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2025-2026学年上海市高一数学下学期末复习模拟试卷（5）
一、填空题
1．函数（其中）的最小正周期是，则______
2．函数的单调减区间是_________．
3．直线的倾斜角为________．
4．直线，对任意直线恒过定点__________．
5．已知复数z和满足，且，则复数______．
6．已知向量，，且，则向量，的夹角为___________．
7．已知的外接圆的半径为，的长为周长的最大值为______.
8．已知数列是等比数列，若数列的前4项和为，且，则____.
9．已知复数满足，则（是虚数单位）的最小值为________．
10．记首项为，公差为的等差数列的前项和为，若，且，则实数的取值范围为__________．
11．在平行四边形中，，是的中点，是上靠近的三等分点，交于点，若，则___________.
12．在数列中，，对恒成立，若，则数列的前项和__________.
二、单选题
13．已知直线和单位圆相交于不同两点，其中点在第一象限，且点关于轴的对称点为，则
A．0 B． C． D．
14．设是虚数单位，若为纯虚数，则实数的值为
A． B． C． D．2
15．已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（ ）
A．－1 B． C． D．
16．已知两个不相等的非零向量，两组向量和均由2个和3个排列而成，记，表示所有可能取值中的最小值，则下列命题中
（1）有5个不同的值；（2）若则与无关；（3）若，则与无关；（4）若，则；（5）若，，则与的夹角为．正确的是（　　）
A．（1）（2） B．（2）（4） C．（3）（5） D．（1）（4）
三、解答题
17．如图，在直角三角形中，．点分别是线段上的点，满足．
(1)求的取值范围；
(2)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
18．数学家在解决判别式的二次方程时引入了虚数，例如解得：，．实际上高阶方程同样在复数域中有解，如解得：，，；解得：，，，．数学家高斯发现对于一元次多项式方程在复数域内有且只有个根（重根按重数计算，如解得：），这就是著名的代数基本定理．
(1)已知方程的复数根在复平面内对应的点必然均分单位圆．试求解方程在复数域中的所有解；
(2)已知复数的乘方运算满足，试求在复数域中的所有解；
(3)试证明：方程（，且为偶数）在复数域内的所有解的和为．
19．函数（其中）的部分图象如图所示，把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数的图像.
（1）当时，求的值域
（2）令，若对任意都有恒成立，求的最大值
20．已知正项数列的前项和为，且.求和的值，并求出数列的通项公式；
21．将正整数任意排成n行n列的数表.对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数的比值，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.
(1)当时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值”；
(2)若表示某个n行n列数表中第i行第j列的数（，），且满足，请分别写出时数表的“特征值”，并由此归纳此类数表的“特征值”（不必证明）；
(3)对于由正整数排成的n行n列的任意数表，记其“特征值”为，求证：.
7 1 4
5 8 2
3 6 9
13 1 5 9
10 14 2 6
7 11 15 3
4 8 12 16
21 1 6 11 16
17 22 2 7 12
13 18 23 3 8
9 14 19 24 4
5 10 15 20 25
2025-2026学年上海市高一数学下学期末复习模拟试卷（5）（解析版）
一、填空题
1．函数（其中）的最小正周期是，则______
【答案】
【解析】由函数的最小正周期为，结合正切型函数的周期公式可求得的值.
【详解】，所以，函数的最小正周期为，
所以的最小正周期为，所以.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用正切型函数的周期求参数值，考查计算能力，属于基础题.
2．函数的单调减区间是_________．
【答案】
【分析】根据正弦函数的单调性即可求解.
【详解】由，
得，
所以函数的单调减区间为.
故答案为：.
3．直线的倾斜角为________．
【答案】
【分析】根据直线方程求出直线的斜率，从而求出倾斜角.
【详解】直线的斜率，
所以直线的倾斜角是.
故答案为：.
4．直线，对任意直线恒过定点__________．
【答案】
【详解】可化为： ，
若要让m,n “失去作用”，则，解得 ，即定点为.
点晴：本题考查的是直线过定点问题．直线过定点则意味着定点坐标使得参数“失去作用”——即无论参数取何值，不会影响表达式的值，能够达到此功效的只有让参数与“0”相乘，所以考虑将已知直线进行变形，将含m的项与含n的项分别归为一组，提出m,n让与m,n相乘的式子都为0,便可得解.
5．已知复数z和满足，且，则复数______．
【答案】或
【分析】本题首先可以设，由，可得，则，令，代入，再由复数相等的条件求解．
【详解】设，
由，得，
所以，则，
所以．
令，
由，得，
所以，则或．
所以或．
故答案为或．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是中档题．复数的运算，难点是乘除法法则，设，
则，
．
6．已知向量，，且，则向量，的夹角为___________．
【答案】
【分析】利用向量数量积的坐标表示列方程求得的值，再由平面向量夹角的坐标表示求得的值，结合即可求解.
【详解】因为向量，，
所以，可得：，所以，
所以，
因为，所以，
故答案为：.
7．已知的外接圆的半径为，的长为周长的最大值为______.
【答案】21
【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出角，再利用余弦定理结合基本不等式求解即得.
【详解】由的外接圆的半径为且，得，
而，则或，由余弦定理得，
当时，
，当且仅当时取等号，
因此当时，，的周长最大值为21；
当时，
，当且仅当时取等号，
因此当时，，的周长最大值为，
而，所以的周长最大值为21.
故答案为：21
8．已知数列是等比数列，若数列的前4项和为，且，则____.
【答案】
【分析】由已知可得数列是等比数列，设公比为，则.然后根据已知列出方程组，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得数列是等比数列，设公比为，则.
显然，
由题意可得，，
两式相除可得，，所以，所以.
故答案为：.
9．已知复数满足，则（是虚数单位）的最小值为________．
【答案】/
【分析】确定复数的轨迹，结合点到线的距离公式即可求解.
【详解】设，则，
由，得，化简得，
所以或，
的几何意义为射线上的点与的距离，

结合图象可知：到的距离即为最小值，
最小值为.
故答案为：.
10．记首项为，公差为的等差数列的前项和为，若，且，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【分析】根据等差数列的通项公式结合题意可得，进而可得当时，，当时，，原题中不等式等价于，利用分离参数的思想，建立不等式当时，；当时，，求出范围即可.
【详解】由，得.
因为，所以，.
所以当时，，当时，.
（1）当时，由得.
因为，所以.
（2）当时，由得.
因为，所以.
综上所述，的取值范围是.
【点睛】本题主要考查了等差数列的定义，分离参数思想在恒成立中的应用，判断出与0的关系是解题的关键，属于中档题.
11．在平行四边形中，，是的中点，是上靠近的三等分点，交于点，若，则___________.
【答案】或
【分析】设，利用三点共线，分别表示出和，根据建立关于的方程组，求出的值，即得，结合，运用数量积的运算律化简得，记，，将其化成，求解即得答案.
【详解】
如图，设，记，
，则，，
是上靠近的三等分点，则，
由图知，三点共线，故存在，使得，
又是的中点，则，
由图知，三点共线，故存在，使得，
因为，所以得，解得，
故，又，
由可得，
展开得，即，
也即，设，则，解得或.
故答案为：或.
12．在数列中，，对恒成立，若，则数列的前项和__________.
【答案】
【分析】根据题意得到成等差数列，求出的公差，求出，利用裂项相消法得到，从而求出.
【详解】因为对，所以成等差数列，又，
所以的公差，所以，
又，所以，
所以 ，
所以
.
故答案为：
【点睛】常见的裂项相消法求和类型：
分式型：，，等；
指数型：，等，
根式型：等，
对数型：，且；
二、单选题
13．已知直线和单位圆相交于不同两点，其中点在第一象限，且点关于轴的对称点为，则
A．0 B． C． D．
【答案】A
【分析】设，，由三角形内角和及外角，得到和的关系及，，可求得结果.
【详解】如图所示，
设直线与轴交于点，
设，，
因为直线的斜率为1，则.
又，即，
由三角形内角和得到，，
则，
所以.
故选A.
【点睛】本题考查角的三角函数值的求法，考查了直线的倾斜角，灵活运用三角形中角的关系是关键，是一道中档题．
14．设是虚数单位，若为纯虚数，则实数的值为
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】根据纯虚数的定义计算即可.
【详解】解：为纯虚数
故选：C
【点睛】考查纯虚数的定义及复数的运算，基础题.
15．已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（ ）
A．－1 B． C． D．
【答案】C
【分析】分析题目条件可得，取的中点，建立平面直角坐标系，利用坐标运算可得结果.
【详解】∵分别表示与方向的单位向量，
∴以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形，故所在直线为的平分线所在直线，
∵，∴的平分线与垂直，故.
取的中点，连接，则，
由题意得，，
∴.

如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
则，故.
设，则，∴，
∴，，
∴，
当时，取得最小值，最小值为.
故选：C.
16．已知两个不相等的非零向量，两组向量和均由2个和3个排列而成，记，表示所有可能取值中的最小值，则下列命题中
（1）有5个不同的值；（2）若则与无关；（3）若，则与无关；（4）若，则；（5）若，，则与的夹角为．正确的是（　　）
A．（1）（2） B．（2）（4） C．（3）（5） D．（1）（4）
【答案】B
【分析】依题意，可求得S有3种结果：①；②；③．可判断（1）错误；进一步分析有，即中最小为；再对（2）（3）（4）（5）逐一分析即可得答案．
【详解】∵均由2个和3个排列而成∴可能情况有三种：
①；②；③．故（1）错误；
∵∴中最小为．
若，则，与无关，故（2）正确；
若，则，与有关，故（3）错误；
若，则 ，故（4）正确；
若，，
∴，∴，即与的夹角为，（5）错误．
综上所述，命题正确的是（2）（4）
故选：
【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查平面向量的数量积的综合应用，考查推理、分析与运算的综合应用，属于难题．
三、解答题
17．如图，在直角三角形中，．点分别是线段上的点，满足．
(1)求的取值范围；
(2)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）由题意得 ，结合即可得解；
（2）由 ，求解即可.
【详解】（1）在直角三角形中，．
∴，，
，
∵，∴．
（2）
令，得或（舍）.
∴存在实数，使得．
18．数学家在解决判别式的二次方程时引入了虚数，例如解得：，．实际上高阶方程同样在复数域中有解，如解得：，，；解得：，，，．数学家高斯发现对于一元次多项式方程在复数域内有且只有个根（重根按重数计算，如解得：），这就是著名的代数基本定理．
(1)已知方程的复数根在复平面内对应的点必然均分单位圆．试求解方程在复数域中的所有解；
(2)已知复数的乘方运算满足，试求在复数域中的所有解；
(3)试证明：方程（，且为偶数）在复数域内的所有解的和为．
【答案】(1)答案见解析
(2)．
(3)证明见解析
【分析】（1）根据代数基本定理可求得方程的个复数根；
（2）化简得，令，利用代数基本定理求出方程的三个复数根据，进而可得出方程的三个复数根；
（3）由题意可知方程（，且为偶数），方程的个解对应的点均分单位圆，则相邻两个解夹角为，求出这个复数解与轴正方向的夹角，可知与夹角相差，即，利用并项求和法可证得结论成立.
【详解】（1）有解，
又其余个根在复平面内对应的点与对应的点均分单位圆，
所以复向量与轴正方向夹角分别为、、、、、，
故解为， ，，，，
．
（2）化简得，令，即，
由题知，，则，
其余个解与复数对应点均分单位圆，
所以，，
即，，，
综上，在复数域中的所有解为，，
．
（3）对于方程（，且为偶数），设该方程有解，
方程的个解对应的点均分单位圆，则相邻两个解夹角为，
故所有解与轴正方向的夹角分别为，
因为为偶数，所以，……，
，
，
所以与夹角相差，即，
所以当，且为偶数时，方程在复数域内的所有解的和为．
19．函数（其中）的部分图象如图所示，把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数的图像.
（1）当时，求的值域
（2）令，若对任意都有恒成立，求的最大值
【答案】（1）（2）
【分析】（1）根据图象的最低点求得的值，根据四分之一周期求得的值，根据点求得的值，由此求得函数的解析式，进而根据图象平移变换求得的解析式，并由此求得时的值域.（2）先求得的值域，由此求得的值域.令对题目所给不等式换元，根据二次函数的性质列不等式组，解不等式组求得的取值范围，由此求得的最大值.
【详解】（1）根据图象可知
代入得，，
把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数
，
设，则，
此时 ，
所以值域为.
（2）由（1）可知
对任意都有恒成立
令，
，是关于的二次函数，开口向上
则恒成立
而的最大值，在或时取到最大值
则，，
解得
所以，则的最大值为.
【点睛】本小题主要考查由三角函数图像求三角函数的解析式，考查三角函数图像变换，考查不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
20．已知正项数列的前项和为，且.求和的值，并求出数列的通项公式；
【答案】1；2；
【分析】首先利用赋值和，求和的值，再利用数列的前项和，转化为关于数列的递推关系式，即可求解.
【详解】由题意知当时，.
当时， ，负数舍去，
因为，则当时，有 .
两式相减，得：
，
又因为，所以.
故，，两式相减，
得 .
因为，所以.
又因为，，所以对，有，
故是等差数列，因此.
21．将正整数任意排成n行n列的数表.对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数的比值，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.
(1)当时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值”；
(2)若表示某个n行n列数表中第i行第j列的数（，），且满足，请分别写出时数表的“特征值”，并由此归纳此类数表的“特征值”（不必证明）；
(3)对于由正整数排成的n行n列的任意数表，记其“特征值”为，求证：.
【答案】(1)或
(2)、、；
(3)证明见解析
【分析】（1）可设1在第一行第一列，考虑与1同行或同列的两个数的可能，可得“特征值”；
（2）分别写出当，，时的图表，由“特征值”的定义可得答案．
（3）分这个较大的数中至少有两个数在数表的同一行（或同一列）中以及在这个数表的不同行且不同列中进行讨论，结合“特征值”定义计算即可得证.
【详解】（1）显然，交换任何两行或两列，“特征值”不变，
可设1在第一行第一列，考虑与1同行或同列的两个数只有三种可能，
2，3或2，4或3，4．得到数表的不同“特征值”是或；
（2）当时,数表为：
7 1 4
5 8 2
3 6 9
此时，数表的“特征值”为；
当时,数表为：
13 1 5 9
10 14 2 6
7 11 15 3
4 8 12 16
此时，数表的“特征值”为；
当时,数表为：
21 1 6 11 16
17 22 2 7 12
13 18 23 3 8
9 14 19 24 4
5 10 15 20 25
此时，数表的“特征值”为；
归纳猜想“特征值”为：；
证明：由，
则，
则这个较大的数都在数表的对角线上，
即在这个数表的不同行且不同列中，
又此类数表的第行第列的数为，
即非对角线中最大的数为在第行第列，
由第行最大的数为，
第列最大的数为，
则此类数表的“特征值”为；
（3）对于一个数表而言，这个较大的数中，
要么至少有两个数在一个数表的同一行（或同一列）中，
要么这个较大的数在这个数表的不同行且不同列中，
①当这个较大的数，
至少有两个数在数表的同一行（或同一列）中时，
设（）为该行（或列）中最大的两个数，则，
因为，
所以，从而；
②当这个较大的数在这个数表的不同行且不同列中时，
当它们中的一个数与在同行（或列）中，
设为与在同行、同列中的两个最大数中的较小的一个，
则有；
综上可得.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页

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