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广东河源市河源中学等校2025-2026学年高二年级下学期4月份学情调研数学试题
1．（　　）
A． B．2 C． D．2026
【答案】B
【知识点】排列数的基本计算；组合数的基本计算
【解析】【解答】解：．
故答案为：B
【分析】本题考查排列数与组合数的计算公式，核心是利用公式化简求解比值。
2．曲线在点处的切线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】导数的几何意义；简单复合函数求导法则；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：因为，所以，所以，又，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
故答案为：C
【分析】本题考查导数的几何意义，解题核心是先求函数在点x=0处的导数值（切线斜率）和函数值，再用点斜式写出切线方程。
3．设是的导函数，已知，则（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：由，求导得，则，解得.
故答案为：A
【分析】本题考查导数的运算，核心思路是先对函数求导，再将x=1代入导函数，建立关于f'(1)的方程求解。
4．甲计划按照一定的先后顺序写一篇介绍8个文化地标的文章，若第一个介绍的是地标，且地标的介绍顺序必须相邻（中间不能插入其他地标，内部顺序可自由调整），则该文章关于这8个文化地标的介绍顺序共有（　　）
A．360种 B．720种 C．1440种 D．2160种
【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：第一个介绍的是地标，则只需要排列剩下个文化地标，
先将这三个地标捆绑，再和其他4个地标排列，共有种．
故答案为：B
【分析】本题考查排列组合中的捆绑法，解题核心是先固定第一个元素，再将相邻元素捆绑，分步计算排列数。
5．学校图书馆有个不同的借阅窗口（编号为），现将本完全相同的图书放到这个窗口展示，每个窗口可放多本也可不放，则不同的摆放方法共有（　　）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】C
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：分种情况讨论：①本书放在同一个窗口，有种摆放方法；
②本书放在个窗口，一个窗口放本，另一个窗口放本，有种摆放方法；
③本书放在个窗口，每个窗口各放本，有种摆放方法，
所以不同的摆放方法共有种．
故答案为：C
【分析】本题考查隔板法或分类讨论法，解题核心是根据3本相同图书的不同分配方式，分情况计算摆放方法数。
6．函数的大致图象为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：函数的定义域为，且，所以为奇函数，其图象关于原点对称，B错误；
当时，，则，由，得；由，得，故在上单调递增，在上单调递减，排除C；当时，，AC错误.
故答案为：D．
【分析】本题考查函数图象的判断，解题核心是通过奇偶性、单调性、特殊点函数值三个维度来排除错误选项。
7．已知三次函数，若不等式的解集为，则实数的值为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为，所以，
令，得或；令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以的极大值为，极小值为，
则当时，，当时，解方程，即，解得，所以，
所以当时，；当时，.
综上，不等式为，其解集为，即．
故答案为：A
【分析】本题是三次函数不等式问题，解题核心是先通过导数分析函数单调性与极值，再结合函数图象确定不等式解集。
8．设，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：令，则，令，得；令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，
得，故，
所以，即.
【分析】本题核心是构造辅助函数，利用导数判断单调性，再结合单调性比较三个数的大小。
9．已知m，n均为正整数，且，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】排列数的基本计算；组合数的基本计算
【解析】【解答】解：A：根据组合数的性质：可得，故A正确；
B：排列数公式：，，只有当时等式才成立，一般情况下不成立，故B错误；
C：，左右相等，与右边相等，故C正确；
D：左边：，与右边相等，故D正确。
故答案为：ACD。
【分析】A：考查组合数的对称性性质，即从个元素中选个与选个的组合数相等；B：考查排列数公式，区分与的表达式，验证其是否恒等；C：考查组合数与排列数的混合运算，通过公式展开验证等式成立；D：考查排列数的递推性质，利用公式展开证明等式恒成立。
10．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有“关怀老人”、“环境检测”、“图书义卖”这三个项目，每人都要报名且限报其中一项，则下列说法正确的是（　　）
A．四名同学的报名情况共有种
B．每个项目都有人报名的情况共有36种
C．四名同学最终只报名了两个项目的情况共有42种
D．恰有两名同学所报项目相同且只有甲同学一人报名“关怀老人”的情况共有12种
【答案】A,B,C
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】A：每人都有3个项目可选，根据分步乘法计数原理，四名同学的报名情况共有种，故A正确；
B：每个项目都有人报名，说明必有2名同学报名同一项目，先从4人中选2人捆绑，再分配到3个项目中，报名情况共有种，故B正确；
C：先从3个项目中选2个，报名情况分为两类：①两个项目各有2人报名，方法数为；②一个项目1人报名、另一个项目3人报名，方法数为。因此总情况数为种，故C正确；
D：甲单独报名“关怀老人”，剩余3人需满足“恰有2人报同一项目，1人报另一项目”。先从3人中选2人捆绑，再分配到剩下的2个项目中，情况数为种，而非12种，故D错误。
故答案为：ABC。
【分析】A：利用分步乘法计数原理，每人3种选择，直接计算总情况数；B：利用“先分组后分配”的思路，处理“每个项目都有人报名”的分配问题；C：先选项目，再分两类讨论报名人数分布（2+2和1+3），计算总情况数；D：先固定甲的选择，再分析剩余3人的分组分配，验证计算结果是否正确。
11．已知函数，则（　　）
A．为奇函数 B．
C． D．在上单调递增
【答案】A,D
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】A：函数定义域为，且，故为奇函数，A正确；
B：，显然不等于，B错误；
C：，显然不等于，C错误；
D：对求导：
当时，，故，，单调递增，D正确。
故答案为：AD。
【分析】A：利用奇函数定义验证；B、C：代入诱导公式计算、，与或对比；D：通过求导判断导数符号，分析函数单调性。
12．若函数，则　 　.
【答案】2
【知识点】函数的值；导数的四则运算
【解析】【解答】解：由题可得，
则.
故答案为：2
【分析】本题考查多因式乘积的求导法则，解题核心是利用乘积求导公式求导后代入计算。
13．已知某六名同学在竞赛中获得前六名无并列情况，其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，则这六名同学获得的名次情况可能有　 　种（用数字作答）
【答案】144
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：第一步，优先排丙，只能排第四、五、六名，共有3种；
第二步，再排第一名，只有甲或乙，共有2种；
第三步，剩下四个人排剩下四个位置，共有种，
利用分步计数乘法原理可得：总共可能的排名情况有：种，
故答案为：.
【分析】本题是排列组合问题，解题核心是分步计数，优先安排特殊元素，再安排普通元素。
14．某Livehouse舞台的环形氛围灯被设计为如图所示的4个环形相邻灯区．现有5种霓虹灯光色可供选择，要求每个灯区只使用一种颜色，且相邻灯区颜色不相同，则该舞台灯区共有　 　种不同的颜色搭配方案．
【答案】260
【知识点】分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【解答】解：第1个灯区有5种颜色可选，第2个灯区不能与第1个灯区同色，有4种颜色可选，
若第3个灯区与第1个灯区同色，则只有1种颜色可选，此时第4个灯区不能与第1，3个灯区同色，有4种颜色可选；
若第3个灯区与第1个灯区颜色不同，也不能与第2个灯区同色，则有3种颜色可选，此时第4个灯区不能与第1，3个灯区同色，有3种颜色可选，
所以该舞台灯区共有种不同的颜色搭配方案．
故答案为：260
【分析】本题是环形排列的染色问题，解题核心是分步分析每个灯区的颜色选择数，并根据第 3 个灯区与第 1 个灯区是否同色分情况讨论。
15．现有4名男生、3名女生站成一排拍照留念，在下列不同条件下，求不同的站法总数．（结果用数字作答）
（1）要求女生互不相邻；
（2）若甲、乙是这7人中的2人，则要求甲不站在排头，乙不站在排尾.
【答案】（1）解：先排4名男生，有种排法，
在4名男生产生的空隙中插入3名女生，有种排法，
所以女生互不相邻的不同站法总数为1440种.
（2）解：7人站成一排有种不同的站法，
甲站在排头的站法有种，
乙站在排尾的站法有种，
甲站在排头且乙站在排尾的站法有种，
所以甲不站在排头，乙不站在排尾的不同站法有种.
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【分析】(1) 利用插空法解决女生不相邻问题：先排男生，再在男生形成的空隙中插入女生；
(2) 利用间接法（容斥原理），先算全排列，再减去不符合条件的情况，最后加上重复减去的部分。
（1）先排4名男生，有种排法，
在4名男生产生的空隙中插入3名女生，有种排法，
所以女生互不相邻的不同站法总数为1440种.
（2）7人站成一排有种不同的站法，
甲站在排头的站法有种，
乙站在排尾的站法有种，
甲站在排头且乙站在排尾的站法有种，
所以甲不站在排头，乙不站在排尾的不同站法有种.
16．已知函数.
（1）判断的单调性；
（2）若关于的方程只有1个实数解，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：因为，
所以，
则当或时，单调递减；
当时，单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）解：，
由（1）知当时，单调递减，且趋近于时，趋近于，从负半轴趋近于0时，趋近于；
当时，单调递减，时，单调递增，且从正半轴趋近于0时，趋近于，趋近于时，趋近于；
又，作出的大致图象如图所示，
因为关于的方程只有1个实数解，所以的图象与直线只有1个交点，结合图象可知，
所以实数的取值范围为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】(1) 先化简函数表达式，再求导，根据导数的正负判断函数的单调性；
(2) 结合 (1) 的单调性，分析函数的极值与图像趋势，再根据方程只有 1 个实数解的条件，确定m的取值范围。
（1）因为，
所以，
则当或时，单调递减；
当时，单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2），
由（1）知当时，单调递减，且趋近于时，趋近于，从负半轴趋近于0时，趋近于；
当时，单调递减，时，单调递增，且从正半轴趋近于0时，趋近于，趋近于时，趋近于；
又，作出的大致图象如图所示，
因为关于的方程只有1个实数解，所以的图象与直线只有1个交点，结合图象可知，
所以实数的取值范围为．
17．某高校新媒体社团有7位同学，他们计划对短视频剪辑、直播运营、图文排版、创意脚本撰写这4个当下热门的新媒体项目展开学习调研，要求每个项目至少有一人负责，且每人只能选择一个项目．
（1）若从社团中选出4人去调研，共有多少种不同的调研安排方案？
（2）若7位同学同时参与调研，其中的甲、乙、丙3位同学调研同一项目，共有多少种不同的安排方案？
【答案】（1）解：先从7位同学中选出4人，有种选法；
再将选出的4人分配到4个项目，要求每个项目至少1人，则有种分配方法，
所以共有种不同的调研安排方案.
（2）解：将甲、乙、丙3位同学视为一个整体（一个元素），此时相当于5个元素分配到4种项目，每种项目至少1个元素，则5个元素需分为“2，1，1，1”四组，有种分法；
再将这四组对应4种项目进行全排列，有种方法，
所以若7位同学同时参与调研，其中的甲、乙、丙3位同学调研同一项目，共有种不同的安排方案
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】(1) 分两步：先从7人中选出4人，再将这4人全部分配到4个项目中，每个项目1人；
(2) 将甲、乙、丙视为一个整体，转化为5个元素分配到4个项目（每个项目至少1人）的分组分配问题，先分组再排列。
（1）先从7位同学中选出4人，有种选法；
再将选出的4人分配到4个项目，要求每个项目至少1人，则有种分配方法，
所以共有种不同的调研安排方案.
（2）将甲、乙、丙3位同学视为一个整体（一个元素），此时相当于5个元素分配到4种项目，每种项目至少1个元素，
则5个元素需分为“2，1，1，1”四组，有种分法；
再将这四组对应4种项目进行全排列，有种方法，
所以若7位同学同时参与调研，其中的甲、乙、丙3位同学调研同一项目，共有种不同的安排方案
18．已知函数.
（1）当时，求的极值；
（2）若对恒成立，求的取值范围；
（3）若，证明：当时，.
【答案】（1）解：当时，，
则，
令，得或；
令，得或，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以的极大值为，极小值为.
（2）解：由，得，
化简得，
设，
则，
当，即时，单调递增，所以，符合题意；
当，即时，当时，，不满足对恒成立，不符合题意.
综上，的取值范围为.
（3）证明：若，则由（2）得当时，，
要证，可证.
令，
则，
令，得，则，
设，
则当时，单调递减；
当时，单调递增，
所以 ，
因为，
所以，
则，
所以.
则，即，
所以得证，
所以当时，.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1) 当 时，对 求导，根据导数的正负判断单调性，进而求出极大值和极小值；
(2) 将不等式 整理为 ，分析 在 上的单调性与取值，确定 的范围；
(3) 结合(2)的结论，先证明 ，再利用 间接证明 。
（1）当时，，
则，
令，得或；
令，得或，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以的极大值为，极小值为.
（2）由，得，
化简得，
设，
则，
当，即时，单调递增，所以，符合题意；
当，即时，当时，，不满足对恒成立，不符合题意.
综上，的取值范围为.
（3）若，
则由（2）得当时，，
要证，可证.
令，
则，
令，得，则，
设，
则当时，单调递减；
当时，单调递增，
所以 ，
因为，
所以，
则，
所以.
则，即，
所以得证，
所以当时，.
19．已知函数 ，且为的极值点.
（1）求的值；
（2）过原点作曲线的切线，求切线方程；
（3）过点 作曲线的切线，讨论切线的条数.
【答案】（1）解：，求导可得，
因为为的极值点，所以，解得，
当时，，
令，可得或；
令，可得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则为的极大值点，符合题意，
所以.
（2）解：由（1）得，，
设切点坐标为，则 ，
所以切线方程为，
因为切线过点，所以代入可得，
即，
化简可得，即 ，解得或，
当时， ，
则切线方程为，即；
当时，，
则切线方程为，即，
综上所述，切线方程为或．
（3）解：由（2）得，曲线在点处的切线方程为，
因为切线过点，所以代入可得，
即，化简可得，
设，求导可得 ，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增，
所以当时，取到极大值，
当时，取到极小值，
因此当或时，的图象与直线有且仅有1个交点；
当或时，的图象与直线有2个交点；
当时，的图象与直线有3个交点，
即当或时，有1条切线；
当或时，有2条切线；
当时，有3条切线.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1) 利用极值点处导数为0，列方程求解a的值；
(2) 设切点坐标，写出切线方程，利用切线过原点的条件求切点，进而得到切线方程；
(3) 设切点坐标，写出切线方程，利用切线过点(0，m)的条件，转化为关于切点横坐标的方程，通过研究该方程的解的个数，讨论切线的条数。
（1），求导可得，
因为为的极值点，所以，解得，
当时，，
令，可得或；
令，可得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则为的极大值点，符合题意，
所以.
（2）由（1）得，，
设切点坐标为，则 ，
所以切线方程为，
因为切线过点，所以代入可得，
即，
化简可得，即 ，解得或，
当时， ，
则切线方程为，即；
当时，，
则切线方程为，即，
综上所述，切线方程为或．
（3）由（2）得，曲线在点处的切线方程为，
因为切线过点，所以代入可得，
即，化简可得，
设，求导可得 ，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增，
所以当时，取到极大值，
当时，取到极小值，
因此当或时，的图象与直线有且仅有1个交点；
当或时，的图象与直线有2个交点；
当时，的图象与直线有3个交点，
即当或时，有1条切线；
当或时，有2条切线；
当时，有3条切线.
1 / 1广东河源市河源中学等校2025-2026学年高二年级下学期4月份学情调研数学试题
1．（　　）
A． B．2 C． D．2026
2．曲线在点处的切线方程为（　　）
A． B． C． D．
3．设是的导函数，已知，则（　　）
A．1 B． C．2 D．
4．甲计划按照一定的先后顺序写一篇介绍8个文化地标的文章，若第一个介绍的是地标，且地标的介绍顺序必须相邻（中间不能插入其他地标，内部顺序可自由调整），则该文章关于这8个文化地标的介绍顺序共有（　　）
A．360种 B．720种 C．1440种 D．2160种
5．学校图书馆有个不同的借阅窗口（编号为），现将本完全相同的图书放到这个窗口展示，每个窗口可放多本也可不放，则不同的摆放方法共有（　　）
A．种 B．种 C．种 D．种
6．函数的大致图象为（　　）
A． B．
C． D．
7．已知三次函数，若不等式的解集为，则实数的值为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
8．设，则（　　）
A． B． C． D．
9．已知m，n均为正整数，且，则（　　）
A． B．
C． D．
10．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有“关怀老人”、“环境检测”、“图书义卖”这三个项目，每人都要报名且限报其中一项，则下列说法正确的是（　　）
A．四名同学的报名情况共有种
B．每个项目都有人报名的情况共有36种
C．四名同学最终只报名了两个项目的情况共有42种
D．恰有两名同学所报项目相同且只有甲同学一人报名“关怀老人”的情况共有12种
11．已知函数，则（　　）
A．为奇函数 B．
C． D．在上单调递增
12．若函数，则　 　.
13．已知某六名同学在竞赛中获得前六名无并列情况，其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，则这六名同学获得的名次情况可能有　 　种（用数字作答）
14．某Livehouse舞台的环形氛围灯被设计为如图所示的4个环形相邻灯区．现有5种霓虹灯光色可供选择，要求每个灯区只使用一种颜色，且相邻灯区颜色不相同，则该舞台灯区共有　 　种不同的颜色搭配方案．
15．现有4名男生、3名女生站成一排拍照留念，在下列不同条件下，求不同的站法总数．（结果用数字作答）
（1）要求女生互不相邻；
（2）若甲、乙是这7人中的2人，则要求甲不站在排头，乙不站在排尾.
16．已知函数.
（1）判断的单调性；
（2）若关于的方程只有1个实数解，求实数的取值范围.
17．某高校新媒体社团有7位同学，他们计划对短视频剪辑、直播运营、图文排版、创意脚本撰写这4个当下热门的新媒体项目展开学习调研，要求每个项目至少有一人负责，且每人只能选择一个项目．
（1）若从社团中选出4人去调研，共有多少种不同的调研安排方案？
（2）若7位同学同时参与调研，其中的甲、乙、丙3位同学调研同一项目，共有多少种不同的安排方案？
18．已知函数.
（1）当时，求的极值；
（2）若对恒成立，求的取值范围；
（3）若，证明：当时，.
19．已知函数 ，且为的极值点.
（1）求的值；
（2）过原点作曲线的切线，求切线方程；
（3）过点 作曲线的切线，讨论切线的条数.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】排列数的基本计算；组合数的基本计算
【解析】【解答】解：．
故答案为：B
【分析】本题考查排列数与组合数的计算公式，核心是利用公式化简求解比值。
2．【答案】C
【知识点】导数的几何意义；简单复合函数求导法则；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：因为，所以，所以，又，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
故答案为：C
【分析】本题考查导数的几何意义，解题核心是先求函数在点x=0处的导数值（切线斜率）和函数值，再用点斜式写出切线方程。
3．【答案】A
【知识点】导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：由，求导得，则，解得.
故答案为：A
【分析】本题考查导数的运算，核心思路是先对函数求导，再将x=1代入导函数，建立关于f'(1)的方程求解。
4．【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：第一个介绍的是地标，则只需要排列剩下个文化地标，
先将这三个地标捆绑，再和其他4个地标排列，共有种．
故答案为：B
【分析】本题考查排列组合中的捆绑法，解题核心是先固定第一个元素，再将相邻元素捆绑，分步计算排列数。
5．【答案】C
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：分种情况讨论：①本书放在同一个窗口，有种摆放方法；
②本书放在个窗口，一个窗口放本，另一个窗口放本，有种摆放方法；
③本书放在个窗口，每个窗口各放本，有种摆放方法，
所以不同的摆放方法共有种．
故答案为：C
【分析】本题考查隔板法或分类讨论法，解题核心是根据3本相同图书的不同分配方式，分情况计算摆放方法数。
6．【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：函数的定义域为，且，所以为奇函数，其图象关于原点对称，B错误；
当时，，则，由，得；由，得，故在上单调递增，在上单调递减，排除C；当时，，AC错误.
故答案为：D．
【分析】本题考查函数图象的判断，解题核心是通过奇偶性、单调性、特殊点函数值三个维度来排除错误选项。
7．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为，所以，
令，得或；令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以的极大值为，极小值为，
则当时，，当时，解方程，即，解得，所以，
所以当时，；当时，.
综上，不等式为，其解集为，即．
故答案为：A
【分析】本题是三次函数不等式问题，解题核心是先通过导数分析函数单调性与极值，再结合函数图象确定不等式解集。
8．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：令，则，令，得；令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，
得，故，
所以，即.
【分析】本题核心是构造辅助函数，利用导数判断单调性，再结合单调性比较三个数的大小。
9．【答案】A,C,D
【知识点】排列数的基本计算；组合数的基本计算
【解析】【解答】解：A：根据组合数的性质：可得，故A正确；
B：排列数公式：，，只有当时等式才成立，一般情况下不成立，故B错误；
C：，左右相等，与右边相等，故C正确；
D：左边：，与右边相等，故D正确。
故答案为：ACD。
【分析】A：考查组合数的对称性性质，即从个元素中选个与选个的组合数相等；B：考查排列数公式，区分与的表达式，验证其是否恒等；C：考查组合数与排列数的混合运算，通过公式展开验证等式成立；D：考查排列数的递推性质，利用公式展开证明等式恒成立。
10．【答案】A,B,C
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】A：每人都有3个项目可选，根据分步乘法计数原理，四名同学的报名情况共有种，故A正确；
B：每个项目都有人报名，说明必有2名同学报名同一项目，先从4人中选2人捆绑，再分配到3个项目中，报名情况共有种，故B正确；
C：先从3个项目中选2个，报名情况分为两类：①两个项目各有2人报名，方法数为；②一个项目1人报名、另一个项目3人报名，方法数为。因此总情况数为种，故C正确；
D：甲单独报名“关怀老人”，剩余3人需满足“恰有2人报同一项目，1人报另一项目”。先从3人中选2人捆绑，再分配到剩下的2个项目中，情况数为种，而非12种，故D错误。
故答案为：ABC。
【分析】A：利用分步乘法计数原理，每人3种选择，直接计算总情况数；B：利用“先分组后分配”的思路，处理“每个项目都有人报名”的分配问题；C：先选项目，再分两类讨论报名人数分布（2+2和1+3），计算总情况数；D：先固定甲的选择，再分析剩余3人的分组分配，验证计算结果是否正确。
11．【答案】A,D
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】A：函数定义域为，且，故为奇函数，A正确；
B：，显然不等于，B错误；
C：，显然不等于，C错误；
D：对求导：
当时，，故，，单调递增，D正确。
故答案为：AD。
【分析】A：利用奇函数定义验证；B、C：代入诱导公式计算、，与或对比；D：通过求导判断导数符号，分析函数单调性。
12．【答案】2
【知识点】函数的值；导数的四则运算
【解析】【解答】解：由题可得，
则.
故答案为：2
【分析】本题考查多因式乘积的求导法则，解题核心是利用乘积求导公式求导后代入计算。
13．【答案】144
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：第一步，优先排丙，只能排第四、五、六名，共有3种；
第二步，再排第一名，只有甲或乙，共有2种；
第三步，剩下四个人排剩下四个位置，共有种，
利用分步计数乘法原理可得：总共可能的排名情况有：种，
故答案为：.
【分析】本题是排列组合问题，解题核心是分步计数，优先安排特殊元素，再安排普通元素。
14．【答案】260
【知识点】分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【解答】解：第1个灯区有5种颜色可选，第2个灯区不能与第1个灯区同色，有4种颜色可选，
若第3个灯区与第1个灯区同色，则只有1种颜色可选，此时第4个灯区不能与第1，3个灯区同色，有4种颜色可选；
若第3个灯区与第1个灯区颜色不同，也不能与第2个灯区同色，则有3种颜色可选，此时第4个灯区不能与第1，3个灯区同色，有3种颜色可选，
所以该舞台灯区共有种不同的颜色搭配方案．
故答案为：260
【分析】本题是环形排列的染色问题，解题核心是分步分析每个灯区的颜色选择数，并根据第 3 个灯区与第 1 个灯区是否同色分情况讨论。
15．【答案】（1）解：先排4名男生，有种排法，
在4名男生产生的空隙中插入3名女生，有种排法，
所以女生互不相邻的不同站法总数为1440种.
（2）解：7人站成一排有种不同的站法，
甲站在排头的站法有种，
乙站在排尾的站法有种，
甲站在排头且乙站在排尾的站法有种，
所以甲不站在排头，乙不站在排尾的不同站法有种.
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【分析】(1) 利用插空法解决女生不相邻问题：先排男生，再在男生形成的空隙中插入女生；
(2) 利用间接法（容斥原理），先算全排列，再减去不符合条件的情况，最后加上重复减去的部分。
（1）先排4名男生，有种排法，
在4名男生产生的空隙中插入3名女生，有种排法，
所以女生互不相邻的不同站法总数为1440种.
（2）7人站成一排有种不同的站法，
甲站在排头的站法有种，
乙站在排尾的站法有种，
甲站在排头且乙站在排尾的站法有种，
所以甲不站在排头，乙不站在排尾的不同站法有种.
16．【答案】（1）解：因为，
所以，
则当或时，单调递减；
当时，单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）解：，
由（1）知当时，单调递减，且趋近于时，趋近于，从负半轴趋近于0时，趋近于；
当时，单调递减，时，单调递增，且从正半轴趋近于0时，趋近于，趋近于时，趋近于；
又，作出的大致图象如图所示，
因为关于的方程只有1个实数解，所以的图象与直线只有1个交点，结合图象可知，
所以实数的取值范围为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】(1) 先化简函数表达式，再求导，根据导数的正负判断函数的单调性；
(2) 结合 (1) 的单调性，分析函数的极值与图像趋势，再根据方程只有 1 个实数解的条件，确定m的取值范围。
（1）因为，
所以，
则当或时，单调递减；
当时，单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2），
由（1）知当时，单调递减，且趋近于时，趋近于，从负半轴趋近于0时，趋近于；
当时，单调递减，时，单调递增，且从正半轴趋近于0时，趋近于，趋近于时，趋近于；
又，作出的大致图象如图所示，
因为关于的方程只有1个实数解，所以的图象与直线只有1个交点，结合图象可知，
所以实数的取值范围为．
17．【答案】（1）解：先从7位同学中选出4人，有种选法；
再将选出的4人分配到4个项目，要求每个项目至少1人，则有种分配方法，
所以共有种不同的调研安排方案.
（2）解：将甲、乙、丙3位同学视为一个整体（一个元素），此时相当于5个元素分配到4种项目，每种项目至少1个元素，则5个元素需分为“2，1，1，1”四组，有种分法；
再将这四组对应4种项目进行全排列，有种方法，
所以若7位同学同时参与调研，其中的甲、乙、丙3位同学调研同一项目，共有种不同的安排方案
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】(1) 分两步：先从7人中选出4人，再将这4人全部分配到4个项目中，每个项目1人；
(2) 将甲、乙、丙视为一个整体，转化为5个元素分配到4个项目（每个项目至少1人）的分组分配问题，先分组再排列。
（1）先从7位同学中选出4人，有种选法；
再将选出的4人分配到4个项目，要求每个项目至少1人，则有种分配方法，
所以共有种不同的调研安排方案.
（2）将甲、乙、丙3位同学视为一个整体（一个元素），此时相当于5个元素分配到4种项目，每种项目至少1个元素，
则5个元素需分为“2，1，1，1”四组，有种分法；
再将这四组对应4种项目进行全排列，有种方法，
所以若7位同学同时参与调研，其中的甲、乙、丙3位同学调研同一项目，共有种不同的安排方案
18．【答案】（1）解：当时，，
则，
令，得或；
令，得或，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以的极大值为，极小值为.
（2）解：由，得，
化简得，
设，
则，
当，即时，单调递增，所以，符合题意；
当，即时，当时，，不满足对恒成立，不符合题意.
综上，的取值范围为.
（3）证明：若，则由（2）得当时，，
要证，可证.
令，
则，
令，得，则，
设，
则当时，单调递减；
当时，单调递增，
所以 ，
因为，
所以，
则，
所以.
则，即，
所以得证，
所以当时，.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1) 当 时，对 求导，根据导数的正负判断单调性，进而求出极大值和极小值；
(2) 将不等式 整理为 ，分析 在 上的单调性与取值，确定 的范围；
(3) 结合(2)的结论，先证明 ，再利用 间接证明 。
（1）当时，，
则，
令，得或；
令，得或，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以的极大值为，极小值为.
（2）由，得，
化简得，
设，
则，
当，即时，单调递增，所以，符合题意；
当，即时，当时，，不满足对恒成立，不符合题意.
综上，的取值范围为.
（3）若，
则由（2）得当时，，
要证，可证.
令，
则，
令，得，则，
设，
则当时，单调递减；
当时，单调递增，
所以 ，
因为，
所以，
则，
所以.
则，即，
所以得证，
所以当时，.
19．【答案】（1）解：，求导可得，
因为为的极值点，所以，解得，
当时，，
令，可得或；
令，可得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则为的极大值点，符合题意，
所以.
（2）解：由（1）得，，
设切点坐标为，则 ，
所以切线方程为，
因为切线过点，所以代入可得，
即，
化简可得，即 ，解得或，
当时， ，
则切线方程为，即；
当时，，
则切线方程为，即，
综上所述，切线方程为或．
（3）解：由（2）得，曲线在点处的切线方程为，
因为切线过点，所以代入可得，
即，化简可得，
设，求导可得 ，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增，
所以当时，取到极大值，
当时，取到极小值，
因此当或时，的图象与直线有且仅有1个交点；
当或时，的图象与直线有2个交点；
当时，的图象与直线有3个交点，
即当或时，有1条切线；
当或时，有2条切线；
当时，有3条切线.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1) 利用极值点处导数为0，列方程求解a的值；
(2) 设切点坐标，写出切线方程，利用切线过原点的条件求切点，进而得到切线方程；
(3) 设切点坐标，写出切线方程，利用切线过点(0，m)的条件，转化为关于切点横坐标的方程，通过研究该方程的解的个数，讨论切线的条数。
（1），求导可得，
因为为的极值点，所以，解得，
当时，，
令，可得或；
令，可得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则为的极大值点，符合题意，
所以.
（2）由（1）得，，
设切点坐标为，则 ，
所以切线方程为，
因为切线过点，所以代入可得，
即，
化简可得，即 ，解得或，
当时， ，
则切线方程为，即；
当时，，
则切线方程为，即，
综上所述，切线方程为或．
（3）由（2）得，曲线在点处的切线方程为，
因为切线过点，所以代入可得，
即，化简可得，
设，求导可得 ，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增，
所以当时，取到极大值，
当时，取到极小值，
因此当或时，的图象与直线有且仅有1个交点；
当或时，的图象与直线有2个交点；
当时，的图象与直线有3个交点，
即当或时，有1条切线；
当或时，有2条切线；
当时，有3条切线.
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