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2025-2026 学年下学期高中数学学科期中学习检测
高一数学
考试范围：必修第二册 6.1-8.3；考试时间：120 分钟；
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第 I 卷（选择题）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1．在复平面内，复数 z对应的点为Z (1,-1)，则 z的共轭复数 z =（ ）
A．1+ i B．1- i C．-1+ i D．-1- i

2．已知向量 a = (-4,2),b = ( ) k ,3 ，若 a / /b，则 k = （ ）
A．6 B． -6 C．-
3 3
D．
2 2
3．如图， A B C 为水平放置的△ABC的直观图，其中 A B = A C = 2， A B ^O B ，则原
平面图形△．A．B．C．的面积为（ ）．
A．4 B． 2 2 C． 4 2 D．8
4．已知 a - i (a R)是关于 x的方程 x2 +mx +5 = 0(m R)的一个根，则m =（ ）
A．4 B． ±4 C．2 D．±2
5．在 ABC中，D在 BC上，DC = 2BD，设 AB = a， AC = b ，则 AD =（ ）
1
A． a
+ 3 b 3 B． a +
1 b C．2 + 1 1 23 3 D． a + b4 4 4 4 3 3
6．已知 a，b，c
3
分别为 ABC三个内角 A， B，C的对边，且 a = 3，b = 5， sin A = ，
4
则 sin B =（ ）
A． 2 5 B． 4 5 C． 5 D． 5
9 9 3 4
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7．有一个底面直径为 4 的圆柱形容器（不考虑该容器的厚度），该圆柱形容器盛有部分水，
且水面到容器口的距离为 1.现将一个半径为 R的小球放入该容器中，小球全部在水面下，
且水没有溢出容器，则 R的最大值是（ ）
A. 2 B. 2 C. 3 3 D. 2 2
8．某果林所处的山地可近似看做一个正三棱锥 S - ABC，其中 S为山顶，A，B，C为山脚，
经测量 ASB = 30°， AB = 500m．为了方便果子成熟时的采摘与运输，准备从山脚 A处出
发，绕山地修建一条3m宽的山路，并最终从另一侧返回 A处，预计该山路的面积的最小值
为（ ）．
A．6000m 2 B．500 ( 3 +1)m 2
C．1000( 3+1)m2 D．1500 ( 3 +1)m 2
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多个选
项符合题目要求.全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对得部分分.
9．下列命题是真命题的是（ ）
A．棱柱的侧面一定是平行四边形
B．底面是等边三角形的三棱锥是正三棱锥
C．棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点
D．用一个平面去截圆柱，截面一定是圆
10．下列命题中为真命题的是（ ）

A．若 AB与 是共线向量，则点 A、 B、D共线
a
B ．若 a为非零向量，则 a 与 a同向或反向

C．若 a × b = 0 ，则 a ^ b

D．若 a = b，b = c a
= c ，则
5
11．在 ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 a = 2，b = ， c = 3，则（ ）
2
A． sin A : sin B = 5 : 4 B．C = 2A
C．△ABC是钝角三角形 D．△ABC是锐角三角形
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第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知某圆锥的轴截面是边长为 4 3的等边三角形，则该圆锥的侧面积是_______.

13．若 a ， b是夹角为 60°的两个单位向量，la +b与-3a + 2b垂直，则l = _______.

14．已知 a =1， b = 2,(a -b )×a = 0 a ，则向量 与 b的夹角为______.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13 分）如图所示，正六棱锥的底面周长为 24，H是 BC的中点，O为底面中心，
SHO = 60°，
(1)求出正六棱锥的高；斜高；侧棱长
(2)求出六棱锥的表面和体积
16．（15 分）已知复数 z = 2+ ai（ a R ， i为虚数单位），其共轭复数为 z．
(1)若 a = -1，求 z (1+ i) ；
(2)若复数 (3+ i)z为纯虚数，求实数 a的值；
z
(3)若复数 在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数 a的取值范围．
1- i
17．（15 分）已知 ABC中， a,b,c分别为角 A,B，C的对边， 3bsin A = a (2 +cosB ) .
(1)求 B；
(2)若 a = 3c，点 D是 AC的中点，且BD = 7，求 ABC的面积.
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18．（17 分）如图，某社区有一块空白区域，其中射线 AP，AQ是该空白区域的两条边界，
π
点 B在射线 AQ上，AB = 2千米，且 PAQ = .该社区工作人员计划在射线 AP上选择一点C，
6
修建一条道路 BC，将△ABC区域改造成儿童娱乐场地.
ACB = 3π(1)已知 .
4
①求道路 BC的长度；
②求△ABC的面积.
(2)某工程队通过竞标，获得该社区改造项目的资格，已知改造儿童娱乐场地的利润为 4万
2π
元每平方千米，修建道路 BC的利润为 2 万元每千米，且要求 ACB不能大于 ，求该工
3
程队完成这项改造项目获得的利润的最小值.

19．（17 分）如图，设Ox，Oy是平面内相交成q 角的两条数轴， e1 ，e2 分别是与 x轴、y

轴正方向同向的单位向量，若向量OP = xe1 + ye2 ，则把有序数对 (x, y)叫做向量OP在坐标
系Oxy中的坐标．
2
(1)已知q = π，OP = (4,-2)，OQ = (t ,1)，且OP ^OQ，求 t的值．
3

(2)若对任意的q (0, π)，都有 e1 - le2 e1 - e2 恒成立，求l 的取值范围．
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