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2025-2026学年上海市高一数学下学期末复习模拟试卷（1）
一、填空题
1．设.已知向量与向量满足，则_____.
2．若则_________．
3．已知，则________．
4．在三棱锥中，直线平面，，．设直线与平面所成的角为，则的最小值为______；
因为 平面 ，所以 是斜线 在平面 内的射影；
因为直线 与平面 所成的角 ，且，
5．在大数据时代，由于整合不同来源的数据需要以及在数据量庞大的情况下为减少计算量，实际上在计算机中计算方差是使用递推方法进行计算的.先计算前面k个数据的平均数和方差， 再计算前面k+1个数据的平均数和方，计算可利用递推式：，则______.
6．如图，△A'O'B'表示水平放置的△AOB的直观图，B'在x'轴上，A'O'和x'轴垂直，且A'O'=2，则△AOB的边OB上的高为____
7．已知菱形的边长为2，，点分别在边上，，，则_________.
8．当时，曲线的图象与曲线的图象有唯一交点，则正实数的取值范围是_____.
9．在中，A，B，C分别是三边a，b，c所对的角，，，，___________.
10．已知函数，当时，关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围为______.
11．射击队某选手命中环数的概率如下表所示：
命中环数 10 9 8 7
概率 0.32 0.28 0.18 0.12 0.1
该选手射击两次，两次命中环数相互独立，则他至少命中一次9环或10环的概率为_________________. (结果用小数表示)
12．在四棱锥中，底面为梯形，，，M为的中点，设四棱锥的体积为V，则三棱锥的体积为______.
二、单选题
13．当时，曲线与有3个交点，则正实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
14．为了解某校学生的某次数学测试情况，随机抽取部分学生成绩（最低分为50分，满分100分），得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是（ ）
A．对应矩形的高度为0.016 B．样本众数估计值为75
C．样本平均数估计值为77.4 D．样本成绩的第70百分位数落在内
15．如图，在三棱锥中，，，平面，为的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．
16．已知向量，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则向量的夹角为锐角
三、解答题
17．已知复数z1＝2＋ai(其中a∈R且a>0，i为虚数单位)，且为纯虚数．
(1)求实数a的值；
(2)若，求复数z的模.
18．已知函数.
（1）当时，求的最小正周期及单调递增区间；
（2）求在上的最大值及最小值，并指出相应的值.
19．某校举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如下频率分布直方图：
(1)用分层随机抽样的方法从[80,90)，[90,100]两个区间共抽取出5名学生，则每个区间分别应抽取多少人；
(2)在（1）的条件下，该校决定在这5名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间[90,100]的概率；
(3)现需根据学生成绩制定评价标准，评定成绩较高的前60%的学生为良好，请根据频率分布直方图估计良好的最低分数线.（精确到1）
20．如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，为正三角形，为的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）若二面角的平面角为锐角，且棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值.
21．已知向量与的夹角为，且，，求：
(1)；
(2)在方向上的投影向量的模．
2025-2026学年上海市高一数学下学期末复习模拟试卷（1）（解析版）
一、填空题
1．设.已知向量与向量满足，则_____.
【答案】
【分析】根据向量共线的坐标表示列出方程，即可求得答案.
【详解】由题意可知，解得.
故答案为：.
2．若则_________．
【答案】5
【分析】利用复数的模长公式可求得结果.
【详解】由已知可得.
故答案为：5.
3．已知，则________．
【答案】
【分析】直接利用诱导公式以及二倍角公式求解即可．
【详解】 ．
故答案为：．
4．在三棱锥中，直线平面，，．设直线与平面所成的角为，则的最小值为______；
【答案】/
【分析】先根据线面角的定义找出直线 与平面 所成的角 ，再结合线面垂直的性质将 转化为线段比的形式，接着在 中利用正弦定理建立线段间的关系，最后结合三角函数的有界性求出 的最小值.
【详解】
因为 平面 ，所以 是斜线 在平面 内的射影；
因为直线 与平面 所成的角 ，且，
在 中，，
设 ，则 ，其中 ，
在 中，由正弦定理，，即，
所以，
所以，
因为，则当 时，取得最大值1，此时 取得最小值.
5．在大数据时代，由于整合不同来源的数据需要以及在数据量庞大的情况下为减少计算量，实际上在计算机中计算方差是使用递推方法进行计算的.先计算前面k个数据的平均数和方差， 再计算前面k+1个数据的平均数和方，计算可利用递推式：，则______.
【答案】
【分析】由方差公式得，由前个数据的平均数为：，得，进行代入替换求解．
【详解】前个数据的方差为：，
前个数据的平均数为：，
得，
则，
因为，
所以
结合题意得，，
故．
故答案为：
【点睛】关键点点睛：由前个数据的平均数为：，得，进行数据转换是关键．
6．如图，△A'O'B'表示水平放置的△AOB的直观图，B'在x'轴上，A'O'和x'轴垂直，且A'O'=2，则△AOB的边OB上的高为____
【答案】
【分析】利用直观图与原图的面积之比为定值求解即可.
【详解】不妨设直观图和原图面积分别为，，△AOB的边OB上的高为，
由直观图与原图形中边长度相同，且，A'O'和x'轴垂直，A'O'=2，
故，
从而.
故答案为：.
7．已知菱形的边长为2，，点分别在边上，，，则_________.
【答案】
【分析】连接交于，以为原点，以为轴，轴的正半轴建立直角坐标系，求得的坐标，从而可得结果.
【详解】
连接交于，以为原点，
以为轴，轴的正半轴建立直角坐标系，
菱形边长为2，，
，
为的中点，，
，
，
.
故答案为.
【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算以及平面向量数量积的坐标表示，属于中档题. 平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．
8．当时，曲线的图象与曲线的图象有唯一交点，则正实数的取值范围是_____.
【答案】
【分析】根据题意，转化为在区间上有唯一解，求得和，结合方程有唯一的解，分类讨论，确定方程解的情况，即可得到答案.
【详解】要使得时，曲线的图象与曲线的图象有唯一交点，
等价于方程在区间上仅有唯一解，
可得或，
所以或，
（1）当时，，，
此时无解；
，则需，即，
此时，故无解；
即当时，方程在区间上无解，不符合题意；
（2）当时，对于，则，
若，则，要使得，即，即，
当时，，此时，
当时，；当时，；
此时，当时的解，则交点的个数就会大于1，不符合题意；
若，分别变为，此时无解；
若，左边，右边，等式不成立，无解；
对于，右边，
方程，因为，，则，
要使得，可得，解得，
此时当时的解为，
加上的解，则交点个数大于1，不符合题意；
所以只需考虑，此时方程的解为，，
①当且时，则满足且，
因为，解得且，此时实数不存在；
②当无解或且时，
则满足或或且，
因为，解得且，所以，
验证端点，当时，方程存在唯一的解符合题意；
③当时，即 ，
可得，解得，
即，此时方程存在唯一的解，符合题意，
综上可得，正实数的取值范围为.
9．在中，A，B，C分别是三边a，b，c所对的角，，，，___________.
【答案】/
【分析】利用正弦定理可求.
【详解】由正弦定理可得，故，故，
故答案为：.
10．已知函数，当时，关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围为______.
【答案】
【分析】根据二倍角的正、余弦公式和辅助角公式可得，讨论余弦函数的单调性求得当且时函数图象与直线有2个交点，即可求解.
【详解】，
由，得，
设，则当时，函数单调递增，
当时，函数单调递减，所以，
得，要使方程在上有2个实根，
则函数图象与直线在上有2个交点，
当且，即时，函数图象与直线有2个交点，
所以，解得，
即实数a的取值范围为.
故答案为：
11．射击队某选手命中环数的概率如下表所示：
命中环数 10 9 8 7
概率 0.32 0.28 0.18 0.12 0.1
该选手射击两次，两次命中环数相互独立，则他至少命中一次9环或10环的概率为_________________. (结果用小数表示)
【答案】0.84
【分析】先求出该选手射击两次，两次命中的环数都低于9环的概率，由对立事件的概率可得答案.
【详解】该选手射击一次，命中的环数低于9环 的概率为
该选手射击两次，两次命中的环数都低于9环的概率为
所以他至少命中一次9环或10环的概率为
故答案为：0.84
12．在四棱锥中，底面为梯形，，，M为的中点，设四棱锥的体积为V，则三棱锥的体积为______.
【答案】/
【分析】由题设可得，应用等体积法及已知条件可得，联立即可求的体积.
【详解】设B到面的距离为，D到面的距离为.
如图，连接，.
因为M是的中点，则.
所以①，则，，
所以.
因为B、D到面的距离，即为到面的距离，而且，
所以，则②，
由①②得：，则.
故答案为：
二、单选题
13．当时，曲线与有3个交点，则正实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】应用方程法有或，再通过赋值求解，即可得范围.
【详解】令，则或，
所以或，
即或，
即或，
又，对于，令，可得：，，
对于，分别令，可得：，，，
从小到大排序前个数为，，，，
由于两曲线有3个交点，所以，，解得.
故选：B
14．为了解某校学生的某次数学测试情况，随机抽取部分学生成绩（最低分为50分，满分100分），得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是（ ）
A．对应矩形的高度为0.016 B．样本众数估计值为75
C．样本平均数估计值为77.4 D．样本成绩的第70百分位数落在内
【答案】D
【分析】A选项利用矩形的面积之和为1列方程求解，B选项根据众数的定义以及直方图中最高的矩形条来判断，C选项根据平均值的公式计算，D选项判断样本数据在的频率和的频率，可得到70百分位数的范围.
【详解】设对应矩形的高度为，则，解得，A选项正确；
由图可知，的数据最多，众数的估计值为，B选项正确；
平均值为：，C选项正确；
样本数据的频率为，
样本数据的频率为，
故样本成绩的第70百分位数落在内，所以D选项错误.
15．如图，在三棱锥中，，，平面，为的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】取的中点为，连接，易证平面，即为直线与平面所成角.
【详解】取的中点为，连接，可得，
∵平面，平面，∴，
∴又，，平面，

∴平面，又，∴平面，
∴为直线与平面所成角，设，，
∴，
则，
∴直线CO与平面PAC所成角的余弦值为.
故选：B.
16．已知向量，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则向量的夹角为锐角
【答案】B
【分析】根据题意结合向量的坐标运算逐项分析判断.
【详解】对于选项A：因为，则，
所以，解得或，故A错误；
对于选项B：因为//，所以，解得，故B正确；
对于选项C：因为，所以，解得，故C错误；
对于选项D：当时，，
由选项B可知：不共线，所以向量的夹角为钝角，故D错误.
故选：B.
三、解答题
17．已知复数z1＝2＋ai(其中a∈R且a>0，i为虚数单位)，且为纯虚数．
(1)求实数a的值；
(2)若，求复数z的模.
【答案】（1）a＝2．（2）|z|＝2．
【分析】（1）根据复数的运算，求得 ，由为实数，列出方程组，即可求解；
（2）化简复数得，利用复数的模的计算公式，即可求解.
【详解】(1)z ＝ (2 ＋ ai)2 ＝ 4－a2 ＋ 4ai，
因为z为纯虚数，
所以
解得a＝2.
(2)z1＝2＋2i，z＝＝＝＝2i，
∴|z|＝2.
【点睛】本题主要考查了复数的基本概念和复数的分类，其中解答中熟记复数的基本运算公式和复数的基本概念是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
18．已知函数.
（1）当时，求的最小正周期及单调递增区间；
（2）求在上的最大值及最小值，并指出相应的值.
【答案】（1），单调递增区间为 （2）时函数取得最小值，时函数取得最大值.
【解析】（1）根据周期公式计算，用整体代换法化简即可得出单调递增区间；
（2）用整体代换法得当时，当时函数取得最小值，当时函数取得最大值.
【详解】解：（1）的最小正周期为
由得
所以的单调递增区间为
（2）当时
所以当即时函数取得最小值，
当即时函数取得最大值.
【点睛】求三角函数单调区间的2种方法:
（1）代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角(或)，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间；
（2）图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间.
19．某校举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如下频率分布直方图：
(1)用分层随机抽样的方法从[80,90)，[90,100]两个区间共抽取出5名学生，则每个区间分别应抽取多少人；
(2)在（1）的条件下，该校决定在这5名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间[90,100]的概率；
(3)现需根据学生成绩制定评价标准，评定成绩较高的前60%的学生为良好，请根据频率分布直方图估计良好的最低分数线.（精确到1）
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）先由频率分布直方图的频率求法求得[80,90)，[90,100]两个区间样本中的学生人数，按照分层抽样的方法即可求得结果；
（2）利用列举法及古典概型的概率公式即可求得所求概率；
（3）根据题意，利用频率分布直方图的面积即频率，可求得使后段区间频率为时的区间左端点，即所求最低分数线.
【详解】（1）依题意，设区间[80,90)中应抽人，区间[90,100]中应抽人，得
成绩在[80,90)区间样本中的学生人数为：；
成绩在[90,100]区间样本中的学生人数为：；
所以，解得，
所以区间[80,90)中应抽人，区间[90,100]中应抽人.
（2）由（1）得，不妨记区间[80,90)中人为，区间[90,100]中人为，
则从中抽取2名学生（注意分先后）的基本事件为共20件，
其中第二个交流分享的学生成绩在区间[90,100]（记为事件）的基本事件为共8件，
故，即第二个交流分享的学生成绩在区间[90,100]的概率为.
（3）由频率分布直方图易得，的频率为，的频率为，
所以成绩良好的最低分数线落在区间[80,90)中，不妨记为，
故，解得，
所以成绩良好的最低分数线为.
20．如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，为正三角形，为的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）若二面角的平面角为锐角，且棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一，可证明线线垂直，再根据线面垂直判定定理，即可证明；
（2）根据题意，点在平面内的射影在射线上，再根据锥体体积公式可知，由线面垂直的判定定理，可证平面，则建系：以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法，求线面角.
【详解】（1）证明：∵，为中点，∴，
又为等边三角形，，∴，
，∴平面，
平面，∴平面平面；
（2）由（1）知点在平面内的射影在直线上，又二面角的平面角为锐角，∴在射线上，，，∴，
又，∴，即为中点，取中点，连接，则，
∴平面，∴两两互相垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则
设平面的法向量为
由得
令，得平面的一个法向量为，
又，设与平面所成角为，
则，
∴直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】本题考查（1）面面垂直的证明（2）空间直角坐标系求解线面角，考查计算能力，考查逻辑推理能力，属于中等题型.
21．已知向量与的夹角为，且，，求：
(1)；
(2)在方向上的投影向量的模．
【答案】(1)0
(2)1
【分析】（1）根据数量积的运算律，结合数量积公式，即可求解；
（2）首先求投影向量，再求模.
【详解】（1）∵向量与的夹角为，且，，
∴，，，
，
（2）在方向上的投影向量为，
所以投影向量的模为：.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页

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