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2025-2026学年上海市高一数学下学期末复习模拟试卷（2）
一、填空题
1．要使表达式有意义，则的取值范围是___________.
2．函数的最小正周期为______.
3．设复数z的共轭复数为.若（为虚数单位），则的值为___________.
4．已知，，则实数a的取值范围是______．
5．计算：____________．
6．已知为锐角，若，则_________．
7．已知非零向量满足，若则夹角的余弦值为_____
8．方程有四个复数根，其中模最大的复数根的实部为_____．
9．已知成等差数列，将其中的两个数交换，得到的三数依次成等比数列，则的值为____________．
10．已知函数，若的图象向左平移个单位所得的图象与的图象向右平移个单位所得的图象重合，则的最小值为________.
11．已知是边长为1的正六边形边上相异的三点，则的取值范围是______.
12．我们把方程的实数解称为欧米加常数，记为.和一样，都是无理数，还被称为在指数函数中的“黄金比例”·给出下列命题：
①；
②；
③，其中；
④函数的最小值为.
则所有正确命题的序号为______________.
二、单选题
13．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则，
14．函数的定义域是
A． B．
C． D．
15．已知点O为△ABC内一点，∠AOB＝120°，OA＝1，OB＝2，过O作OD垂直AB于点D，点E为线段OD的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
16．已知数列的通项公式，则根据下列说法选出正确答案是（ ）
①若，则数列的前项和；
②若，数列的前项和为，则是递增数列；
③若数列是递增数列，则.
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
三、解答题
17．已知复数，且.
(1)求；
(2)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围.
18．已知数列是公差的等差数列，记为其前n项和
（1）若，，依次成等比数列，求其公比q；
（2）若，，求证：点都在同一条直线上；
（3）若，，，是否存在一个半径最小的圆，使得对任意，点都在这个圆内或圆周上，如果存在，写出这个圆的方程；如果不存在，说明理由．
19．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜|φ|）的图象如图所示，点B、D是其图象与x轴的交点，C、E分别是函数f（x）图象的最高点与最低点，且点B的坐标是（x0，0），x0＞0，，∠CBE，|CE|＝8．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）的图象与函数f（x）的图象关于点 （2，1）对称，求当4≤x≤6时，函数g（x）的值域．
20．已知在等腰中，，．
(1) ；
(2)若点是外接圆上的动点，为圆心，求的取值范围．
21．若函数为定义域上单调函数，且存在区间（其中），使得当时，的取值范围恰为，则称函数是D上的正函数，区间叫做等域区间.
(1)是否存在实数m，使得函数是上的正函数？若存在，请求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.
(2)若，且不等式的解集恰为，求函数的解析式.并判断是否为函数的等域区间.
2025-2026学年上海市高一数学下学期末复习模拟试卷（2）（解析版）
一、填空题
1．要使表达式有意义，则的取值范围是___________.
【答案】且
【分析】根据对数的性质即可列不等式求解.
【详解】由题意可得或，解得：且，
故答案为：且
2．函数的最小正周期为______.
【答案】
【分析】的周期.
【详解】.
故答案为
【点睛】本题考查三角函数的周期，属于基础题.
3．设复数z的共轭复数为.若（为虚数单位），则的值为___________.
【答案】
【分析】根据共轭复数的定义可得，再根据复数的乘除法计算即可
【详解】由题，，故
故答案为：
【点睛】本题主要考查了共轭复数的定义、复数的乘除法，属于基础题
4．已知，，则实数a的取值范围是______．
【答案】.
【分析】利用二次函数的图像求解.
【详解】由题意知，解得．
故答案为：.
5．计算：____________．
【答案】
【分析】根据复数的乘法公式、对数的运算性质、指数幂的运算化简求值即可．
【详解】解：
．
6．已知为锐角，若，则_________．
【答案】
【分析】由诱导公式可得，再由平方关系求得，最后应用差角余弦公式求目标函数值.
【详解】由题设，，即，又为锐角，则，
而.
故答案为：.
7．已知非零向量满足，若则夹角的余弦值为_____
【答案】
【分析】直接利用平面向量的数量积运算律和公式求解.
【详解】由题得，
所以.
故答案为
【点睛】本题主要考查向量的夹角的计算，考查平面向量的数量积的运算和求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
8．方程有四个复数根，其中模最大的复数根的实部为_____．
【答案】/
【分析】令，代入方程，利用二项式定理将其整理成，求出，即得方程模最大的复数根，取其实部即可.
【详解】令，则由可得
利用二项式定理展开得
整理得，解得，即
于是原方程模最大的复数根为，其实部为．
故答案为：.
9．已知成等差数列，将其中的两个数交换，得到的三数依次成等比数列，则的值为____________．
【答案】20
【分析】设等差数列的公差为，按照哪一个数是等比中项分三种情况进行讨论，从而可求出答案.
【详解】设等差数列的公差为 ，记，交换这三个数的位置后：
①若是等比中项，则，解得，不符合题意；
②若是等比中项，则，解得，
此时这三个数为，则；
③若是等比中项，则，解得，
此时这三个数为，则.
故答案为：.
10．已知函数，若的图象向左平移个单位所得的图象与的图象向右平移个单位所得的图象重合，则的最小值为________.
【答案】4
【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，终边相同的角的特征，求得ω的最小值．
【详解】函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），把f（x）的图象向左平移个单位所得的图象为y=sin[ω（x+）+φ]=sin（ωx++φ），
把f（x）的图象向右平移个单位所得的图象为y=sin[ω（x﹣）+φ]=sin（ωx﹣+φ），
根据题意可得，y=sin（ωx++φ）和y=sin（ωx﹣+φ）的图象重合，
故 +φ=2kπ﹣+φ，求得ω=4k，故ω的最小值为4，
故答案为4．
【点睛】由的图象变换出 的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换,利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将的图象向左或向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍()，便得的图象.
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换：先将的图象上各点的横坐标变为原来的倍()，再沿轴向左()或向右()平移个单位，便得的图象.
11．已知是边长为1的正六边形边上相异的三点，则的取值范围是______.
【答案】
【分析】一方面，而，，不重合，所以；另一方面，设中点为，那么，设在六边形的端点上，同理不妨设在六边形的端点上．分四种情况即可得，剩下的只需证明何时取等并且可以遍历中的每一个数．
【详解】首先， ，这里是最长的那条对角线的长度，
等号取到当且仅当同向，且，而这意味着重合，矛盾.
所以.
另一方面，我们先舍弃互不重合的条件，然后证明：
设中点为，那么，
然后，设A所在的边的端点为，则，
（这是因为，记，其中为原点，确定的，
那么是一次函数，从而t属于时，有）
所以我们可以不妨设A在六边形的端点上.
同理，我们可以不妨设C在六边形的端点上.
此时分以下四种情况：
(1)重合，此时，
(2) 为相邻顶点，此时，
(3) 相隔一个顶点，此时，
(4) 为对径点，此时，
综上，，
所以，即使去掉互不重合的条件，我们仍有，
这就说明，互不重合时，有，
然后，取等条件如图所示：
具体说明如下：构造一个到六边形的函数（即从数映射到点），
使得，并且只沿着最近的轨道，
这样在的情况下，互不重合
同时设，那么，而连续，
所以在的情况下，必定取遍，
这就意味着，的取值范围就是，
所以的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：对分以下四种情况：
(1)重合，此时，
(2) 为相邻顶点，此时，
(3) 相隔一个顶点，此时，
(4) 为对径点，此时
12．我们把方程的实数解称为欧米加常数，记为.和一样，都是无理数，还被称为在指数函数中的“黄金比例”·给出下列命题：
①；
②；
③，其中；
④函数的最小值为.
则所有正确命题的序号为______________.
【答案】②④
【分析】选项①根据零点存在性定理可得；选项②由指对化对数可得；选项③利用反证法推出矛盾，判断③；对于④：结合不等式分析可知，当且仅当时，等号成立.
【详解】由得，
设，因为单调递增，则为的唯一零点，
因为，故，故①错；
由题意， ，故②对；
假设，得，
又，所以，
又，而，
所以③错；
令，则，
令，
知在内单调递减，在内单调递增，
则，可得，当且仅当时，等号成立，
时，可得，令，
，
，
所以，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为，故④对，
故答案为：②④
二、单选题
13．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则，
【答案】C
【分析】利用基本不等式的基本性质，逐一分析各选项的真假：ABD可通过举反例否定，C可以利用作差法证明.
【详解】对于A：当 时，，则 ，
此时 成立，但 不成立（因为 不成立）.
因此，该命题不是真命题，故A错误；
对于B：取反例：设 ，，满足
计算：，，
则 不成立（实际 ).
因此，该命题不是真命题，故B错误；
对于C：由条件 ，得 ，，.
比较差：.
分子 （因为 ，)，分母 （因为 ，).
故，即 .因此，该命题是真命题，故C正确；
对于D：取反例：设 ，，满足 （因为 ).
且 ，，满足 （因为 ).
但结论要求 且 ，而此处 ，不满足，所以该命题不是真命题，故D错误.
故选：C
14．函数的定义域是
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由知，解得，故选B．
15．已知点O为△ABC内一点，∠AOB＝120°，OA＝1，OB＝2，过O作OD垂直AB于点D，点E为线段OD的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先求出和,再利用等面积法求出，最后利用平面向量的数量积求解.
【详解】由已知可得，，根据等面积法得，
所以．
故选：C

16．已知数列的通项公式，则根据下列说法选出正确答案是（ ）
①若，则数列的前项和；
②若，数列的前项和为，则是递增数列；
③若数列是递增数列，则.
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】A
【分析】利用裂项相消法求和判断①；根据判断②；根据，即可得到，从而求出的取值范围，即可判断③.
【详解】对于①：当时，，则，
所以，故①正确；
对于②：当时，，
则，所以单调递增，
又，所以是递增数列，故②正确；
对于③：若数列是单调递增数列，则，即，
所以，所以，
因为，所以，即，故③错误.
故选：A
【点睛】关键点点睛：若数列是单调递增数列，则，再参变分离，求出参数的取值范围，反之，若判断的单调性，只需作差得到即可.
三、解答题
17．已知复数，且.
(1)求；
(2)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将复数代入化简，得出其虚部，由条件可得虚部为0，从而可得出答案.
（2）由，得出其在复平面内对应的点的坐标，根据点在第二象限得出不等式组，从而得出答案.
【详解】（1）.
因为，所以，解得.
故，.
（2）.
因为复数在复平面内对应的点在第二象限，
所以
解得，故的取值范围为.
18．已知数列是公差的等差数列，记为其前n项和
（1）若，，依次成等比数列，求其公比q；
（2）若，，求证：点都在同一条直线上；
（3）若，，，是否存在一个半径最小的圆，使得对任意，点都在这个圆内或圆周上，如果存在，写出这个圆的方程；如果不存在，说明理由．
【答案】（1）3；（2）证明见解析；（3）存在，.
【分析】（1）根据，，依次成等比数列解方程即可求出q；
（2）利用向量的运算可知量与共线即可求证；
（3）计算，根据二次函数可得，可知存在半径最小的圆满足题意.
【详解】（1）因为，，依次成等比数列，所以，
即，
因为，所以，
所以．
（2）因为，
而，
所以，
所以向量与共线，
所以点都在同一条直线上．
（3）因为，
所以，
所以
，
因为，所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以，即，
所以存在半径最小的圆满足题意．
【点睛】关键点点睛：利用向量的运算结合数列的性质及运算，证明点都在同一条直线上，根据向量的模的运算确定是否存在符合条件的圆，属于较难题目.
19．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜|φ|）的图象如图所示，点B、D是其图象与x轴的交点，C、E分别是函数f（x）图象的最高点与最低点，且点B的坐标是（x0，0），x0＞0，，∠CBE，|CE|＝8．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）的图象与函数f（x）的图象关于点 （2，1）对称，求当4≤x≤6时，函数g（x）的值域．
【答案】（1）f（x）＝2sin（πx）；（2）[2，2+2]
【分析】（1）利用周期，最大值和表示出坐标，然后把条件，∠CBE，|CE|＝8．
表示出来后可求得，从而得函数解析式；
（2）由对称性求出，然后由正弦函数性质求得值域．
【详解】设最小正周期为，则， ，，，
∵，∠CBE，|CE|＝8．
∴，解得，，
，又，，
∴；
（2）设是图象上任一点，它关于点的对称点为，
由题意在图象上，∴，
，即，
当时，，∴，
∴．
【点睛】本题考查由三角函数图象求函数解析式，考查函数图象的对称性和正弦函数的性质．由图象求解析式时“五点法”是解题关键．本题掌握了“五点法”中的五个点的坐标，就能迅速求解．
20．已知在等腰中，，．
(1) ；
(2)若点是外接圆上的动点，为圆心，求的取值范围．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）根据题意，由平面向量的数量积的定义，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，将转化为，然后结合数量积的定义，代入计算即可得到结果.
【详解】（1）等腰中，，，则，
.
（2）
等腰中，，，点是外接圆上的动点，为圆心，
，
设，，，
，
，
最大值为，最小值为．
故的取值范围：.
21．若函数为定义域上单调函数，且存在区间（其中），使得当时，的取值范围恰为，则称函数是D上的正函数，区间叫做等域区间.
(1)是否存在实数m，使得函数是上的正函数？若存在，请求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.
(2)若，且不等式的解集恰为，求函数的解析式.并判断是否为函数的等域区间.
【答案】(1)存在，
(2)
当时，，，不是的等域区间；
当时，，，不是的等域区间.
【分析】（1）根据“正函数”的定义以及函数的单调性将问题转化为“方程在区间内有实数解”，利用构造函数法来求得的取值范围.
（2）根据“不等式的解集”求得的可能取值，再结合“等域区间”的定义求得正确答案.
【详解】（1）因为函数是上的减函数，
所以当时，，即
两式相减得，即，
代入得，
由，且得，
故关于a的方程在区间内有实数解，
记，
则，解得.
（2）由不等式的解集恰为，且为二次函数，
得，且.
所以，①
，②
将代入①，，
整理得.
又，a，，
从而或.所以或，
当时，，，
当时，，所以不是的等域区间.
当时，，.
当时，，所以不是的等域区间.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页

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