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第八单元数学广角——找次品
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．有26枚金币，其中一枚是假的（假金币轻一些）。要找出假金币，第一次用天平称，方法（ ）最好。
A．天平左右两边各放10枚，旁边放6枚
B．天平左右两边各放8枚，旁边放10枚
C．天平左右两边各放9枚，旁边放8枚
2．15瓶钙片，其中一瓶中少了几片，用天平称，至少称（ ）次可以保证找出次品。
A．2 B．4 C．3
3．有15盒巧克力，其中14盒质量相同，另有一盒少了几块，如果用天平称，至少称（ ）次可以找出这盒巧克力。
A．3 B．8 C．7
4．有9瓶钙片，次品的一瓶少了4片．用天平至少称（　　）次可以保证找出次品．
A．1 B．2 C．3
5．32袋糖果中只有一袋质量不足，用天平称至少称（ ）次能找出这袋糖果。
A．5 B．4 C．3
6．一批零件有15个，其中有一个是次品（次品重一些），用天平称至（ ）次一定能找出来．
A．2 B．3 C．4
二、填空题
7．有8个大小、材质相同的小球，其中一个是次品（次品轻一些）。明明先给小球编上号，再借助天平称了两次找到这个次品（如下图所示）。由此可知。( )号小球是次品。
8．8瓶钙片中，有一瓶轻一些，用天平称至少要称( )次才能保证找出次品。
9．4个物品，其中有一个次品，次品比合格品轻，那么最少用天平称( )次保证能找出这个次品。
10．有5颗外观一样的玻璃球，其中4颗一样重，另外一颗轻一些，如果用天平称( )次能保证称出来，最少( )次有可能称出来．
11．某工厂生产的10个机器零件中有1个是次品，这个次品比正品轻，用天平至少称( )次就能保证把这个次品找出来。
12．有10个羽毛球（外观完全相同），其中9个质量相同，另有1个次品略轻一些，至少称( )次就一定能找出这个次品羽毛球。
13．19个零件中有一个较轻的次品，用天平称，至少( )次可找出这个次品。
14．有10袋白糖，其中9袋质量相同，另1袋比其他9袋都重了一些。如果用天平称，至少称( )次，就能保证找出稍重的这一袋。
15．有12个汽车零件，其中有一个是次品（次品重一些），至少用天平称( )次才能保证找到次品．
三、判断题
16．有9颗外表一样的珍珠，其中有一颗是人造珍珠，比真珍珠要轻，用天平称，至少称2次保证能找到这颗人造珍珠．( )
17．有54个零件，其中有一个零件不合格，比其他的零件要轻，至少需要4次才能找出这个次品。( )
18．28瓶饮料中有1瓶轻些，至少要称3次才能保证找出轻的那瓶。( )
19．从10个零件中找1个次品（略轻），用天平称，至少称2次一定能找出来。( )
四、解答题
20．有12袋盐，其中有11袋质量相同，另一袋质量轻一些。至少称几次保证找出这袋盐？
21．金店有24枚钻戒，其中一枚质量不够，用天平称至少称几次能保证找出这枚钻戒，首先怎样分？
22．现有10个零件，其中有一个是次品（次品重一些），用天平称，最少称几次就一定能找出次品来？
23．质监部门对某企业的产品进行质量抽检。在抽查的19盒产品中有1盒不合格（质量稍轻一些）。
（1）至少称几次能保证将这盒产品找出来？
（2）如果在天平的左右两端各放9盒的话，称一次有可能称出来吗？为什么？
24．有11个零件，其中有一个是次品，比正品重，用天平至少称几次就一定能找出这个次品？请写出你称的过程。
《第八单元数学广角——找次品》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 C C A B B B
1．C
【分析】根据找次品的方法，要尽量将物品平均分成3份来称，这样能较快找出次品。所以需要判断将26枚金币按各选项的分法，是否符合尽量平均分成3份的原则。
【详解】A．若天平左右两边各放10枚，旁边放6枚，此时分成的三份数量分别为10、10、6。10与6相差10－6＝4，没有做到尽量平均分成3份。
B．若天平左右两边各放8枚，旁边放10枚分成的三份数量是8、8、10。10与8相差10－8＝2，也没有做到尽量平均分成3份。
C．若天平左右两边各放9枚，旁边放8枚，分成的三份数量为9、9、8。9与8相差9－8＝1，符合尽量平均分成3份，能使多的一份与少的一份相差1，这种分法最好。
所以第一次用天平称，天平左右两边各放9枚，旁边放8枚最好。
故答案为：C
2．C
【分析】把15瓶钙片平均分成3份，即（5，5，5）；第一次称，天平两边各放5瓶，如果天平不平衡，次品就在较轻的5瓶中；如果天平平衡，次品在剩下的5瓶中；把有次品的5瓶钙片分成3份，即（2，2，1），第二次称，天平两边各放2瓶，如果天平不平衡，次品就在较轻的2瓶中；如果天平平衡，次品就是剩下的那一瓶；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，最后把有次品的2瓶钙片分成2份，即（1，1），第三次称，天平两边各放1瓶，次品就是较轻的那一瓶。所以至少称3次可以保证找出次品。
【详解】
用天平称，至少称3次可以保证找出次品。
故答案为：C
3．A
【分析】根据找次品的方法，第一是把这盒巧克力分成3组，第二是每一组尽量分得平均些，据此解答。
【详解】把15分成（5，5，5），其中任意两组放在天平上称，可找出有次品的一组，再把5分成（2，2，1），然后再把两个一组的放在天平上称。
如平衡，则1个1组的是次品，需要2次；
如不平衡，可再把2分成（1，1），再放在天平上称，可找出次品，则需要3次；
所以至少3次保证能找出这盒巧克力。
故答案为：A
【点睛】本题的解题关键是掌握找次品的方法，考查了学生根据天平的原理解答问题的能力。
4．B
【详解】试题分析：先把9瓶钙片平均分成3份，每份3瓶，先拿其中两份进行称重：
哪边轻次品就在哪边，将轻的那边的3瓶任拿两瓶称重，哪个轻哪个就是次品，两瓶如果一样，剩下的那瓶是次品；
如果重量相同，则次品在剩下的3瓶里，再将剩下的3瓶任拿两瓶称重，哪个轻哪个就是次品；两瓶如果一样，剩下的那瓶就是次品．
解答：解：先把9瓶钙片平均分成3份，每份3瓶，先拿其中两份进行称重，哪边轻次品就在哪边，将轻的那边的3瓶任拿两瓶称重，哪个轻哪个就是次品，两瓶如果一样，剩下的那瓶是次品；
如果重量相同，则次品在剩下的3瓶里，再将剩下的3瓶任拿两瓶称重，哪个轻哪个就是次品，两瓶如果一样，剩下的那瓶就是次品．
所以至少要称2次．
故选B．
点评：解决本题从次数最少出发，先平均分成3份，先拿其中两份进行称重，确定次品在哪一份里，再将有次品的那份平均分称重，直到找到次品为止．
5．B
【分析】用天平找质量不足的那袋糖果时，把所称糖果分成尽可能平均的三组，依次分天平平衡和不平衡两种情况分析质量不足的那袋糖果在哪一组里面，据此解答。
【详解】第一次：把32分成三份（11，11，10），如果前两组天平平衡质量不足的糖果在剩下一组10里面；如果天平不平衡，质量不足的糖果在天平上翘一组11里面；
第二次：如果质量不足的糖果在10里面，把10分成（3，3，4），如果前两组天平平衡质量不足的糖果在剩下一组4里面；如果天平不平衡，质量不足的糖果在天平上翘一组3里面；
如果质量不足的糖果在11里面，把11分成（4，4，3），如果前两组天平平衡质量不足的糖果在剩下一组3里面；如果天平不平衡，质量不足的糖果在天平上翘一组4里面；
第三次：如果质量不足的糖果在4里面，把4分成（1，1，2），如果前两组天平平衡质量不足的糖果在剩下一组2里面；如果天平不平衡，质量不足的糖果在天平上翘的一端；
如果质量不足的糖果在3里面，把3分成（1，1，1），如果前两组天平平衡剩下一袋为质量不足的糖果；如果天平不平衡，质量不足的糖果在天平上翘的一端；
第四次：如果质量不足的糖果在剩下的2里面，把2分成（1，1），质量不足的糖果在天平上翘的一端。
由上可知，用天平称至少称4次能找出这袋糖果。
故答案为：B
【点睛】掌握找次品问题的解题方法是解答题目的关键。
6．B
【详解】解：①把15平均分成3份（5，5，5），如果平衡的话就从剩下的5个中找；
②把5分成3份（2，2，1）如果平衡的话，次品就是剩下的那个；
③如果不平衡，就把2分成（1，1），天平沉下去的那端就是次品了．
所以至少3次就找出了次品．
故选B．
先把15平均分成3份（5，5，5）如果平衡的话，就从剩下的5个中找；把5分成3份（2，2，1），如果平衡的话，次品就是剩下的那个；如果不平衡，就把2分成（1，1），天平沉下去的那端就是次品了．据此解答．
7．③
【分析】把8个小球平均分成3组（即3、3、2），第一次取其中的2组（3，3）放到天平的两端，如果天平不平衡，则次品在天平上浮的一端中，在天平上浮一端中的3个小球中任取2个小球放到天平的两端，天平平衡，没有称重的即是次品，天平如果不平衡，天平上浮一端的即为次品，据此解答。
【详解】第一次称重时，天平不平衡，则次品在天平上浮一端的1组之中，是在①②③三个球中；
在天平上浮一端的1组中的3个小球中任取2个小球放到天平的两端，天平平衡，没有称重的是次品，即③号小球是次品。
8．2
【分析】把这8瓶钙片分成三份（3，3，2），在天平两边各放3瓶，若平衡，则次品在剩下的2瓶中，再称1次即可；若不平衡，次品在上升的3瓶中，把这3瓶分成三份（1，1，l），天平两边各放l瓶，若平衡，剩下的那瓶就是次品，若不平衡，上升的那瓶就是次品；据此解答。
【详解】由分析可知：8瓶钙片中，有一瓶轻一些，用天平称至少要称2次才能保证找出次品。
9．2
【分析】利用天平称重的方式，通过合理分组，逐步缩小范围，找出较轻的那个物品，关键在于每次分组后利用天平平衡与否确定次品所在组，从而确定最少的称重次数。
【详解】把这4个物品分成两份，每份2个，将这两份分别放在天平秤两端。因为次品比合格品轻，这样通过天平比较，轻的那一份中就包含次品。所以天平较高一端的那2个物品中必有次品。
把第一次称后确定有次品的那2个物品分别放在天平秤两端。较轻的一端放的就是次品。
所以最少用天平称2次保证能找出这个次品。
10． 2 1
【详解】略
11．3
【分析】把10个零件分成3份，即（3，3，4）；第一次称，天平两边各放3个，如果天平不平衡，次品就在较轻的3个中；如果天平平衡，次品在剩下的4个中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，把有次品的4个零件分成（1，1，2），第二次称，天平两边各放1个，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一个；如果天平平衡，次品在剩下的2个中；最后把有次品的2个零件分成（1，1），第三次称，天平两边各放1个，次品就是较轻的那一个。所以至少称3次保证就一定能找出次品。
【详解】
用天平至少称3次就能保证把这个次品找出来。
【点睛】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。
12．3
【分析】找次品时把物品数量分成尽可能平均的三组，先称其中的两组，分天平平衡和不平衡两种情况，依次称重找出次品所在的组，称到只剩下2个物品时即可找出次品，根据称重过程准确数出称重次数，据此解答。
【详解】把10个羽毛球分成（3，3，4）三组，第一次先称（3，3）这两组。
①如果天平平衡，则次品在剩余的一组中；再把剩余的4个羽毛球分成（1，1，2）三组，第二次称（1，1）两组，如果天平不平衡，则次品在天平翘起的一端；如果天平平衡，则次品在剩余的2个羽毛球中，最后把2个羽毛球分成（1，1）两组，第三次称（1，1）两组，天平翘起的一端为次品。
②如果天平不平衡，则次品在天平翘起的一端中；再把翘起的这一端的3个羽毛球分成（1，1，1）三组，第二次随意选择（1，1）两组称，如果天平平衡，则次品在没有称的一组；如果天平不平衡，则次品在天平翘起的一端。
因此有10个羽毛球（外观完全相同），其中9个质量相同，另有1个次品略轻一些，至少称3次就一定能找出这个次品羽毛球。
13．3
【分析】将19个零件分成7、6、6三组，然后利用天平平衡原理解答即可。
【详解】第一次：把19个零件分成3份：6个、6个、7个，取6个的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品在未取的一份，若天平不平衡，取较轻的一份继续；
第二次：取含有较轻的零件（6个或7个）分成3份：2个、2个、2个（或3个），取2个的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续；
第三次；从含有较轻的一份（2个或3个）中取2个分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品为未取的一个，若天平不平衡，较轻的为次品。
所以用天平称，至少3次可找出这个次品。
【点睛】解答此题的关键是将零件进行合理的分组，逐次称量，进而找出次品。
14．3
【分析】找次品的最优策略：
（1）把待分物品分成3份；
（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【详解】将10袋白糖分成3、3、4，（1）3、3平衡，次品在4袋中，再分成2、2，再称两次，共3次；（2）3、3不平衡，在重的里面，分成1、1、1，再称一次，共2次。至少称3次，就能保证找出稍重的这一袋。
【点睛】在生活中，常常出现这样的情况：在一些看似完全相同的物品中混着轻一点或者重一点的物品，需要我们想办法把它找出来，我们把这类问题叫做找次品。
15．三
【详解】第一次：从12个零件中任取6个，平均分成2份，每份3个，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，那么次品即在未取的6个零件中；若天平不平衡，则次品在这6个中；
第二次：把含有次品的6个零件，平均分成2份，每份3个，分别放在天平秤两端，次品在重的一侧；
第三次：从较重的3个零件中，任取2个，平均分成2份，每份1个，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取的零件即为次品，若不平衡，较重一端即为次品。
答：用天平称至少三次一定能找出来，
故答案为：三。
16．√
【分析】“找次品”是运筹问题，学习空间方面的优化，其策略是“一分为三，尽量均分”。
【详解】举例：5（2,2,1）称1次，若不平衡，则重的有次品，再称一次，称2次就够。
8（3,3,2）称1次，若不平衡，则重的有次品，再称1次；若平衡，则另2个中有次品，要再称1次。称2次就够。
9（3,3,3）至少称2次。
故答案为√。
【点睛】从最基本的“从2个或3个物品中找次品”问题归纳出“三分法”这是优化策略的一个方面；在反复运用这一策略解决问题的过程中归纳出：尽量均分，这是优化策略的另一个方面。
17．√
【分析】根据找次品的方法，逐渐缩小次品的所在范围，直到找出次品。统计找出次品至少需要几次，从而判断题干正误。
【详解】第一次：将54个零件平均分成3份，每份18个零件，任选2份放在天平的两端，如果平衡那么次品在未上秤的一份，如果不平衡，那么哪边轻哪边就含有次品；
第二次：将18个零件平均分成2份，每份9个零件，将这2份零件放在天平的两端，哪边轻哪边就含有次品；
第三次：将含有次品的9个零件平均分成3份，每份3个，任选两份放在天平两端，如果平衡那么次品在未上秤的一份，如果不平衡，那么哪边轻哪边就含有次品；
第四次：将含有次品的3个零件，任选2个放在天平两端，如果平衡那么次品在未上秤的一个，如果不平衡，那么哪边轻哪边就是次品；
所以，要找出次品，至少需要4次。
故答案为：√
【点睛】本题考查了找次品，掌握找次品的方法是解题的关键。
18．×
【分析】根据二分查找的思想，可以将28瓶饮料平均分成两组，比较两组的重量，将重量较轻的一组留下，重量较重的一组淘汰。这样，较轻的饮料只可能存在于重量较轻的一组中。然后，将重量较轻的一组继续分成两组，重复上述步骤，直到最后只剩下一瓶饮料为止。这瓶饮料就是轻的那瓶。
【详解】为了找出28瓶饮料中较轻的一瓶， 我们可以使用天平进行称重。 首先， 将28瓶饮料平均分成两份， 每份14瓶。
第一次称重： 将两份分别放在天平的两端， 较轻的那份饮料中包含较轻的那瓶饮料。
第二次称重： 将第一次称重中较轻的那份14瓶饮料再次平均分成两份， 每份7瓶， 分别放在天平两端， 较轻的那份饮料中包含较轻的那瓶饮料。
第三次称重： 将第二次称重中较轻的那份7瓶饮料取出6瓶， 平均分成两份， 每份3瓶， 分别放在天平两端。 如果天平平衡， 则未称的那瓶是较轻的； 如果不平衡， 较轻的那端所对应的3瓶中包含较轻的那瓶饮料。
第四次称重： 将第三次称重中确定的3瓶饮料取出2瓶， 分别放在天平两端。 如果天平平衡， 则未称的那瓶是较轻的； 如果不平衡， 较轻的那端所对应的2瓶中包含较轻的那瓶饮料。 通过这样的步骤， 我们至少需要4次称重才能保证找出那瓶较轻的饮料。
故答案为：×
19．×
【分析】找次品时可以依据：2～3个物品，称1次；4～9个物品，称2次；10～27个物品，称3次；28～81个物品，称4次……据此解答。
【详解】从10个零件中找1个次品（略轻），用天平称，至少称3次一定能找出来，原题说法错误。
故答案为：×
20．3次
【分析】先把12袋盐平均分成3组，每组4袋。第一次，取其中2组分别放在天平两边，若天平平衡，则较轻的一袋在未取的一组中，若天平不平衡，取较轻的继续；第二次，取含有较轻的1组分成3份：1袋、1袋、2袋，取1袋的2份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的一袋在未取的一份，若天平不平衡，可找到较轻的一袋；第三次，取含有较轻的1份（2袋）分别放在天平两侧，即可找到较轻的一袋。据此解答。
【详解】先把12袋盐平均分成3组，每组4袋。
第一次，取其中2组分别放在天平两边，若天平平衡，则较轻的一袋在未取的一组中，若天平不平衡，取较轻的继续；
第二次，取含有较轻的1组分成3份：1袋、1袋、2袋，取1袋的2份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的一袋在未取的一份，若天平不平衡，可找到较轻的一袋；
第三次，取含有较轻的1份（2袋）分别放在天平两侧，即可找到较轻的一袋。
答：至少称3次保证找出这袋盐。
21．3次；首先把24枚平均分成3份
【分析】找次品时尽量把总数平均分成3份，如果不能平均分，也要使多或少的那份比其它的少1或多1；这样称1次就能把次品所在的范围缩小到最少。找出次品称的次数也会最少。
【详解】把24枚平均分成3份，每份8枚；
第一次：天平两端各放8枚，如果平衡剩下的8枚中有次品，如果不平衡，上升那端的8枚中有次品；
第二次：把8枚分成3、3、2，在天平两端各放3枚，如果平衡剩下的2枚中有次品，如果不平衡，上升那端的3枚中有次品；
第三次：次品在2枚中或者在3枚中都能一次找出次品。
答：用天平称至少称3次保证找出这枚钻戒，首先把24枚平均分成3份。
【点睛】本题是一道关于找次品方面的题目，依据天平的平衡原理是解答本题的关键。
22．3次
【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两遍称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。
【详解】经分析得：
将10个分成3份：3，3，4；第一次称重，在天平两边各放3个，手里留4个；
（1）如果天平平衡，则次品在手里，将手里的4个分为1，1，2，在天平两边各放1个，手里留2个，
a.如果天平平衡，则次品在手里2个中，接下来，将这2个分别放在天平的两边再称一次就可以鉴别出次品；
b.如果天平不平衡，则次品在下降的天平托盘的1个中。
（2）如果天平不平衡，则次品在下降的天平托盘的3个中，将这3个分成三份：1，1，1，在天平两边各放1个，手里留1个，
a.如果天平不平衡，则找到次品在下降的天平托盘的1个中，
b.如果天平平衡，则次品在手中的1个中。
答：最少称3次就一定能找出次品来。
【点睛】本题考查找次品的问题，分3份操作找到最优方法。
23．（1）3次
（2）有可能，因为如果在天平的左右两侧各放9盒，天平正好平衡，那么最后剩下的一盒就是次品。
【分析】找次品的最优策略：
（1）把待分物品分成3份；
（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【详解】（1）至少称3次能保证将这盒产品找出来。
（2）有可能，因为如果在天平的左右两侧各放9盒，天平正好平衡，那么最后剩下的一盒就是次品。
【点睛】在生活中，常常出现这样的情况：在一些看似完全相同的物品中混着轻一点或者重一点的物品，需要我们想办法把它找出来，我们把这类问题叫做找次品。
24．3次，过程见详解
【分析】根据题意，一个次品比正品略重一些，由于零件个数大于3，考虑将其分为3份（4，4，3），接下来将前两份称重，在每种情况下判断天平是否平衡；再平衡条件下再将零件平均分成2份进行称重，即可解答。
【详解】要由分析可得：
第一次：在天平左右两端各放4个，如果天平平衡，说明次品在剩下的三个中；如果不平衡，天平较低的一端的零件中有次品；
第二次：如果次品在三个中，天平左右两端各放一共，如果平衡，剩下的一个就是次品，如果不平衡，较低的那端的零件就是次品；如果次品在四个中，天平左右两端各放两个，次品在较低的两个零件中；
第三次：把次品所在的两个零件分别放在天平左右两端，较低的一端的那个零件就是次品。
所以至少称3次就一定能找出这个次品。
【点睛】本题属于找次品问题，需要明确：质量重的零件是次品。
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