资源简介

哈三中 2025—2026 学年度下学期
高一学年 6 月月考数学试卷
考试说明：（1）本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 150 分．
考试时间为 120 分钟；
（2）第 I 卷，第 II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．
第 I 卷（选择题, 共 58 分）
一、单选题：共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
z
1． 已知复数 z 1 i，则 =
i
A．1 i B．1 i C． 1 i D． 1 i
2． 如图， O A B 是水平放置的△OAB的直观图，O A 4，O 'B ' 3，则原平面图形
△OAB的面积为
A．3 2 B 3 2． C．12 D．6
4
3． 已知四面体 S ABC的 4个顶点都在球O的表面上，若 SA 平面 ABC，
AC BC ， SA AC 3， BC 4，则球O的表面积为
A．17 B． 25 C．34 D．50
4． 已知两条不同的直线 a,b，两个不同的平面 , ，下列说法正确的是
A．若 a ，b a，则b∥
B．若 a∥ ，b a，则b
C．若 a∥ ，b∥ ， ∥ ，则 a∥b
D．若 a ，b ， a b，则
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5． ABC的内角 A ，B，C的对边分别为 a,b,c，若 a 10， A 且
4
6bsinC 5csin 2B，则 c
A．14 B．15 C．16 D．17
6． 某圆台的轴截面 ABCD是一个上底CD为2，下底 AB为 4，腰长为 2的等腰梯形，
M 为圆台下底面圆周上一点，且 AM 2，则二面角C AM B的余弦值为
A 2 13 B 3 13． ．
13 13
2
C． D 5．
3 3
7． 直三棱柱 ABC A1B1C1中，AB AA1 BC 2，AB BC，E为线段CB1上一
动点，则 AE EC1的最小值为
A． 2 6 B．2 2 C． 2 3 D． 2 3
1
8． 已知 a b a b 1

，若向量 c 满足 a c · b c 0，则 a c 的最大值为2
A 1 2
3
． B
3
．2 C．1 D．
2 2 2
二、多选题：共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9． 三角形 ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a,b,c，且3bcosC 3ccosB a 2，
下列说法正确的是
A． a 3
B．若b 5，c 6，则三角形 ABC为锐角三角形

C．若 B ，b 3 3，则 A 3 6

D．若 A ，且三角形 ABC有两解，则b
4 3,3 2
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10．如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中， BC1与 B1C相交于点O，
A1AB A

1AC BAC 60，A1A 2, AB AC 1，则下列说法正确的是
A． AO BC
B AO 11．
2
C． AO与 AB 3 11所成角的余弦值为
22

D． AO AA1 3
11．已知正方体 ABCD A1B1C1D1棱长为 2， E为边 AD中点，P为空间内一动点，
下列说法中正确的有
A．当 P在线段 B1C上运动时，三棱锥 P A1DE体积为定值
B．当 P在线段 AC上运动时，存在点 P使直线D1P与 AD成角为60
C．当 P在底面 ABCD内运动时，若 B1E CP，则 P轨迹长度为 2
D P ΔABC 2 14 2 2．当 在三角形 1 内运动，且D1P 时，则 P轨迹长度为 3 3
第Ⅱ卷（非选择题, 共 92 分）
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．将答案填在答题卡相应的位
置上．
12．已知向量 a、b满足 a b a 2b ，若b 为单位向量，则 a b ________．
13．已知正三棱台的上底面边长为 2，下底面边长为 4，侧棱长为 2，则此三棱台的体积
为________．
14．已知四面体 ABCD外接球半径为 2 3，AB BC 2 3，AC 4 2，BD 2 6，
则该四面体体积最大值为________．
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四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或
演算步骤．
15．（13分）
sin B sinC
已知三角形 ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a,b,c，且 tan A ．
cos B cosC
（1）求 A；
（2）若 a 6 3， ABC的面积为16 3，求 ABC的周长．
16．（15分）
如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD为直角梯形，AD / /BC ，AB AD，
侧面 PAB为等边三角形， AD 2BC 2AB 4， E为 PD中点．
（1）求证：CE / /平面 PAB；
（2）设 F 为 AB中点， PC 2 2，求直线CF 与 PA所成角的余弦值．
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17．（15分）
如图，在平面四边形 ABDC 中， BD 1， ABC为等边三角形．
1 AB 5 3（ ）若 ， AB BD，求 sin BCD；
2
（2）若CD 3，求四边形 ABDC 面积 S的取值范围．
18．（17分）
在边长为 4的菱形 ABCD中， BAD 60 ，AC与 BD相交于点 O. 将△ABD沿 BD
折起，使得点 A到达点 P的位置，得到如图所示的三棱锥 P BCD，M为线段 PC上
一点．
（1）证明：平面 BDM 平面 POC；
（2）若二面角 P BD C 的大小为120 ，直线DM 与平面PBC所成角的正弦值为
42
， PM MC .
7
PM
①求 的值；
MC
②求平面 BDM与平面CDM夹角的余弦值．
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19．（17分）
如图，直角梯形 ABCD中， BC / /AD， AB AD， BC 6， AD 12， AB 4，
点 E为线段 BC (不含端点 B )上的一点，过 E作 AB的平行线交 AD于F ，将矩形
ABEF翻折至与梯形 ECDF垂直，得到六面体 ABCDEF．
（1）若CF BD，求 BE的长；
（2）求异面直线 BC与 AD所成角余弦值的最小值；
（3）若 BE 4，点Q在△BCD内部（含边界）运动，满足四棱锥Q FECD与三
棱锥Q BEF的体积相等，求点Q轨迹长度．
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{#{QQABYYQ9wgK4gBSACL5qAUWgCEmYkpAhLCgkgVCcKAQqiAFABIA=}#}2026 年高一下 6 月月考数学试题答案
一、单选题
1~8 BCCDABAC
二、多选题
9. AC 10. ABD 11. ABD
三、填空题
1
12 14 2 4 6 12 2． 13． 14．
2 3 3
四、解答题
15.
sin A sin B sinC
（1）由已知
cos A cos B cosC
交叉相乘，整理得 sin(A B) sin(C A)
所以 A B C A或 A B C A （舍）
A 故
3
1
（2）由已知 S bc sin A 3 bc 16 3 ，得bc 64 ………①
2 4
2 2 2
由余弦定理， a b c 2bccos A
26 3 b c 2 3bc ………….②
由①.②可得b c 10 3
所以三角形 ABC 的周长 L a b c 16 3
16.
(1)证明：取 PA中点G，连接BG,GE,EC
{#{QQABYYQ9wgK4gBSACL5qAUWgCEmYkpAhLCgkgVCcKAQqiAFABIA=}#}
EG / /AD,EG 1 AD , BC / /AD,BC 1 AD
2 2
BC / /GE,BC GE
GBCE为平行四边形
GB / /CE、
又 CE 平面PAB,BG 平面PAB
CE / /平面PAB
(2)取 PB中点H ，连接 FH ，则 HFC即为所求角
PF 2 FC 2 PC 2 PF FC
又 PF AB,AB CF F
PF 平面ABCD
又 PF 平面PAB
平面PAB 平面ABCD
又 BC AB
BC 面PAB BC PB
CH 5
CF 5,HF 1
cos FHC 5
10
17.
1 △BCD CD (5 3 5 3 7（ ）在 中， )2 12 2 1 cos30 ，
2 2 2
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CD BD 7 1 sin BCD 1又因为 ，即 ，解得 ；
sin CBD sin 2 BCD sin30 sin BCD 7
（2）设 BDC
在△BCD中， BC 2 12 32 2 1 3 cos 10 6cos ，
S 3 2 3 5 3 3 3 ABC BC 10 6cos cos ，4 4 2 2
S 1 1 BCD BD CD sin 1 3 sin
3
sin ，
2 2 2

S S S 5 3 3 3
3 π 5 3
ABC BCD cos sin 3sin

2 2 2
，
3 2
0, ，

S 3 ,3 5 3 2 ．
18.
（1）在菱形 ABCD中， AC BD，O为 BD中点，
由题可知 PB PD，所以OP BD，
因为OC OP O，OC,OP 平面 POC，
所以 BD⊥平面POC
又 BD 平面 BDM ，所以平面 BDM 平面 POC .
（2）① 以 O为原点，OB，OC所在直线分别为 x，y轴，过点 O且垂直于平面 BCD的
直线为 z轴，建立如图所示的空间直角坐标系
二面角 P BD C的大小为 120°，即 POC 120
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因为 PB PD 4， BPD 60 ， 所以 BD 4，OP OC 2 3，
则 P(0, 3,3)， B(2,0,0)，D( 2,0,0)，C(0,2 3,0)，
所以 PC 0,3 3, 3 ， PD 2, 3, 3 ，

设 PM tPC 0,3 3t , 3t ，则M 0,3 3t 3,3 3t ，所以DM 2,3 3t 3,3 3t .

PC n 3 3y 3z 0
设平面 PBC 的法向量为n x, y, z ，则 ，
PB n 2x 3y 3z 0
y 1 取 ，得 x 3， z 3，则 n 3,1, 3 .
设直线DM 与平面PBC所成角为 ，

DM n
4 3 42
则 sin cos DM ,n 2 ，DM n 4 3 3t 3 (3 3t )2 7 7
1 2
整理得9t 2 9t 2 0，解得 t 或 t ，
3 3
1 1 PM 1
当 t 时， PM PC，则 ；
3 3 MC 2
2
当 t 时， PM
2
PC PM，则 2 .
3 3 MC
PM
因为 PM MC , 所以 2
MC

②设平面 BDM 的法向量为n1 x1, y1, z1 ，则n1 0, 1, 3

设平面 CDM 的法向量为n2 x2 , y2 , z2 ，则n2 3, 1, 3
设直线DM 与平面PBC所成角为 '， cos ' cos n 1 ,n
7
2 7
19.
（1）连接DE，平面 ABEF 平面 ECDF，交线为 EF，
由 BE EF，有 BE 平面 ECDF，又CF 平面 ECDF，所以 BE CF ,
当CF BD， BE BD B，所以CF 平面 BDE，
又DE 平面 BDE，所以CF DE，
{#{QQABYYQ9wgK4gBSACL5qAUWgCEmYkpAhLCgkgVCcKAQqiAFABIA=}#}
此时 FEC与△DFE相似，故DF EC EF 2，
设 BE t 0 t 6 ，由 12 t 6 t 16，解得 t 4或 t 14 (舍)，所以 BE 4 .
（2）过C作 EF的平行线交DF于点G，连接 AG，由CG / /EF / /BA，且CG EF BA，
得四边形CGAB是平行四边形，故 BC / /AG，所以 DAG即为异面直线 BC与 AD所成
的角，
设 BE t 0 t 6 ，
tan DAG tan DAF GAF tan DAF tan GAF
1 tan DAF tan GAF
12 t 6 t
t t 3 112 t 6 t 36 1 ，1 t 9 2 36 9
t t t
当且仅当 t 6取等
2
所以锐角 DAG正切值的最大值为1，此时余弦值有最小值 ，
2
所以异面直线 BC与 AD 2所成角余弦值的最小值为 .
2
（3） BC 2 5，CD 2 13， BF 4 2， BD 4 6
易知点Q轨迹为两平面的交线，所以轨迹为线段，设轨迹与线段 BC相交于点Q1与 BD相
交于点Q2。
VQ1 CEF S V CEF 1 1 V Q1 CEF
V S 5，因为 Q1 FECD
VQ ，所以 ，又1 BEF
Q1 FECD FECD
VQ BEF 51
VQ V1 CEF C Q1EF CQ 1 5 5 5
V V ，所以 BQ1 BC Q1 BEF B Q1EF BQ1 6 3
VQ DEF S 4 V2 DEF Q2 DEF 4
同理， VV S 5 ， Q FECD
VQ BEF ， V 5，2 2Q2 FECD FECD Q2 BEF
VQ2 DEF V D Q2EF DQ 2 5 20 6
VQ BEF V
，所以 BQ2 BD
2 B Q EF
BQ
2 2 9 9
{#{QQABYYQ9wgK4gBSACL5qAUWgCEmYkpAhLCgkgVCcKAQqiAFABIA=}#}
cos CBD BC
2 BD2 CD2 20 96 52 4

2BC BD 2 20 96 30
QQ BQ 2 BQ 21 2 1 2 2BQ1 BQ cos CBD
5 5
2 3
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