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山东九五高中协作体2026届高考最后一卷数学试卷
一、单选题
1．已知复数z满足：，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则（ ）
A． B． C．3 D．-3
3．已知集合，若 ，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．已知一组数据，，，，的平均数为3，方差为2，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．已知圆台上、下底面半径分别为1和3，其母线与底面所成角的正弦值为 ，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．已知三次函数 ，则 “ ” 是 “ 是 的极大值点” 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．从1，2，3，...，20中任取3个数，则这三个数恰好可以构成等差数列的情况有（ ）
A．45种 B．60种 C．75种 D．90种
8．已知分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与交于两点，线段的中点在轴上，且，若，则的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知分别为双曲线的左、右焦点，为的渐近线上一点，且，则（ ）
A．的方程为 B．的离心率为2
C．点到直线 的距离为3 D．的面积为
10．在矩形 中， ，将沿折起，使点到达点的位置，得到三棱锥 . 若，则（ ）
A． B．三棱锥外接球的表面积为
C．直线与直线所成的角为 D．平面与平面的夹角为
11．盒子中有个球，其中个黑球，个白球 (其中一个白球记为甲)， . 每次从中随机抽取一个球，不放回，记累计取出个黑球时，取出的球的总数为随机变量，则（ ）
A．第2次取出的球是黑球的概率为
B．最后一个黑球恰好在第次被取到的概率为
C．白球甲在最后一个黑球之后被取出的概率为
D．
三、填空题
12．若函数为偶函数，则的最小值为_____.
13．在 中， ， ，则 的值为_____.
14．已知集合 中的最大元素为2，且 ，对任意的 ，则集合中所有元素的和为_____.
四、解答题
15．设 角 的对边分别为 ，已知 .
(1)求 ；
(2)求 面积的最大值.
16．已知函数 .
(1)讨论 的单调性;
(2)若 恰有两个不同的极值点 ，证明: .
17．已知抛物线 的焦点为 ，点 ， 为 上一点，当 轴时， .
(1)求 的方程:
(2)当 在 上运动时，直线被以为直径的圆所截得的弦长为定值，求 的值.
18．如图， 是 的直径， 与 所在平面垂直， 是 上的点， 点 为线段 的中点，点 在 上的射影为 .
(1)求证: ；
(2)点 在 上运动.
（i）证明: 点的轨迹是圆:
（ii）当三棱锥体积最大时，求二面角 的大小.
19．标号为的12位同学，围着圆桌入座进行传球游戏. 将他们分成， 三组，其中第组包含四位同学. 在每次传球中，拿球的同学分别以的概率将球传递给邻座二人中的一位. 已知球最初在手中，当其将球传出后，视为第一次传球结束. 对于，，，设为第次传球后，球在手中的概率；为第次传球后，球在组某一位同学手上的概率.
(1)求与的值；
(2)求与；
(3)证明：.
参考答案
1．B
【详解】由，
故选：B
2．A
【详解】由，得，所以，
所以，所以，解得.
3．C
【详解】由，所以或，解得或，
当时，，所以，满足题意，
当时，，所以，不满足题意，
所以.
4．D
【详解】因为平均数为3，所以，解得：①，
因为方差为2，所以，
化简得：②，
联立①②得：，或，，则.
5．C
【详解】
如图所示，如图作出轴截面，为上下底面圆心，为截面的斜边，即圆台的母线.
由题意得：，，则高，
因为母线与底面所成角的正弦值为，所以，则，
则圆台体积.
6．A
【详解】由题设，，
若，则，故当或时，，当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
故为的极大值点，从而充分性成立；
当时，有，则，
当或时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；
此时为的极大值点，但条件并不成立，从而必要性不成立；
因此“ ” 是 “ 是 的极大值点” 的充分不必要条件.
7．D
【详解】由成等差数列，可得，所以的和应为偶数，
所以要么都为奇数，要么都为偶数，
所以1，2，3，...，20中任取3个数，则这三个数恰好可以构成等差数列的情况有种.
8．C
【详解】因为分别为，的中点，则，
且，则，即，可得，
又因为，则，可知为等边三角形，
且，则，，
可得，，即，，
则，所以椭圆的标准方程为.
9．ABD
【详解】已知焦点，得双曲线半焦距，即 ，
又由双曲线渐近线为，得 ，即，
代入，得，
因此双曲线的方程为，故A正确；
离心率，故B正确；
到直线的距离： ，故C错误；
由，可知在以为直径的圆上，
联立渐近线：代入得，
可得交点纵坐标，
即的面积为： ，故D正确.
10．AC
【详解】
A选项，因为，且，所以平面，则，所以是直角三角形，
又因为，，所以，所以A选项正确；
B选项，由A选项分析得，又因为，，所以是直角三角形，
又因为，，所以，所以是直角三角形，
分别作和的中点和，则，因为是直角三角形，
所以，同理可得，
则点即为三棱锥外接球的球心，且外接球半径为，
所以外接球表面积，所以B选项错误；
C选项，，
又因为直线与直线所成的角范围是，所以夹角为，所以C选项正确；
D选项，如图所示，分别作，，则异面直线和的夹角即为平面与平面的夹角，
由三角形面积公式可得，所以，
同理可得，则,
而，
而，
其中，，
，，
所以，
所以，即平面与平面的夹角为，所以D选项错误.
11．ACD
【详解】在不放回抽样中，每次抽取时每个球被抽到的概率相等，且与顺序无关，
由于每次抽取是等可能的，且不放回，第2次取到黑球的概率等于黑球的比例即 ，所以A正确；
最后一个黑球恰好在第次被取到，说明前次取到了个黑球和个白球，
第次取到黑球，前次取到个黑球和个白球的情况数为，
从个球中取个球的情况数为，
第次取到黑球的概率为，
根据古典概型概率公式，可得最后一个黑球恰好在第次被取到的概率为：
，所以B错误；
考虑白球甲和个黑球的排列情况，一共有个位置，白球甲在最后一个黑球之后被取出，
即白球甲的位置大于最后一个黑球的位置，其概率为，所以选项C正确；
随机变量的取值为 ，
当( )时，说明前次取到了个黑球和个白球，
第次取到黑球.前次取到个黑球和个白球的情况数为，
从个球中取个球的情况数为，第次取到黑球的概率为，
根据古典概型概率公式，可得，
根据期望公式，可得，所以选项D正确.
12．
【详解】由辅助角公式可得：，
因为为偶函数，所以，解得，
当时， 取得最小值为.
13．
【详解】取的中点为，连接，
由，所以，
所以在上的投影向量的大小为，
所以.
14．2026
【详解】将集合的元素从小到大排列为：，
因为对任意的 ，由最大元素为，
假设最小元素不为，即，
则对任意的 ，则，
此时不可能属于，所以最小元素为，即，
设A中最小正元素为d，由题意，任意两个元素差的绝对值仍属于A，
因此A中所有元素都是d的倍数，且所有元素可表为：，其中最大元素， ，
此时对任意两个元素的差的绝对值，
因为，所以必存在,满足，即，符合题意.
此时所有元素的和为：.
15．(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理， ，
所以 ，故 ；
（2）由余弦定理， ，
故 ，即 ，
当且仅当 时等号成立，
所以 ，
所以 面积的最大值为 .
16．(1)当时，在和上单调递增，
在上单调递减；
当时，在上单调递增.
(2)由 (1) 可知 ，
因为 是的极值点，故，
即是方程的两个不同的实数根，
由韦达定理可得，则，
，
则原不等式等价于，
求导可得，
设，求导可得，
当时，，单调递减，即单调递减，
所以，故在上单调递减，
因此，即.
【详解】（1），
求导可得，
分类讨论：
当时，则有两个正根，，
故在和上单调递增，
在上单调递减；
当时，，故在上单调递增.
综上所述，当时，在和上单调递增，
在上单调递减；
当时，在上单调递增.
（2）略
17．(1)
(2)
【详解】（1）当 轴时，，所以，
所以点坐标为 ，
因为，所以，
所以的方程为；
（2）设，而,则以为直径的圆的圆心为，
设圆心到直线的距离为，圆的半径为，
则，
，
设直线被以为直径的圆所截得的弦长为，
则 ，
因为当 在 上运动时，直线 被以 为直径的圆所截得的弦长为定值，
所以 ，得 ，此时即，
即此时弦长为定值
18．(1)因为平面，平面，
所以，
因为，且，所以平面，
因为平面，所以，
因为，且，所以平面，
因为平面，所以.
(2)（i）取的中点为，取的中点为，
连接，，，如下图所示，
因为，所以，
所以，故点在以为直径的球面上,
由上问知，即，
所以，故在以为直径的球面上，
因为，且，
故的轨迹是分别以，为直径的球的交线，该交线为圆，
故点的轨迹是圆.
（ii）
【详解】（1）略
（2）（i）略
（ii）设，则，
设，则，
过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，如下图所示，
由于的面积确定，所以当三棱锥体积最大时，
即点到平面的距离最大，
因为平面，平面，所以，
因为，所以平面，
所以为点到平面的距离，
故
，
得到，
当且仅当，即时等号成立，
此时，，
故点到平面的距离最大为，
因为，为中点，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，所以平面，
因为平面，所以，
所以为到直线的距离，
在直角中，，，
所以，
设二面角的平面角为，则，解得，
所以二面角的大小为.
19．(1)，
(2)，
(3)由 (2) 知，，
若证，只需证，
对于组，200次传球后，球只可能在手中，
考虑前两百次传球所有情况，共有种不同的事件，且每个事件发生的概率为，
因为，所以要证，只需证，
记“200次传球后球在手中”为事件，“200次传球后球在手中”为事件，
对任何一个事件，传球过程中，球必然经过或者，
设第一次经过他们中某一个人手中发生在第次传球后，
此后，如果将第到第200次传球中每次沿圆桌顺时针方向的传球换成沿逆时针方向的传球；并且将沿逆时针方向的传球改成沿顺时针方向的传球，
则第200次传球后的结果是球落在手中，这个新的传球路径对应事件中的一种情形，
因此，我们可以将事件中的任意一种情形，对应到事件中的一种情形，且这种对应是唯一的，
另外考虑，
故事件中的基本事件数量严格多于事件中的基本事件数量，
所以，故命题得证.
【详解】（1）因为代表第2次传球后，球在手中的概率，
对应和两个事件，
所以.
又因为代表第3次传球后，球在组某同学手中的概率，
对应和两个事件，
所以.
（2）记为事件“次传球后，球在第组同学手中”，
第次传球后，球在组的概率分别为，，，
由对称性可知：，
又因为，则，
可得，且，则，
可知数列是以首项为，公比为的等比数列，
可得，即，
由题意可知201次传球后，球在手上，则为偶数，
因此对于组，201次传球后，球只可能在两人手中，
他们的位置与都恰好隔着2位同学，
因此根据对称性可得.
（3）略

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