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福建泉州市泉港区2025-2026 学年春季学科核心素养培育拓展材料七年级数学下册
一、单选题
1．下列方程是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．在下列长度的三条线段中，能围成三角形的是（ ）
A．3，6，8 B．2，3，5 C．1，2，1 D．8，4，3
4．交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在某路段上有如图所示的标志，表示车辆速度不超过40千米/时，则限速标志允许的车速（千米/时）的范围表示为（ ）
A． B． C． D．
5．下列是根据等式的性质进行变形，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6．用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．某车间38名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉120个或螺母200个，3个螺母与2个螺钉配套，怎样安排工人使每天的产品刚好配套？设安排名工人生产螺钉，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，点、分别在线段、上，连接、，若，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，，求阴影部分图形的总面积（ ）
A． B． C． D．
10．若关于的不等式组的整数解共有3个，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．若，则________（填“”“”或“”）．
12．如图，是的中线，若，则_____．
13．已知关于的方程的解是，则_____．
14．已知，则的值为_____．
15．将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为_____．
16．对于关于的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“弦和”方程组．对于任意不等于0的数，关于的方程组都是“弦和”方程组，则的值为_____．
三、解答题
17．解不等式，并在数轴上把解集表示出来．
18．解方程组：
19．解不等式组：．
20．用方程（组）解决下列问题：
某中学举办了足球比赛，计分规则为：胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．某班参加了11场比赛，并始终保持不败的记录，共得25分，求该班胜了多少场比赛？
21．如图，在中，是的角平分线，，．
(1)求的度数；
(2)求的度数．
22．已知三个实数满足．
(1)证明：．
(2)若，且，求的取值范围．
23．如图，在中，点是延长线上一点，点是边上一点，连接交于点．
(1)若，求的度数；
(2)若，判断的形状，并说明理由．
24．根据以下素材，探索完成任务．
【材料准备】
素材1 端午将至，某中学手工社团制作国风纸质礼盒开展公益义卖，助力非遗文化推广．同学们以每张12元的价格买了100张长方形硬质卡纸，每张卡纸长，宽．
素材2 1.制作盒身 现将部分卡纸按图①虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个长方形拼装成无盖长方体盒身，盒身底面长，宽． 2.制作盒盖 其余每块卡纸按图②虚线裁剪出2个盒盖（阴影是余料）．
素材3 配套与售价：1个盒身＋1个盒盖＝1套礼盒，售价28元一套；多余未配套的盒身可做成简易收纳盒，售价10元一个．
【问题解决】
(1)任务（1）求出盒身的高度．
(2)任务（2）若简易收纳盒数量少于10个，卡纸该如何分配？请给出分配方案．
(3)任务（3）在方案1的基础上，为了提高利润，同学们打算把图②裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张长方形余料可以制成一个书签，并以3元/个的价格销售．请确定卡纸分配方案，使销售后获得最大利润．
25．【阅读材料】
如图1，点，分别在的两条边上，若和的角平分线交于点，则平分．
【数学思考】
利用上述材料的结论解决下列问题：
如图2，在等边中，点在边的延长线上，，点在射线上（点不与点重合），平分交射线于点．
(1)求；
(2)当点在射线上移动时，
①有同学猜想：在上述条件下，始终成立．该猜想是否成立？若成立，请写出推理过程，若不成立，请举出反例；
②连接，若，求的大小．
参考答案
1．B
【详解】解：A选项中的次数为2，不符合定义，错误．
B选项中，方程含有、两个未知数，含未知数的项的次数都是1，且为整式方程，符合定义，正确．
C选项中，方程只含有1个未知数，属于一元一次方程，不符合定义，错误．
D选项中，是分式，方程不是整式方程，不符合定义，错误．
2．C
【详解】解：解得，
在数轴上表示如下：
3．A
【详解】解：∵对于选项A，较小两边为3和6，最大边为8，，∴能围成三角形，符合题意．
∵对于选项B，较小两边为2和3，最大边为5，，不满足两边之和大于第三边，∴不能围成三角形，不符合题意．
∵对于选项C，较小两边为1和1，最大边为2，，不满足两边之和大于第三边，∴不能围成三角形，不符合题意．
∵对于选项D，较小两边为3和4，最大边为8，，不满足两边之和大于第三边，∴不能围成三角形，不符合题意．
4．C
【详解】解：∵速度不超过40千米/时，
∴速度小于等于40千米/时，
∵速度应为正数，
∴速度大于0千米/时，
用不等式表示为．
故选：C．
5．D
【详解】解：对于A，∵，等式两边需同时加或减同一个数，等式才成立，∴应为，故A错误．
对于B，∵，等式两边同时加得，只有时才有，故B错误．
对于C，∵，当时，无论取何值等式都成立，无法推出，故C错误．
对于D，∵，，等式两边同乘可得，故D正确．
6．A
【详解】解：A、依题意，
，得，
解得，
则把代入，得
解得；
B、，得，无法消元，故该选项不符合题意；
C、，得，无法消元，故该选项不符合题意；
D、，得，无法消元，故该选项不符合题意；
7．A
【详解】解：设安排名工人生产螺钉，则安排名工人生产螺母，
由题意可得，，
故选：A．
8．B
【详解】解：，
∴．
9．D
【详解】解：设小长方形的长为，宽为，依题意得：
，
解得：，
阴影部分图形的总面积为：．
10．C
【详解】解：解不等式得：
解不等式得：
∴，
∵关于的不等式组的整数解共有3个，即，
∴．
11．
【详解】解：，
，
故答案为：．
12．3
【详解】解：∵是的中线，，
∴．
13．
【详解】解：∵关于的方程的解是，
∴，
解得：．
14．
【详解】解：，
得，
∴．
15．/75度
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
16．或1
【详解】解：∵“弦和”方程组的解满足，
∴，
可得或
解得：或；
把代入得，即
∵对于任意不等于0的数，关于的方程组都是“弦和”方程组，
∴，
解得：，
此时；
把代入得，即
∵对于任意不等于0的数，关于的方程组都是“弦和”方程组，
∴，
解得：，
此时；
综上所述，的值为或1．
17．，把解集在数轴上表示见解析
【详解】解：
把解集在数轴上表示如图所示：
18．
【详解】试题分析：方程组利用加减消元法求出解即可．
试题解析：①+②得：3x=6，
x=2，
把x=2代入①得：y=3．
∴
19．
【详解】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为．
20．该班胜了7场比赛
【详解】解：设该班胜了x场比赛，则平场，依题意得：
解得：
答：该班胜了7场比赛．
21．(1)
(2)．
【详解】（1）解：∵，，
∴；
（2）解：∵是的角平分线，，
∴，
∵，
∴．
22．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．(1)
(2)是直角三角形，理由见解析
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：是直角三角形，理由如下：
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即是直角三角形．
24．(1)盒身的高度为
(2)共有3种方案如下：①67张卡纸制作盒身，33张卡纸制作盒盖；②68张卡纸制作盒身，32张卡纸制作盒盖；③69张卡纸制作盒身，31张卡纸制作盒盖
(3)67张卡纸制作盒身，33张卡纸制作盒盖时，利润最大为757元
【详解】（1）解：设盒身高度，
依题意得：，
∴，
∵卡纸宽为，则，符合题意．
答：盒身的高度为．
（2）解：设x张卡纸制作盒身，则张制作盒盖，
依题意得：，
解得，
∴x的整数解有：67，68，69，
∴共有3种方案如下：
①67张卡纸制作盒身，33张卡纸制作盒盖；
②68张卡纸制作盒身，32张卡纸制作盒盖；
③69张卡纸制作盒身，31张卡纸制作盒盖．
（3）解：设x张卡纸制作盒身，则张制作盒盖，利润为w元，
则，
∵x的值有：67，68，69，
当x＝67时，利润为：－29×67＋2700＝757；
当x＝68时，利润为：－29×68＋2700＝728；
当x＝69时，利润为：－29×69＋2700＝699；
∴当x＝67时，
即67张卡纸制作盒身，33张卡纸制作盒盖时，利润最大为757元．
答：67张卡纸制作盒身，33张卡纸制作盒盖时，利润最大为757元．
25．(1)
(2)①成立，推理过程见解析；②
【详解】（1）解：是等边三角形，
∵，
∴．
（2）①成立，理由如下：
平分，
，
设，则，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
在中，
又，
．
②解：分别延长，到点H，G，如图2所示：
，
，
平分，
又平分，
由阅读材料的结论得：平分的外角，
，
设，则，
，
，
平分，
，
，
，
由①知，，
，
，
．

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