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辽宁大连市第四十八中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷
一、单选题
1．记等差数列的前n项和为,,,则（ ）
A．120 B．130 C．140 D．150
2．已知随机变量，，则（ ）
A．0.2 B．0.7 C．0.6 D．0.8
3．为了研究关于的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）.若已求得一元线性回归方程，则下列选项中不正确的是（ ）
1 2 3 4 5
0.5 0.9 1 1.1 1.5
A．由题中数据可知，变量与正相关
B．
C．当时，的预估值为2.1
D．去掉样本点后，与的样本相关系数必会改变
4．已知函数的图象在点处的切线方程是，则的值等于（ ）
A．2 B．1 C． D．0
5．先后两次掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标记为），记事件“第一次掷出的点数小于4”，事件“两次点数之和大于4”，则（ ）
A． B． C． D．
6．两等差数列，的前n项和分别为，，且，则　　
A． B． C． D．2
7．甲、乙两名大学生同时于2025年5月初向银行贷款5000元，甲与银行约定按“等额本金还款法”进行还款，乙与银行约定按“等额本息还款法”进行还款；两人都分12次还清所有的欠款，从2025年6月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率均为0.4%，则2025年10月初甲比乙将多还多少元（精确到个位，参考数据：，，）（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．设奇函数的导函数为，，当时，，则使得成立的的取值范围是( )
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知随机变量X满足，则（ ）
A． B．
C． D．记，则
10．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．为函数的单调递增区间
B．为函数的单调递增区间
C．函数在处取得极小值
D．函数在处取得极小值
11．记等比数列的前项和为，前项积为，且满足，，，则（ ）
A． B．
C．是数列中的最大项 D．
三、填空题
12．已知随机变量X服从正态分布，且，则____________．
13．是正项等比数列，记为数列的前项和，且满足，则数列的公比为___________．
14．已知数列的通项公式为，若是递增数列，则实数的取值范围是__________.
四、解答题
15．已知数列的首项，且满足．
(1)求证：是等比数列；
(2)求数列的通项公式及前10项的和．
16．已知函数．
(1)求函数在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间和极值．
17．已知函数.
(1)若数列，求数列的前n项和；
(2)已知函数在处的切线为直线，直线在y轴上的截距为，求数列的前n项和.
18．为研究事件与事件的关系，某机构进行了一次随机抽样调查，共回收有效问卷份，调查结果按是否满足事件和事件分类统计，得到如下列联表（表中数字对应相应情况的人数），用频率估计概率．
是否满足事件 是否满足事件 满足事件 不满足事件 合计
满足事件
不满足事件
合计
(1)如果事件与事件无关，证明：；
(2)已知：
（i）填写表格剩余内容；
（ii）已知依据小概率值的独立性检验，可以判断事件与事件有关，求有效问卷数的最小值．
附：，．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C D A B C A A ABD AC
题号 11
答案 AC
1．D
根据等差数列下标和的性质与等差数列前项求和公式计算即可.
【详解】
故选：D.
2．C
【详解】由正态分布性质，均值，根据正态分布对称性，
∴，∴.
3．D
对于A：根据回归方程结合正相关的概念分析判断即可；对于B：根据线性回归方程过样本中心点运算求解；对于C：代入运算即可；对于D：根据相关系数的公式分析判断即可.
【详解】由题意可知：，，
则样本中心点为.
对于选项A：因回归方程斜率为正值，则变量与正相关，故A正确；
对于选项B：因为线性回归方程过样本中心点，
则，解得，故B正确；
对于选项C：由选项B可知：，
当时，的预估值为，故C正确；
对于选项D：由相关系数公式知，去掉样本中心点后，与的样本相关系数不会改变，故D错误.
故选：D.
4．A
根据导数的几何意义，求得的值，根据点在切线上，求得的值，进而求得的值．
【详解】点在切线上，所以，
根据导数的几何意义，所以，所以.
5．B
利用条件概率公式即可求得的值.
【详解】由题意可知，
事件与事件同时发生，
有共12种可能，
，所以.
故选：B.
6．C
由等差数列的前项和可设，即，进而求得，得到答案.
【详解】由等差数列的前项和，依题意有，
所以,
所以，故选C.
7．A
【详解】学生甲从5月初到9月初已经还了4个月，
在第5个月的还款额为元，
设学生乙每个月的还款额均为元，第个月还款后还剩余元未还，
显然，，，
……，，
显然，故，
所以，故，
依次类推，可得，
即，
所以，
由等比数列求和公式可得
，
故元，
学生乙每个月的还款额均为元，
所以甲比乙将多还元．
故选：A
8．A
【详解】构造函数，则.
当时，由，得，故在上单调递减.
由为奇函数，得，故，且为偶函数.
当时，等价于，
结合在单调递减且，得.
当时，等价于，
在上单调递增且，得.
综上，的解集为.
9．ABD
【详解】由随机变量X满足，
根据分布列的性质，可得，解得，所以A正确；
由，所以B正确；
由期望公式，可得，所以C错误；
由，则，，
，所以，所以D正确．
故选：ABD．
10．AC
根据时以及时，导函数图象即可判断A，B；利用导数的正负与函数极值之间的关系，即可判断C，D
【详解】对于A，B，当 时，，，，所以函数在单调递减，在单调递增，故A正确，B错误；
对于C，当时，，当时，，故是函数的极小值点，故C正确；
对于D，当时，，当时，，故是函数的极大值点，故D错误.
11．AC
先根据已知条件确定公比的范围，再利用等比数列性质逐一验证选项，通过指数运算、前项和及前项积的单调性判断正误．
【详解】设数列的公比为．
∵，，
∴，
又，∴．
∵，
∴，故A正确；
∵，∴，即，故B错误；
∵，，
∴数列是递减数列，
∵，，
∴是数列中的最大项，故C正确；
，
∵，
∴，即，故D错误．
12．/．
根据正态分布曲线的性质即可解出．
【详解】因为，所以，因此．
故答案为：．
13．1
分和且两种情况讨论可求解.
【详解】若，成立；
因是正项等比数列，则，且，
由可得，
化简得，分解因式得，
故或，因为且，故此情况下无解．
综上所述：满足题意．
故答案为：1.
14．
根据递增数列的定义，需满足对任意的恒成立，故需要同时满足①当时，②，③时，联立三者求出的取值范围.
【详解】当时，，
而，
若是递增数列，则恒成立，
得到的最小值是，解得；
当时，，
若是递增数列，则恒成立，
即，解得，且，解得，
综上，，即.
故答案为：.
15．(1)证明见解析
(2)，2036
（1）利用递推证明等比数列即可；
（2）利用等比数列通项公式和求和公式即可求解.
【详解】（1）因为，所以，
又，所以，，
所以，即是首项为2，公比为2的等比数列．
（2）由（1）得，即，
设数列的前项和为，
所以．
16．(1)
(2)的单增区间为，，单减区间为；极大值为，极小值为.
（1）求导函数，从而可得，计算，利用导数的几何意义求切线方程即可；
（2）求导函数的零点，确定函数的单调性与极值即可.
【详解】（1），，
所以，又，
所以函数在处的切线方程为，即；
（2）函数的定义域为，，
令得，
则的变化入下表：
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
故函数的单增区间为，，单减区间为；
函数的极大值为，极小值为.
17．(1)
(2)
（1）将数列拆分为等比数列和等差数列，分别求和后相加得到前项和.
（2）先求函数在处的切线方程，令得到截距，再用错位相减法求的和，最后结合的和得到.
【详解】（1）因为，所以
.
（2），
直线的方程为，
令，
得，
所以，
令数列的前项和为，则
，
，
两式相减得，故，
又数列的前项和为，
所以数列的前项和.
18．(1)证明见解析
(2)（i）表格见解析（ii）40
【详解】（1）设列联表中四个格子的人数分别为
：满足事件且满足事件的人数；
：满足事件但不满足事件的人数；
：不满足事件但满足事件的人数；
：不满足事件且不满足事件的人数；
则总人数．若事件与事件无关，则有
，
整理得．又，代入得
.
代入计算公式
.
（2）（i）．由已知，用频率估计得满足事件且的人数等于不满足事件但满足的人数，
设均为．又满足事件的合计为，故，解得，
即.
不满足事件且不满足事件的人数为，即．由总人数得
.
于是填写完整的表格如下：
满足事件 不满足事件 合计
满足事件
不满足事件
合计
（ii）．由（i）中数据计算：
则，
，所以.
依题意，在时，临界值，要判断事件与事件有关，需，
即.
由于为正整数，且表格中所有人数均为整数，是10的倍数．故有效问卷数的最小值为40．

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