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下关一中教育集团 2025~2026学年高二年级下学期期中考
数学参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共 58 分）
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题所给的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B D B B C A C
【解析】
2 2(1 i)
1． z 1 i，故z的共轭复数为1 i，故选C.
1 i (1 i)(1 i)
2．由题意可得M (1， )，N (2， )，则M N (1， ) ，故选 B．
2
3．设 a 与b 的夹角为 ， a b b ， a b b 0， a b b 2 ， | a b cos b | ，
1
又 a 2 b ， cos ，故选 D．
2
π π π π 2π
4．可得f (x） 2sin 2x ，当x 0， 时，2x ， ，所以f (x） [ 3，2] ，故选 B．
3 6 3 3 3
5．设事件A1 “李明选择的项目为电子游戏”，事件A2 “李明选择的项目为看小说”，事件
A3 “李明选择的项目为追网剧”，事件B “李明在下一次考试中成绩下降”，则P(B)
1 2 1 7 1 1 7
P(A1)P(B | A1) P(A2 )P(B | A2 ) P(A3)P(B | A3) ，故选 B．
3 3 3 12 3 2 12
b2 c2 a2 bc 1 π
6．在△ABC中， b2 c2 a2 bc 0， cosA . A 0,π ， A ．
2bc 2bc 2 3
sin B sin C sin2 A， 由正弦定理得bc a2，代入b2
2
c2 a2 bc， (b c) 0，解
得b c， △ABC 的形状是等边三角形，故选 C．
2
c
1
c cos
2 sin2 1 (tan )2 2 b b c
2 3
7．设 F B B ，则 tan ，由 cos2 1 1 2 2 ，
b cos
2 sin2 1 (tan )2 2 2 c b c 5
1
b
2
2 2 2 c 4 2 3
整理得 24b2 c2 ，所以 c 4 c a ，整理得 e ，所以 e ，故选 A．
a2 3 3
高二数学 XG 参考答案·第 1 页（共 9 页）
{#{QQABDYiQogiAAgBAARgCEQGCCEOYkhAAAIgOQFAcoAAACQFABAA=}#}
8．设1.5x x log1.2 y y sin z z b,则1.5
x x b, log1.2 y y b，sin z z b，则题意转
化为函数f (x) 1.5x，g（x) log1.2 x，h(x) sin x的图象与直线y x b交点横坐标的大小
关系，作图易知C不可能,注意f (x)和g(x)的图象有两个交点，故选 C．
二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项
是符合题目要求的．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
题号 9 10 11
答案 ABC ACD ABC
【解析】
3 5
9．对于选项A，由5 40% 2知，该组数据的第40百分位数为 4，故A正确；对于选项B，
2
共有A3 A2
2
所以E(2X 1)
3 4 72种站法，故B正确；对于选项C，因为E（X ) 1，D(X ) ，
3
8
2E(X ) 1 3,D(2X 1) 22 D(X ) ，故C正确；对于选项D，充分性显然成立，但当取
3
f (x) 2x，g(x) x时，f (x) g（x)为增函数，故必要性不成立，D错误，故选 ABC．
y2 2x
1
10．由题意得直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x ty,联立 2 1 ，可得 y 2ty
2 x ty
2
1 0,显然 4t2 4 0.设P(x1, y1),Q(x2 , y2 ),M (x0 , y0 ),易得y1 y2 2t, y1y2 1,
1 1 1 1 1
x x 2t2 1, x x ,M t 21 2 1 2 ,t .对于A,令t 1,显然成立；对于B,
4 2 PF QF 1x1
2
1 x1 x2 1 2t
2 2
2,故B错误；对于C，x t2
1
, y t,所以2y 2
1 1 1 2 0 0 0t 1 2
x2 x1x2 (x1 x2 )
2 2 4
2 2
2x0 1,故C正确；对于D, PQ (x1 x2 1)
2 4t4 8t2 4,4 OM 3 4(x 20 y
2
0 ) 3
4t4 8t2 4,故D正确.故选 ACD．
2
11．对于选项A,an 2n 1，Sn n ，所以an 1 3Sn (3n 1）(n 1)≤0,故an 1≤3Sn ,故A正确；
对于选项B,由题意an 1≤2Sn，a1 1,则有a2≤2S1 2,a3≤2S2≤6，a4≤2S3≤18，...，a ≤2 3
n 2
n .
假设当n （k k≥1)时，有a ≤2 3k 2k ，则当n k 1时，有Sk≤1 2 2 3 ... 2 3
k 2 3k 1，
1
所以ak 1≤2S ≤2 3
k 1 2 3(k 1) 2 ,综上可得a ≤2 3n 2 ,故B正确；对于选项C， an (2
n 1
k n
2
高二数学 XG 参考答案·第 2 页（共 9 页）
{#{QQABDYiQogiAAgBAARgCEQGCCEOYkhAAAIgOQFAcoAAACQFABAA=}#}
n 1 1 n 1 1 K 5 )，Sn (2 1) （5
n 1)，an 1 (2
n 5n )，由a n nn 1≤KSn得（K 1）2 1 5
2 8 2 4
5K
≥0. 当K 1时，不等式不成立；当K 2，n 1时，不等式不成立；当K 3，n 1
4
K 5K K 5K
时，不等式不成立；当K≥4时，(K 1)2n 1 5
n ≥2(K 1) 5 1 0
4 4 4 4
1
恒成立，所以K的最小值为4，故C正确；对于D选项，a2 (p q),KS1 K,故KS1
2
p q
a2 K ,取p 2,q 3,当K 2时，不等式不成立，所以an 1≤KSn不恒成立，故D
2
错误.综上，故选ABC.
第Ⅱ卷（非选择题，共 92 分）
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
题号 12 13 14
答案 13 6 [18，22]
【解析】
12．对于(1 x)4展开式的通项公式为Tk 1 C
k
4 ( 1)
k xk ,k 0,1,2,3,4,可得T3 6x
2 ,T1 1,
故2 6x2 1 x2 13x2 ,故x2的系数为13.因此答案为 :13.
13．因为函数y f (x)为奇函数，所以f (x) f ( x) (m n)(ex e x ) 0, 因为ex e x 0,
所以m n 0,所以6m2 12n 6m2 12m 6(m 1)2 6≥ 6,当且仅当m 1时取等，
故答案为： 6.
14．以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0),
1
B(3,0),C(0,4),设内切圆半径为r,则由S△ABC (AB AC BC)r可以求得r 1,故内切圆
2
方程为(x 1)2 （y 1)2 1,设P(x, y),则0≤y≤2,则PA2 PB2 PC 2 x2 y2 (x 3)2
y2 x2 (y 4)2 3[(x 1)2 (y 1)2 ] 2y 19 22 2y [18,22].故答案为：[18,22].
高二数学 XG 参考答案·第 3 页（共 9 页）
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四、解答题（共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分 13 分）
解：（1）设等差数列{a }的公差为 d，等比数列{b }的公比为 q，且 q 0n n ．
2q 2 d
依题意得 2 2 ，解得 2q 2q 4 ，则 q 1或 q 2．
2q 6 d
q 2
又因为 q 0，所以 q 2，解得 ， ……………………………………（4 分）
d 2
故 a nn 2n ，bn 2 ． ………………………………………………（6 分）
（2）因为 cn an bn ，所以 cn 2n 2
n ，
n(2 2n) 2(1 2n )
则Tn n(1 n) 2(2
n 1) n n2 2n 1 2 . ………（13 分）
2 1 2
16．（本小题满分 15 分）
解：（1）从 10 所高校中，任取 44 所，共有C10 210 种取法，
恰有 所 2 22 985 高校的取法为：C3C7 63，
63 3
该考生恰好选到 2 所 985 高校的概率为 P . ……………………（6 分）
210 10
（2）设 X 为该考生选到 985 高校的个数，则 X 的取值为 0，1，2，3．
C4 35 1
P(X 0) 7
4 ， C10 210 6
C1 3
P(X 1) 3
C7 105 1
C4
，
10 210 2
C23C
2
7 63 3P(X 2)
C4
，
10 210 10
C3C1 7 1
P(X 3) 3 7
4 ， ………………………………………………（12 分） C10 210 30
则
X 0 1 2 3
1 1 3 1
P
6 2 10 30
1 1 3 1 6
E(X ) 0 1 2 3 . ……………………………………（15 分）
6 2 10 30 5
高二数学 XG 参考答案·第 4 页（共 9 页）
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17．（本小题满分 15 分）
（1）证明：因为在矩形 ABCD中， AB 4，AD 2，M 为DC的中点，
所以 AM BM AD2 DM 2 2 2 .
因为 AM 2 BM 2 AB2 ，所以 AM BM .
因为平面 ADM 平面 ABCM ，平面 ADM 平面 ABCM AM ， BM 平面 ABCM ，
所以 BM 平面 ADM .
因为 AD 平面 ADM ，所以 BM AD .
又 AD DM，DM BM M，DM，BM 平面 BDM ，
所以 AD ⊥平面 BDM . ………………………………………………（6 分）
（2）解：如图 1，取 AM 的中点O，连接DO ，
AD DM，O为 AM 的中点，则DO AM .
因为平面 ADM 平面 ABCM ，平面 ADM 平面 ABCM AM，DO 平面 ADM ，
所以DO 平面 ABCM .
取 AB 的中点 F ，连接OF ，则OF∥MB，
由（1）知， AM BM ，所以OF ⊥ AM .
以O为原点，OA，OF，OD所在直线分别为 x，y，z 轴建立
如图所示空间直角坐标系， 图 1
则 A( 2，0，0)，B( 2，2 2，0)，M( 2，0，0)，D(0，0， 2)，
由（1）知 BM 平面 ADM ，
则平面 ADM 的一个法向量可设为m (0，1，0).
………………………………………（9 分）
因为DE tDB且0 t 1，所以DE tDB ( 2t，2 2t， 2t)，
ME MD DE MD tDB ( 2 2t，2 2t， 2 2t)，
AM ( 2 2，0，0) .
高二数学 XG 参考答案·第 5 页（共 9 页）
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n AM 0
设平面 AME 的法向量为 n (x，y，z)，则 ，
n ME 0
2 2x 0
即 ，取 y t 1，则 x 0，z 2t ，
( 2 2t)x 2 2ty ( 2 2t)z 0
即平面 AME 的一个法向量为 n (0，t 1，2t).
…………………………………………………（12 分）
2 5
因为二面角 E AM D 的正弦值为 ，
5
| m n | |t 1| 5
所以 |cos m，n | ，
| m | | n| (t 1)2 4t2 5
1
因为0 t 1，解得 t . ………………………………………………（15 分）
2
18．（本小题满分 17 分）
c 2
解：（1）令 F( c，0)，由 e ，得 a 2c，b c，则直线 FB 的斜率 k 1，
a 2
由直线 FB 过点 P(1，2) ，得直线 FB 的方程为 y x 1，因此b c 1，a 2 ，
x2
所以椭圆C的标准方程为 y2 1 .………………………………………………（5 分）
2
（2）如图 2，由题设知，直线 l 的斜率不为 0，设直线 l 的方程为 x my 1，m 1，
x my 1
由 2 2 ，消去 x 并整理得， (m
2 2)y2 2my 1 0 ，
x 2y 2
显然 0 .
2m 1
设M (x1，y1)，N(x2，y2 ) ，则 y1 y2 ，y1y2 .
m2 2 m2 2
………………………………………（8 分）
图 2
设 MPF NPF ，直线MP 的倾斜角为 ，
π
直线 NP的倾斜角为 ，由直线 FP 的斜率 k 1知直线 FP 的倾斜角为 ，
4
π π π π
于是 ， ，即有 ，显然 ， 均不等于 ，
4 4 2 2
高二数学 XG 参考答案·第 6 页（共 9 页）
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π
sin
sin 2
则 tan tan

1，即直线MP，NP 的斜率满足 k
π MP
kNP 1 .
cos
cos
2
………………………………………………（12 分）
y1 2 y2 2
由 k k 1MP NP 1，得 ，即 (x1 1)(x2 1) (y 2)(y 2) 0， x1 1 x
1 2
2 1
则 (my1 2)(my2 2) (y1 2)(y2 2) 0，整理得 (m
2 1)y1 y2 (2m 2)(y1 y2 ) 0 ，
m2 1 (2m 2) 2m 1
即 0 ，于是
2 2 5m
2 4m 1 0，而m 1，解得，m ，
m 2 m 2 5
1
所以直线 l 的方程为 x y 1，即5x y 5 0 .
5
………………………………………………（17 分）
19．（本小题满分 17 分）
解：（1） f (0) e0 cos0 1 1 1，即切点为 (0，1) .
f (x) ex cos x ex sin x ex (cos x sin x)，
将 x 0代入 f (x)，得 f (0) e0 (cos0 sin 0) 1 (1 0) 1，即切线斜率 k 1.
由点斜式 y y0 k(x x0 ) ，代入 (x0，y0 ) (0，1) ， k 1.
得切线方程为 y 1 1 (x 0)，整理为 y x 1 .
………………………………………………………………………（4 分）
π
（2）由题意知，存在 x ，0 ，使得 e
x cos x t(sin x 1)≥0 成立，
3
π 3
因为 x ，03
时， sin x 1 1 ，1 ，即 sin x 1 0，
2
π ex cos x
故原不等式等价于存在 x ，0 ，使得 t≤ .
3 1 sin x
………………………………………………（5 分）
ex cos x π
令 h(x) ，其中 ≤x≤0，
1 sin x 3
高二数学 XG 参考答案·第 7 页（共 9 页）
{#{QQABDYiQogiAAgBAARgCEQGCCEOYkhAAAIgOQFAcoAAACQFABAA=}#}
ex (cos x sin x)(1 sin x) ex cos2 x x (cos x sin x)(1 sin x) (1 sin x)(1 sin x)h (x) e
(1 sin x)2 (1 sin x)2
ex (cos x 1)(1 sin x)
≤0 ，
(1 sin x)2
π
且 h (x)不恒为零，故函数 h(x) 在 ，0 上单调递减，
3
π
1 π
e 3 π
π e 3
则 h(x) h
2
max (2 3)e
3 ，
3 3 2 3
1
2
π
故实数 t 的取值范围是 ，(2 3)e 3 .

……………………………………………………………（9 分）
（3） x2027 x2026 2π .
理由如下：由 f (x) g(x) 0，可得 ex cos x sin x 1，
令 (x) ex cos x sin x 1，则 (x) ex (cos x sin x) cos x .
π π
因为 x 2nπ ，2nπ (n
*
N )，则 sin x cosx 0，
3 2
π π
所以
*
(x) 0 ，所以函数 (x)在 2nπ ，2nπ (n N ) 上单调递减，
3 2
π
π 1 2nπ 3 π
因为 2nπ
3
e 1 0， 2nπ 2 0，
3 2 2 2
π π
所以，存在唯一的 xn 2nπ ，2nπ ，使得 (xn ) 0 ，
3 2
x
即 e n cos xn sin xn 1 0 ，
…………………………………………………………（13 分）
x
同理可得 e n 1 cos xn 1 sin xn 1 1 0 ，
π π
且 xn 1 2π 2nπ ，2nπ .
3 2
高二数学 XG 参考答案·第 8 页（共 9 页）
{#{QQABDYiQogiAAgBAARgCEQGCCEOYkhAAAIgOQFAcoAAACQFABAA=}#}
因为 x xn 1 2π xn 1n 1 2π xn 1，所以 e e ，
π π
因为 xn 1 2(n 1)π ，2(n 1)π ，所以 cos xn 1 0，
3 2
x 2π所以 (x n 1n 1 2π) e cos(xn 1 2π) sin(xn 1 2π) 1
xn 1 2π x 2π x e cos xn 1 sin xn 1 1 e
n 1 cos xn 1 e
n 1 cos xn 1
x 2π x
(e n 1 e n 1 )cos xn 1 0 (xn ) .
π π
因为函数 (x)在 2nπ ，2nπ 上单调递减，
3 2
故 xn 1 2π xn ，即 xn 1 xn 2π，
取 n 2026，则 x2027 x2026 2π . ………………………………………………（17 分）
高二数学 XG 参考答案·第 9 页（共 9 页）
{#{QQABDYiQogiAAgBAARgCEQGCCEOYkhAAAIgOQFAcoAAACQFABAA=}#}5.不良的习惯往往会对学习成绩造成一定的影响。一到周末，李明同学就会在电子游戏、
10.已知抛物线C:,y2=2x的焦点为F,直线1过点F且与抛物线C交于P,Q两点，其中
下关一中教育集团2025~2026学年高二年级下学期期中考
看小说、追网剧三项中等可能的选择一个项目沉浸进去.若三个项目对下一次考试成
M为PQ的中点，O为坐标原点，则下列说法正确的为
数学试卷
销造皮下降的概率分别为号、了，则李明同学在下一次考试中成镇下降的既率为
人若直线1的方程为)=分则3.刂
本试卷分第【卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷第1页至第3页，
7
第Ⅱ卷第3页至第6页。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试
B.2
C.7
D.
-号
6.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且b2+c2-a2-bc=0.若sinB·sinC
用时120分钟.
=sinA,则△ABC的形状是
C.点M的轨迹方程为2)2=2x-1
A.等腰且非等边三角形
D.|PQ|2=4|0M2+3
第I卷（选择题，共58分）
B.直角三角形
11.已知数列{a,}是首项为1的正项数列，前n项和为S。,若对任意的正整数n都有
注意事项：
C.等边三角形
1,答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答
a1≤KS。,则称a.}是“K数列”.下列结论正确的为
D.等腰直角三角形
题卡上填写清楚
A.若an是公差为2的等差数列，则{an}是“3数列
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
7已知双自-若-10,0)能轴的两个确点分到为品。么，左，右能点分别为
B.若a是“2数列”，则不存在正整数n≥2，满足a>2·3-2
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号在试题卷上作答无效
3
F,B,若cos∠FB,B:=-了，则双曲线的离心率为
C若a,是“K数列，且a,=2(2+5-),则K的最小值为4
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中
C.5
只有一项是符合题目要求的)
D.任给11复数：子的共能复数为
8.已知实数x,y,z满足1.5+x=log12+y=siz+z,则下列关系不可能成立的为
A.xB.x=y第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
A.2+2i
B.2-2i
C.1+i
D.1-i
C.yD.y2.集合M=xy=ln(x-1)},集合N={yy=e+2},则MUW=
二、选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项
注意事项：
A.(2,+)
B.(1,+)
符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效
C.(1,2)
D.R
9.下列各叙述正确的为
3.已知非零向量d,6满足1a1=2161,且(a-6)⊥6，则a与6的夹角的余弦值为
A.数据1,3,5,7,9的第40百分位数为4
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）】
号
B.甲乙等5个人站成一排拍照，则甲乙不相邻的站法数为72种
12.(2+x2)(1-x)4的展开式中x2的系数为
(用数字作答)
c若随机变量x-3.号引，则8(241)=3.241)-号
13.已知函数fx)=me+ne为奇函数，则6m2+12n的最小值为
4函数e)=n2r*5cam2:在区间p,君引内的原值不可能为
D.已知函数f(x)和g(x)的定义域相同，则“函数f(x)与g(x)均为增函数”是“函
14.在直角三角形ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,点P为其内切圆上一点，则PA2+PB
A.2
B.1
C.√3
D.1.8
数f八x)+g(x)为增函数”的充要条件
+PC2的取值范围为
高二数学XG·第1页（共6页）
高二数学XG·第2页（共6页）
高二数学XG·第3页（共6页）请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效
18.(本小题满分17分)
19.(本小题满分17分)
(3)）
解：(1)
解：(1)
(2)
(2)
请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效XG
下关一中教育集团2025~2026学年高二年级下学期期中考
请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效
数学答题卡
(2
17.（本小题满分15分)
(1)
姓
名
班
级
正确填涂
系
准考证号
错误填涂
考场号
座位号
例

1.答圈前。考生先将自已的姓名、考号填写清楚，并认真核准条形码上的考
号、姓名，在规定的位置贴好条形码。
2.第【卷答圆区城使用2B铅笔填欲，第Ⅱ卷答题区域用黑色碳素笔书写，字体
意事项
工整、笔迹清楚，按照题号顺序在各题目的答圈区圾内作答，超出答圈区域
书写的答案无效：在草稍纸、试卷上答避无效。
3保持卡面清沽，不璎折叠、不要养破，第1卷答恩区域修改时，用橡皮擦擦
干净，第Ⅱ卷答恩区域修政禁用涂改胶条。
请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效
缺考标记口
〔涂说明：第南帝酷整素是费餐髻影)
16.(本小题满分15分)
解：(1)
1
四围四四
5田四四
9 围 D
2
D
；
H回 D
10因西
四回四四
11围 四
4团网
8H 四
(2)
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.
13.
(2)
14.
请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效
四、解答题（共77分）
15.(本小题满分13分)
解：(1)
请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效下关一中教育集团2025~2026学年高二年级下学期期中考
数学参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B D B B C A C
【解析】
1．
2．，故选B．
3．设与的夹角为，，，，，
又，，故选D．
4．，故选B．
5．
，故选B．
6．在中，，. ，．
，由正弦定理得，代入，，解得，的形状是等边三角形，故选C．
7．设，则，由，
整理得，所以，整理得，所以，故选A．
8．则题意转
交点横坐标的大小关系，，故选C．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
题号 9 10 11
答案 ABC ACD ABC
【解析】
9．B，
，故选ABC．
10．
故选ACD．
11．
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
题号 12 13 14
答案
【解析】
12．
13．
14．
四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）
解：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，且．
依题意得，解得，则或．
又因为，所以，解得， ……………………………………（4分）
故，． ………………………………………………（6分）
（2）因为，所以，
则. ………（13分）
16．（本小题满分15分）
解：（1）从10所高校中，任取4所，共有种取法，
恰有2所985高校的取法为：，
该考生恰好选到2所985高校的概率为. ……………………（6分）
（2）设为该考生选到985高校的个数，则的取值为0，1，2，3．
，
，
，
， ………………………………………………（12分）
0 1 2 3
则
. ……………………………………（15分）
17．（本小题满分15分）
（1）证明：因为在矩形中，为的中点，
所以.
因为，所以.
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
因为平面，所以.
又平面，
所以⊥平面. ………………………………………………（6分）
（2）解：如图1，取的中点，连接，
为的中点，则.
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面.
取的中点，连接，则，
由（1）知，，所以⊥.
(
图
1
)以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，
则
由（1）知平面，
则平面的一个法向量可设为
………………………………………（9分）
因为且，所以，
，
.
设平面的法向量为，则，
即，取，则，
即平面的一个法向量为
…………………………………………………（12分）
因为二面角的正弦值为
所以，
因为，解得. ………………………………………………（15分）
18．（本小题满分17分）
解：（1）令，由，得，则直线的斜率，
由直线过点，得直线的方程为，因此，
所以椭圆的标准方程为.………………………………………………（5分）
（2）如图2，由题设知，直线的斜率不为0，设直线的方程为，
由，消去x并整理得，，显然.
设，则.
(
图
2
)………………………………………（8分）
设，直线的倾斜角为，
直线的倾斜角为，由直线的斜率知直线的倾斜角为，
于是，即有，显然均不等于，
则，即直线的斜率满足.
………………………………………………（12分）
由，得，即，
则，整理得，
即，于是，而，解得，，
所以直线的方程为，即.
………………………………………………（17分）
19．（本小题满分17分）
解：（1），即切点为.
将代入，得，即切线斜率.
由点斜式，代入，.
得切线方程为，整理为.
………………………………………………………………………（4分）
（2）由题意知，存在，使得成立，
因为时，，即，
故原不等式等价于存在，使得.
………………………………………………（5分）
令，其中，
，
且不恒为零，故函数在上单调递减，
则，
故实数的取值范围是.
……………………………………………………………（9分）
（3）.
理由如下：由可得，
令，则.
因为，则，
所以，所以函数在上单调递减，
因为，，
所以，存在唯一的，使得，
即，
…………………………………………………………（13分）
同理可得，
且.
因为，所以，
因为，所以，
所以
.
因为函数在上单调递减，
故，即，
取，则. ………………………………………………（17分）
2

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