是4的倍数，任意六个数的和是6的倍数，则这101个数平均数的最小值可能是（ ）。
A．505 B．600 C．601 D．606
6．三个连续自然数的和一定是（ ）的倍数。
A．2 B．4 C．3 D．6
7．，，三个数都是整数，那么，，中，整数有几个？正确的选项是（ ）.
A．0个 B．只有一个
C．至少有一个 D．至少有两个
二、填空题
8．将奇数1，3，5，…如图排列，各项分别用A，B，C，D，E表示，则2025所在的行、列分别为第( )行、第( )列。
9．小明、小丽、小红三人的年龄刚好是三个连续的偶数，他们的年龄总和是48岁，他们当中最小的是( )岁，最大的是( )岁。
10．32的因数有( )，其中最大的因数是( )，最小的因数是( )。
11．偶数＋偶数＝( )；偶数－奇数＝( )。
12．用一根长32m的绳子围一块长方形草坪，要求长和宽都是整米数，且都是质数，围出的草坪面积最大是( ) m 。
13．20以内的自然数中，( )既是质数，又是偶数。
14．一个三位数32□，要使它是3的倍数，□里可以填( )；要使这个数是5的倍数，□里可以填( )；要使这个数既是2的倍数，又有因数5，□里只能填( )。
15．它是一个两位数，个位上的数字既是偶数又是质数，十位上的数字即是奇数又是合数。它是( )。
三、判断题
16．质数都不是2的倍数。( )
17．一个自然数不是质数就是合数． （判断对错）．
18．因为3×5＝15，所以15的因数只有2个。( )
19．500的因数有无数个。( )
20．一个自然数，如果它是4的倍数，那么它一定是2的倍数。( )
四、解答题
21．自然数N的因数从小到大排列是a、b、c、d、e、f，已知a＋c＝6。对于N是什么数，三个小朋友有三种猜测。
南南：N一定是奇数。阳阳：N的结尾一定是0。宛宛：N一定是5的倍数。
(1)谁猜的正确，请写出你的理由。
(2)如果a＋f＝46，则d＋e＝( )。
(3)从小到大写出三个不同合数的所有因数。
(4)例如：N的所有因数从小到大排列是：a、b、c、d、e、f，把前后对称位置上的数相乘算出积：a×f，b×e，c×d，用第（3）题中的数据验证，我发现：（ ）。
22．五一班的同学到博物馆参观，男生有15人，女生有20人，如果每组中男生人数相同，女生人数也相同，最多可以分为多少组？每组男生多少人？
23．一个两位数的质数和一个两位数的合数的和、差均为奇数，并且质数、合数的个位上的数字和十位上的数字分别交换后，质数变成合数，合数变成质数。原来的质数和合数各是多少？（已知原来的质数和合数均为15~20之间的数。）
24．王老师到文具店买文具．
王老师买了一些中性笔和钢笔，他付给营业员100元，找回13元，找回的钱对吗？
25．春节期间，爸爸在家人群里发了65元的拼手气红包，一共有4个人抢，前3个数都是奇数，第4个抢到的钱数一定是奇数还是偶数？
《第二单元因数和倍数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 D D D A C C C
1．D
【分析】根据题意，李叔叔买了3套同样的手工工具，每套工具的价格都是整数，根据“单价×数量＝总价”可知，李叔叔花的钱数是3的倍数；从四个选项中找出哪个数是3的倍数，即可得解。3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
【详解】A．4＋6＋0＝10，10不是3的倍数，则460不是3的倍数；
B．3＋6＋5＝14，14不是3的倍数，则365不是3的倍数；
C．2＋6＋8＝16，16不是3的倍数，则268不是3的倍数；
D．2＋6＋4＝12，12是3的倍数，则264是3的倍数。
2．D
【分析】3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
【详解】4＋2＝6，要使三位数“42□”是3的倍数，“□”里可以填0、3、6、9，最大能填9。
故答案为：D
3．D
【分析】合数是在大于1的整数中，除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数；质数是一个自然数，只有1和它本身两个因数；奇数是在整数中，不能被2整除的数；偶数是在整数中，能被2整除的数。先写出用3和6组成的两位数，再进行判断。
【详解】用3和6这两张数字卡片组成的两位数：36和63
36是偶数，也是合数；63是奇数，也是合数。
则用3和6这两张数字卡片组成的所有两位数，一定都是合数。
故答案为：D
4．A
【分析】合数是指除了能被1和本身整数外，还能被其他数（0除外）整数的自然数，仅从的和是奇数无法判断是否为合数，奇数和偶数的运算性质：奇数＋奇数＝偶数，比如3（奇数）＋5（奇数）＝8（偶数）；偶数＋偶数＝偶数，比如2（偶数）＋4（偶数）＝6（偶数）；奇数＋偶数＝奇数，比如3（奇数）＋4（偶数）＝7（奇数），已知的和是奇数，3是奇数，根据“奇数＋偶数＝奇数”这一运算性质，即可求出为奇数还是偶数。
【详解】已知的和是奇数，3是奇数，根据“奇数＋偶数＝奇数”这一运算性质可知，一定是偶数。
故答案为：A
5．C
【分析】个位上是0，2，4，6，8的数是2的倍数；如果一个数的各个数位上的数的和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数，根据题目条件逐步分析得出这 100个数的特征，进而判断平均数的特点；
除以2的余数情况：因为任意两个数的和是2的倍数，两个数相加和是2的倍数，说明这两个数要么都是偶数（即除以2余数为0），要么都是奇数（即除以2余数为1）。又因为这100个数互相不成倍数，所以不能都是偶数（如果都是偶数，必然存在倍数关系），所以这100个数除以2的余数都为1。
除以3的余数情况：由于任意三个数的和是3的倍数，设这三个数分别为a、b、c，a＋b＋c＝3k（k为整数）。根据余数的性质，a、b、c除以3的余数之和要是3的倍数。因为这100个数互相不成倍数，若有不同余数，就很难保证任意三个数和是3的倍数，所以这100个数除以3的余数都相同，又因为要满足和是3的倍数，所以余数只能为1（若余数为0，则这些数有倍数关系）。
除以4的余数情况：同理，任意四个数的和是4的倍数，设这四个数为m、n、p、q，m＋n＋p＋q＝4s（s为整数），根据余数性质，这100个数除以4的余数之和要是4的倍数。由于这100个数互相不成倍数，所以它们除以4的余数都相同，且为1（若余数为0或其他情况容易出现倍数关系不符合题意）。
除以6的余数情况：任意六个数的和是6的倍数，设这六个数为、、、、、，＋＋＋＋＋＝6t（t为整数），根据余数性质，这100个数除以6的余数之和要是6的倍数。因为这100个数互相不成倍数，所以它们除以6的余数都相同，且为1（若余数为0或其他情况，会出现倍数关系不符合要求）。
分析平均数：因为这100个数的平均数等于这100个数的总和除以100，而这100个数除以2、3、4、6余数都为1，那么它们的平均数除以2、3、4、6余数也都为1。
【详解】A．505÷2＝252……1，505÷3＝168……1，505÷4＝126……1，505÷6＝84……1，满足余数都为1；
B．600÷2＝300，余数为0，不满足除以2余数为1，所以B选项错误；
C．601÷2＝300……1，601÷3＝200……1、601÷4＝150……1、601÷6＝100……1，满足余数都为1；
D．606÷2＝303，余数为0，不满足除以2余数为1，所以D选项错误。
比较505和601，505＜601，但题目问的是这101个数平均数的最小值，因为101个数中有100个数满足上述余数条件，当这100个数最小且满足余数条件时，平均数会最小，601比505更符合这101个数平均数最小的情况（因为505作为平均数时，可能无法满足101个数整体的条件，而601满足所有余数条件且能保证101个数整体的合理性）。
故答案为：C
【点睛】找出这100个数余数的特点，通过余数特点来判断平均数满足的条件是解题的关键。
还可以这样理解：这100个数的除以2、3、4、6的余数都为1，可写作12k＋1的形式（k＝1-100），求和为12×（1＋2＋3＋…100）＋1×100＝60700，再取1为第101个数，60701为这101个数最小和，60701÷101＝601，故选C。
6．C
【分析】相邻的自然数，相差1，根据3的倍数特征进行分析。
【详解】假设中间数是n，三个连续自然数分别是n－1，n，n＋1，和是3n，所以三个连续自然数的和一定是3的倍数。
故答案为：C
【点睛】本题考查了3的倍数特征，各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
7．C
【详解】当a、b、c三个整数都是奇数时，则这三个数都是整数；当a、b、c三个整数有一个是奇数，另外两个都是偶数时，则这三个数中有一个是整数；当a、b、c三个整数有两个是奇数，另外一个是偶数时，则这三个数中有一个是整数；当a、b、c三个整数都是偶数时，则这三个数都是整数。
8． 254 D
【分析】先看奇数的排列规律，用2025加1再除以2，求出它是第几个奇数。再用这个序号除以4，根据商和余数确定它在第几行第几个。最后根据行数是奇数还是偶数，对照每行的排列顺序，判断出它在第几列。
【详解】求2025是第几个奇数：（2025＋1）÷2
＝2026÷2
＝1013（个）
求行数和余数：1013÷4＝253……1
确定行数：253＋1＝254（行）
第254行为偶数行，从D列开始排，即在D列。
所以2025所在的行、列分别为第254行、第D列。
9． 14 18
【分析】相邻的两个偶数相差2，年龄和÷3＝中间年龄，中间年龄－2＝最小的年龄，中间年龄＋2＝最大的年龄，据此列式计算。
【详解】48÷3＝16（岁）
16－2＝14（岁）
16＋2＝18（岁）
他们当中最小的是14岁，最大的是18岁。
【点睛】关键是掌握偶数的特点，整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。
10． 1，2，4，8，16，32 32 1
【分析】可以列乘法算式找一个数的因数。把这个数写成两个整数相乘的形式，算式中的每个整数都是这个数的因数。一个数因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。
【详解】32＝1×32，32＝2×16，32＝4×8，所以32的因数有1，2，4，8，16，32。其中最大的因数是32，最小的因数是1。
【点睛】用乘法找一个数的因数时，一般要从自然数1开始一对一对地找，这样不容易遗漏。
11． 偶数 奇数
【详解】偶数＋偶数＝偶数，偶数－奇数＝奇数，
如：2＋2＝4， 6－5＝1。
12．55
【分析】用绳子长度÷2，求出长方形周长的一半，即长＋宽的和，再找到两个质数相加＝长加宽的和，确定长和宽，根据长方形面积＝长×宽，列式计算即可。
【详解】32÷2＝16（米），16＝3＋13＝5＋11，3×13＝39（平方米）,5×11＝55（平方米）
【点睛】本题考查了长方形的周长和面积及质数，除了1和它本身没有别的因数的数叫质数。
13．2
【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数，2是唯一的偶质数，据此解答。
【详解】分析可知，20以内的自然数中，2既是质数，又是偶数。
【点睛】掌握质数、偶数的意义是解答题目的关键。
14． 1，4，7 0，5 0
【分析】一个数，各个数位上的数字之和是3的倍数，那这个数就是3的倍数；一个数，个位上是5或0，那这个数就是5的倍数；一个数，个位上是0，那这个数就是2和5的倍数，据此解答。
【详解】3＋2＋1＝6
3＋2＋4＝9
3＋2＋7＝12
□里填1、4、7，则这个三位数是3的倍数。
□里填0、5，这个三位数就是5的倍数。
□里填0，那这个数既是2的倍数，又有因数5。
【点睛】掌握3、5及2和5的倍数特征是解答本题的关键。
15．92
【分析】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。
质数就是只能被1和它自身整除的数，合数就是除了和它本身之外，还能被其它数整除的数。
【详解】个位上的数字既是偶数又是质数，这个数字为2；
十位上的数字即是奇数又是合数，这个数字为9；
则这个数为92。
16．×
【分析】2本身就是质数，可是2是2的倍数，所以说质数都不是2的倍数，是错误的。
【详解】2的倍数有：2、4、6、8……，其中2本身是质数。所以原题说法错误。
故答案为：×。
【点睛】此题考查对质数和2的倍数的认识。
17．×
【详解】试题分析：根据质数与合数的意义：一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数．1既不是质数也不是合数．
解：根据分析：质数与合数是按照一个自然数的因数的个数的多少进行分类，因为1只有一个因数是它本身，所以1既不是质数也不是合数．
因此所有的自然数不是质数就是合数．这种说法是错误的．
故答案为×．
【点评】此题考查的目的是理解质数与合数的意义，明确：质数与合数是按照一个自然数的因数的个数的多少进行分类．
18．×
【分析】从最小的自然数1开始找，一直找到它本身，找出15的所有因数即可。
【详解】15÷1＝15
15÷3＝5
15的因数有：1、3、5、15。
故答案为：×
【点睛】一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。
19．×
【分析】一个数（0除外）的最小因数是1，最大因数是它本身，所以一个数的因数是有限的。
【详解】由分析可知：500的因数是有限的。原题干说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题考查求一个数的因数，明确一个数的因数是有限的是解题的关键。
20．√
【分析】4的倍数可以表示为，其中是非零自然数，，可以被2整除，那么一定是2的倍数。
【详解】一个自然数，如果它是4的倍数，那么它一定是2的倍数；
题干阐述正确，故答案为：√。
【点睛】本题考查的是因数与倍数，如果a是b的倍数，那么a的倍数也一定是b的倍数。
21．(1)宛宛猜的正确，因为N的最小因数是1，所以a＝1，由a＋c＝6可知：c＝5；N的因数中有5，所以N一定是5的倍数
(2)24
(3)见详解
(4)把一个合数的所有因数从小到大排列，前后对称位置上的数相乘的积都等于这个合数。
【分析】（1）根据因数的特征，一个自然数最小的因数是1。已知，可求出c。因为5是的因数，所以一定是5的倍数。南南猜测奇偶性不确定（取决于是否有因数 2），阳阳猜测末尾是0也不确定（取决于是否有因数2），只有宛宛猜测是5的倍数是必然成立的。
（2）已知，且，可求出最大因数，即。找出45的所有因数并排序，确定和的值，最后求和。
（3）合数：除了1和它本身，还有别的因数的自然数。任选三个不同的合数，按照从小到大的顺序列出它们的所有因数。
（4）利用第（3）题列出的因数，计算对称位置因数的乘积，观察规律得出结论。结论应符合因数成对出现的性质。
【详解】（1）因为自然数的因数从小到大排列，最小的因数一定是1。
已知，所以
因为5是的因数，所以一定是5的倍数。
南南猜测是奇数，若有因数2则为偶数，不一定正确；
阳阳猜测的结尾是0，若没有因数2则结尾不是0，不一定正确；
宛宛猜测是5的倍数，因为5是因数，所以一定正确。
（2）因为，且，所以 ，因为是最大的因数，所以。45的因数从小到大排列是：1， 3， 5， 9， 15， 45，对应关系为：，所以
（3）选合数15，因数有：1，3，5，15；
选合数24，因数有：1，2，3，4，6，8，12，24；
选合数36，因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36。
（答案不唯一）
（4）15的因数有：1，3，5，15
对称位置相乘：1×15＝15、3×5＝15；
24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24
对称位置相乘：1×24＝24、2×12＝24、3×8＝24、4×6＝24
36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36
对称位置相乘：1×36＝36、2×18＝36、3×12＝36、4×9＝36
我发现：把一个合数的所有因数从小到大排列，前后对称位置上的数相乘的积都等于这个合数。
22．5组；3人
【分析】由题意可知：分组后每个小组的男生和女生人数分别相等，要求最多能分成几个小组，只要求出15和20的最大公因数即可解决问题。
【详解】15＝5×3
20＝5×2×2
所以15和20的最大公因数是5，每组男生3人。
答：最多可以分成5组，每组男生3人。
【点睛】灵活运用最大公因数的求解方法来解决实际问题。
23．质数：19；合数：16
【分析】能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。
质数：一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；合数：一个数，除了1和它本身两个因数，这样的数叫做合数；
奇数和偶数的运算性质：
①偶数±偶数＝偶数
②奇数±奇数＝偶数
③偶数±奇数＝奇数
据此找出15~20的质数和合数，再进行分析，即可解答。
【详解】15~20的质数有：17，19；合数：15，16，18，20。
17个位上的数字和十位上的数字调换是71，71是质数，不符合题意。
19个位上的数字和十位上的数字调换是91，91是合数，符合题意。
15个位上的数字和十位上的数字调换是51，51是合数；不符合题意。
16个位上的数字和十位上的数字调换是61，61是质数；符合题意。
18个位上的数字和十位上的数字调换是81，81是合数；不符合题意。
20个位上的数字和十位上的数字调换是02，不符合题意。
因为19＋16＝35；35是奇数；19－16＝3；3是奇数，所以原来的质数是19，合数是16。
答：原来的质数是19，合数是16。
24．不对
【详解】略
25．偶数
【分析】根据奇数＋奇数＝偶数、奇数－奇数＝偶数，据此解答。
【详解】奇数＋奇数＋奇数
＝偶数＋奇数
＝奇数
65是奇数，奇数－奇数＝偶数，所以第4个抢到的钱数一定是偶数。
答：第4个抢到的钱数一定是偶数。
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