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2025-2026学年上海市高一数学下学期末复习模拟试卷（9）
一、填空题
1．（i是虚数单位）的共轭复数是______
2．已知，则___________．
3．已知用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正三角形（如图），则中边长与的边长相等的边上的高为_______________

4．已知非零向量满足，且在向量方向上的投影向量为，则的夹角为__________.
5．函数的单调递减区间是_______________.
6．已知复数满足(其中为虚数单位)，则复数对应点的坐标为_____.
7．某人在塔的正东方向沿着南偏西60°的方向前进40 m以后，望见塔在东北方向上，若沿途测得塔的最大仰角为30°，则塔高为________________m．
8．已知方程的两个根在复平面上对应的两点之间的距离为，则__________．
9．如图，梯形，且，，，则______，E在线段上，则的最小值为______.
10．在四面体中，平面，平面，分别为线段的中点，当四面体以为轴旋转时，直线与直线夹角的余弦值的取值范围是____________.
11．如图，正方体的棱长为，分别为的中点，是底面上一点．若平面，则长度的最小值是___；最大值是___．
12．已知复数满足（为虚数单位），则__________．
二、单选题
13．已知关于的方程在有四个不同的实数解，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
14．已知复数满足，则在复平面内，复数所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
15．已知不同的直线，不同的平面，则下列命题正确的是
①若，，则；②若，，则；
③若，，则；④若，，，则.
A．②④ B．②③ C．③④ D．①②
16．已知向量，，满足，，，的最大值，最小值分别为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
三、解答题
17．已知复数（、）满足，且的取值范围为；复数满足．
(1)求的取值范围；
(2)若、恰为实系数一元二次方程的两个根，求的值；
(3)在复平面上，复数对应点，复数对应点，求在方向上的数量投影的取值范围．
18．如图所示，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴 轴正方向同向的单位向量，则平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．
(1)若，求；
(2)若，，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由；
(3)在仿射坐标系下，设，若对任意恒成立，求的取值范围.
19．已知函数的部分图象如图1所示， 分别为图象的最高点和最低点，过作轴的垂线，交轴于点，点为该部分图象与轴的交点.
(1)求的解析式；
(2)将绘有函数部分图象的纸片沿轴折成的二面角，如图2所示.
（i）求直线与平面所成的角的正弦值；
（ii）求以线段的中点为球心，半径为的球与二面角所围成的几何体的体积.
注：球缺的定义：如图3，一个球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫球缺的底面，垂直于底面的直径被截下的线段长叫球缺的高.设球的半径为，球缺的高为，则球缺的体积公式为.
20．已知梯形ABCD中，AB//CD，AB=4，CD=1，，E为BC中点，
（1）若，求的值.
（2）若，AD=2，求的值.
21．如图所示，二面角的大小为，，，且，，，，．
（1）求与所成角大小；
（2）求与所成角大小．
2025-2026学年上海市高一数学下学期末复习模拟试卷（9）（解析版）
一、填空题
1．（i是虚数单位）的共轭复数是______
【答案】/
【分析】由复数的乘、除法运算化简复数，再由共轭复数的定义即可得出答案.
【详解】，
所以（i是虚数单位）的共轭复数是.
故答案为：.
2．已知，则___________．
【答案】
【分析】结合诱导公式和倍角公式求解.
【详解】．
3．已知用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正三角形（如图），则中边长与的边长相等的边上的高为_______________

【答案】
【分析】由斜二测画法的特点可知平行于轴的边长不变，在直观图中由正弦定理求出，然后求出原图中的长度即可求解.
【详解】由于用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正三角形，
则中边长与的边长相等的边为，
在中，，，
所以，由正弦定理得：，
所以，所以原图中边上的高为：，
故答案为：.
4．已知非零向量满足，且在向量方向上的投影向量为，则的夹角为__________.
【答案】/
【详解】由 .
因为在向量方向上的投影向量为，所以，联立可得.
所以，
又，所以，即的夹角为.
5．函数的单调递减区间是_______________.
【答案】
【分析】由，令，即可得解.
【详解】，
令，
解得.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了正切型函数的单调区间的求解，考查了整体代换的思想，属于基础题.
6．已知复数满足(其中为虚数单位)，则复数对应点的坐标为_____.
【答案】
【分析】由模长公式以及复数的四则运算得出复数，进而得出其坐标.
【详解】
即复数对应点的坐标为
故答案为：
7．某人在塔的正东方向沿着南偏西60°的方向前进40 m以后，望见塔在东北方向上，若沿途测得塔的最大仰角为30°，则塔高为________________m．
【答案】
【分析】根据题意作出示意图：
此人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD=40 m，此时∠DBF=45°，从点C到点D所测塔的仰角，只有点B到CD的距离最短时，仰角最大，这是因为为定值．根据正弦定理可解中的，在中求，再在中求塔高即可.
【详解】画示意图如下图所示，
此人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD=40 m，此时∠DBF=45°，从点C到点D所测塔的仰角，只有点B到CD的距离最短时，仰角最大，这是因为为定值．
过点B作BE⊥CD于点E，连接AE，则 ．
在中，CD=40 m，∠BCD=30°，∠DBC=135°，
由正弦定理，得，∴
在中，
∴
在中，，∴
故所求的塔高为
【点睛】本题主要考查了解三角形的应用，正弦定理，属于中档题.
8．已知方程的两个根在复平面上对应的两点之间的距离为，则__________．
【答案】或
【分析】设方程的两根分别为，，用表示出，利用韦达定理求得或，分情况结合两个根在复平面上对应的两点之间的距离为，求得的值.
【详解】解：方程的两个根在复平面上对应的两点之间的距离为，
设方程的两根分别为，，
则，得，，则，
则，
则或
当时，，
，
设在复平面上对应的点为，则，设在复平面上对应的点为，则，
则，得，
则，
当时，，，
，
此时，即，即，
∴，
故答案为：或.
9．如图，梯形，且，，，则______，E在线段上，则的最小值为______.
【答案】 /
【分析】取平面的一个基底，利用向量线性运算及数量积的运算律求出可得；作，以为原点建立平面直角坐标系，设，利用向量的坐标运算，结合二次函数求出最小值.
【详解】在梯形中，且，，则，
于是
，则，又，所以；
作于，以为原点，正方向为轴建立平面直角坐标系，如图，
则，，
令，则，
，，
因此，
所以当时，取得最小值，最小值为.
故答案为：；
【点睛】方法点睛：求解平面几何中的平面向量数量积问题的常用方法有两种：
①利用平面向量线性运算将所求数量积进行转化，转化为夹角和模长已知的向量数量积的求解问题；
②建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算来进行求解.
10．在四面体中，平面，平面，分别为线段的中点，当四面体以为轴旋转时，直线与直线夹角的余弦值的取值范围是____________.
【答案】
【分析】由题意可得.取中点，连接，则，从而，得.当四面体绕旋转时，由，得绕旋转，由此能求出与直线所成角的范围，即得余弦值的取值范围
【详解】平面，平面，.
在四面体中，，可得.
又分别为线段的中点，取中点，连接，如图所示
则，，
得.
当四面体绕旋转时，由，即绕旋转，
故与直线所成角的范围为，
直线与直线夹角的余弦值的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题考查两条异面直线所成的角，考查空间中线线、线面的位置关系，属于较难的题目.
11．如图，正方体的棱长为，分别为的中点，是底面上一点．若平面，则长度的最小值是___；最大值是___．
【答案】
【解析】取中点，中点，连接，，，利用面面平行的判定定理证得平面 平面，结合已知条件可知，在等腰中，可求得长度的最值.
【详解】取中点，中点，连接，，
由正方体，分别为的中点，
又平面，平面，平面
分别为的中点，由中位线性质知
同理可知，
又平面，平面，平面
又，平面
平面 平面
是底面上一点．且平面，
在等腰中，的长度最大时为
的长度最小时，为中点，，，即
故答案为：，
【点睛】方法点睛：证明面面平行常用的方法：
（1）面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
（2）利用垂直于同一条直线的两个平面平行；
（3）两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；
（4）利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．
12．已知复数满足（为虚数单位），则__________．
【答案】
【分析】利用复数的除法运算求出，再求，进而得到复数的虚部.
【详解】由，
得，则.
故答案为：.
二、单选题
13．已知关于的方程在有四个不同的实数解，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令，易知函数是偶函数，将问题转化为研究当时，有两个零点，令，则转化为有一个根求解.
【详解】当，，则，
函数是偶函数，
由偶函数的对称性，只需研究当时，有两个零点，
设，则有一个根
①当时，是开口向下，对称轴为的二次函数，
则，这与矛盾，舍去；
②当时，是开口向上，对称轴为的二次函数，
因为，，
则存在，只需，解得，
所以．
综上，非零实数的取值范围为．
故选：D．
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
14．已知复数满足，则在复平面内，复数所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【详解】，复数所对应的点为，即位于第二象限．
15．已知不同的直线，不同的平面，则下列命题正确的是
①若，，则；②若，，则；
③若，，则；④若，，，则.
A．②④ B．②③ C．③④ D．①②
【答案】A
【详解】①若，，则位置关系不定；
③若，，则位置关系不定；
②若，则，因为，所以 ，②正确
④因为，，所以，分别为一个法向量，因为，所以，④正确，选A.
16．已知向量，，满足，，，的最大值，最小值分别为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由可计算向量，夹角，设，结合夹角和可求的坐标，设，根据已知条件可得出向量所对的点的轨迹为圆，由圆的性质即可求解，，即可求解.
【详解】设向量，夹角为，
由可得，即
所以解得：，
因为，所以，
设，则，
设，则，，
，
即，
所以向量所对的点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
，
所以，，
所以，
故选：B.
三、解答题
17．已知复数（、）满足，且的取值范围为；复数满足．
(1)求的取值范围；
(2)若、恰为实系数一元二次方程的两个根，求的值；
(3)在复平面上，复数对应点，复数对应点，求在方向上的数量投影的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）根据题意，得到，结合一次函数的单调性，即可求解；
（2）根据实系数的一元二次方程的虚根化为共轭复数对，得到，将其代入，结合，求得或，利用韦达定理，即可求解；
（3）由向量在方向上的投影数量的公式，根据题意，得到的轨迹，得到投影取值范围为，结合函数的单调性，即可求解.
【详解】（1）解：由的取值范围为，，
因为，可得该函数为单调递增的一次函数，
当时，可得；当时，可得；
所以的取值范围为.
（2）解：由实系数的一元二次方程的虚根成共轭复数对，
可得，将其代入，可得，
因为，可得，
整理得，解得或，
当时，，此时，可得，
由韦达定理得，所以；
当时，，此时，可得，
由韦达定理得，所以，
综上可得，的值为或.
（3）解：因为向量在方向上的数量投影的公式为：投影，
由，可得的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，
所以对于固定的，向量在向量方向上的投影取值范围为，
将代入，可得
令，可得，
则，
所以在上单调递增，且，即，
所以向量在方向上的数量投影的取值范围为.
18．如图所示，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴 轴正方向同向的单位向量，则平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．
(1)若，求；
(2)若，，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由；
(3)在仿射坐标系下，设，若对任意恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2)不正确，理由见解析；
(3)．
【分析】（1）利用数量积的运算律及定义求解.
（2）利用数量积的运算律，结合充要条件的定义推理判断.
（3）由给定的定义，利用数量积的运算律，结合一元二次不等式恒成立列式求出范围.
【详解】（1），，
所以.
（2）不正确，理由如下：
由及（1）知，，而向量，
则
，而，
因此的充要条件是，
所以“”的充要条件是“”是不正确的.
（3）由，得，，
，
，
不等式，
则，
依题意，对任意恒成立，
而，于是，
解得，又，则，
所以的取值范围是.
19．已知函数的部分图象如图1所示， 分别为图象的最高点和最低点，过作轴的垂线，交轴于点，点为该部分图象与轴的交点.
(1)求的解析式；
(2)将绘有函数部分图象的纸片沿轴折成的二面角，如图2所示.
（i）求直线与平面所成的角的正弦值；
（ii）求以线段的中点为球心，半径为的球与二面角所围成的几何体的体积.
注：球缺的定义：如图3，一个球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫球缺的底面，垂直于底面的直径被截下的线段长叫球缺的高.设球的半径为，球缺的高为，则球缺的体积公式为.
【答案】(1)
(2)（i）（ii）
【分析】（1）由图有先求周期，进而求，最后代点求出即可；
（2）（i）法一：如图①，设在平面上的射影为，连接、，在平面上过作轴的平行线，过点作交于，交轴于，由在平面上的射影为，所以在平面上的射影为，故和平面所成角为，在计算即可；法二：建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式即可求解；
（ii）法一：取线段的中点，线段的中点为，连，则点在球上，且球被平面所截的图形是以点的圆，计算圆的半径，同理可得，球被平面所截的图形也是半径相同的圆，最后利用球缺和球的体积公式即可求解；法二：建立空间直角坐标系，
设线段的中点为，在平面上的射影为，计算以为球心，半径为的球被半平面和平面所截所截的图形为圆的半径，最后利用球缺和球的体积公式即可求解.
【详解】（1）由图可得，，周期，所以，
由，得，所以，
所以，因为，所以当时，，
所以；
（2）（i）法一
如图①，设在平面上的射影为，连接、，则，，.
在平面上过作轴的平行线，过点作交于，交轴于，则，，，，
因为在平面上的射影为，所以在平面上的射影为，故和平面所成角为，
，所以和平面所成角的正弦值为.
法二
如图，以的方向为轴的正方向，在平面内过且垂直轴的直线为轴，过且垂直平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图②，
设在平面上的射影为，则，，，，，，
平面的法向量为
设直线和平面所成角为，则
（ii）法一
由图①，设与轴相交于点，如图③所示，由，得，，则，即与重合，即，，三点共线
取线段的中点，则，得，，即，则，且，又轴，故轴
设线段的中点为，连，则，且.又平面，则平面
，则点在球上，且球被平面所截的图形是以点为圆心、为半径的圆.同理可得，
球被平面所截的图形也是半径为的圆.
所以球与二面角所围成的几何体如图④所示.不妨设其体积为，则
因为，得球缺的高，故 ，，故.
法二
如图，以的方向为轴的正方向，在平面内过且垂直轴的直线为轴，过且垂直平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图⑤所示
设线段的中点为，在平面上的射影为，则，，，，，，，到平面的距离为
以为球心，半径为的球被半平面所截的图形为圆，不妨设其半径为，圆心为，则，则，
即，所以所截的圆恰与轴相切，同理可得，球被平面所截的图形也是半径为的圆.
所以球与二面角所围成的几何体如图④所示.不妨设体积为，则
因为，得球缺的高，故
，故.
20．已知梯形ABCD中，AB//CD，AB=4，CD=1，，E为BC中点，
（1）若，求的值.
（2）若，AD=2，求的值.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）依题意可得，，根据平面向量的线性运算法则求出，即可得解；
（2）用，作为基底表示出，，利用定义法求出，再根据平面向量数量积的运算律计算可得；
【详解】解：（1）依题意，又因为，所以，所以
（2），，，
所以，
所以
【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，向量的数量积的计算，属于基础题.
21．如图所示，二面角的大小为，，，且，，，，．
（1）求与所成角大小；
（2）求与所成角大小．
【答案】（1）（2）．
【分析】（1）直线与是异面直线，求异面直线所成角通常先平移，使异面直线成为相交直线，这样找到异面直线所成的角，再通过解三角形求解；
（2）求直线与平面所成角的关键依然是寻找到线与面所成的“具体”的角！
【详解】（1）作∥，且，则为矩形，，
即为的平面角，∴．
∴
．
又，，，
∴平面．∴，即．
在中，．
所以与所成角即为．
（2）在所在平面内作交的延长线于点．
由（1）知，平面，∴．又，
，平面，平面，∴．连
为与所成角，
在中，．
所以与所成角为．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页

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