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福建省三明市永安市2025－2026学年下学期初中毕业班第一次模拟抽测 数学试题
一、单选题
1．的相反数是（ ）
A． B． C． D．
2．通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．如图1，陀螺是中国传统文化的重要组成部分，其历史可追溯至7000多年前的河姆渡遗址，是世界上现存最古老的玩具之一，如图2，陀螺的轮廓可以近似抽象成是由圆柱和圆锥组合而成，那么该几何体的左视图为（ ）
A． B． C． D．
4．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，点A，B，C在上，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．将一副分别含角和角的直角三角板按如图所示方式摆放，点D在边上，保持点D位置不动，将绕点D旋转，始终保持边与边相交，则和的数量关系是（ ）
A． B． C． D．
8．在古代驿站送信问题中，一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．根据题意，小刚和小强分别列出了尚不完整的方程如图所示．下列说法不正确的是（ ）
小刚： 小强：
A．x表示规定时间 B．y表示慢马的速度
C．*表示 D．△表示
9．2025年7月15日5时34分，搭载“天舟九号”货运飞船的长征七号遥十运载火箭，在中国文昌航天发射场成功发射．当火箭上升到点A时，位于发射场地面R处的雷达测得点R到点A的距离为，仰角为θ，则此时火箭距地面的高度为（ ）．
A． B． C． D．
10．已知二次函数（m为常数）．若，点，在该函数图象上，则p与q的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
二、填空题
11．马年春晚，机器人表演的节目《武》刷屏海内外．若人形机器人向前进行20次空翻记作，则人形机器人向后进行8次空翻记作______．
12．赋能数学课堂是指将人工智能技术融入数学教学过程，提升教学效果和学生学习体验．为了解学生对赋能数学课堂的喜爱程度，在全校进行了随机抽测，结果如下表，根据抽测结果，估计学生喜爱赋能数学课堂的概率约为________．（结果精确到）
累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
喜欢赋能数学课堂的学生数与n的比值
13．如图，AB表示一个窗户的高，AM和BN表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距离BC＝1m．已知某一时刻BC在地面的影长CN＝1.5m，AC在地面的影长CM＝4.5m，则窗户的高度为_________m．
14．已知a、b是一元二次方程的两根，则______．
15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数交于点，则不等式的解集为______．
16．如图，已知正方形的边长为2，P是对角线上一点，于点E，于点F，连接，，则的最小值为______．
三、解答题
17．计算：．
18．如图，已知B、F、C、E在一条直线上，，，．
求证：．
19．先化简，再求值：，其中．
20．如图，已知等边，．请解答下列问题．
(1)尺规作图：请将补全成一个菱形（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)求菱形的面积．
21．为提升学生的交通安全意识，某校组织了“交通安全知识”竞赛，甲、乙两班各选派5名同学组成代表队参赛，竞赛满分为10分．目前已根据参赛成绩（满分10分）制作了统计图和统计表（尚未完成）．
甲、乙两班代表队成绩统计表
平均数 中位数 众数 方差
甲班 b
乙班 a 10
请根据有关信息解决下列问题：
(1)填空：______，______；
(2)学校预估如果平均分能达分，在市团体比赛中即可以获奖，若以“稳定达到获奖线”为目标，现应选派______班代表队参加市团体比赛；（填“甲”或“乙”）
(3)现将从成绩满分的3个学生中随机抽取2人参加市交通安全知识个人竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到甲、乙班各一名学生的概率．
22．如图，是的直径，与相切于点A，点B是上的一点，且，．
(1)求证：是的切线；
(2)若弦，求的半径．
23．2026年是农历丙午马年，马年吉祥物深受大众喜爱，某超市购进一批马年吉祥物进行销售，每个进货价为30元，当每个售价为40元时，平均每月可售出600个，经调查发现，当售价在40元至60元范围内时，该吉祥物的售价每上涨1元，月销售量就会减少10个．
(1)若售价上涨x元，平均每月销售量为y个，则y与x的函数关系式为______；
(2)若超市要实现平均每月10000元的销售利润，则这种马年吉祥物的售价应定为多少元？
24．在中，，以为直径的分别交线段，于点D，E，连接．
(1)如图①，求证：平分；
(2)如图②，过点E作，垂足为点F，交于点G，连接，求证：；
(3)在（2）的条件下，若，，求．
25．已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点A，且与y轴交于点C．
(1)若，，求此二次函数的表达式；
(2)在（1）的条件下，将二次函数的图象向右平移m个单位长度，得到新的二次函数的图象，当时，求新的二次函数的最小值；
(3)设一次函数（n是常数）．若二次函数y1的表达式还可以表示为的形式，当函数的图象经过点时，求的值．
参考答案
1．A
【详解】解：的相反数是．
2．C
【详解】解：，
故选：C．
3．B
【详解】解：从左面观察该陀螺(圆柱与圆锥的组合体)，圆柱的左视图为矩形，圆锥的左视图为等腰三角形，
∴该几何体的左视图是上方为矩形、下方为等腰三角形．
故选；B．
4．C
【详解】解：∵，
∴，
∴，
不等式的解集在数轴上表示为：．
5．B
【详解】解：∵，
，
，
，
，
．
6．D
【详解】解： A、，故选项不符合题意；
B、，故选项不符合题意；
C、，故选项不符合题意；
D、，故选项符合题意．
7．C
【详解】解：根据题意可得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
8．D
【详解】解：设规定时间为，则快马时间为，快马速度为，
慢马时间为，慢马速度为，
又∵快马速度是慢马的2倍，可得，因此表示规定时间，A正确；
△应为，故D错误；
设慢马速度为，则快马速度为，慢马时间为，规定时间，
快马时间为，规定时间，因此方程为，可得表示慢马速度，B正确；
*表示，C正确．
综上，不正确的是D．
9．B
【详解】解：根据题意可得，
∴．
10．A
【详解】解：二次函数，
，
，
又，
，则，
即，
故，即．
11．
【详解】解：向前进行次空翻记作，即规定向前为正方向，向后与向前是相反意义的量，
向后进行次空翻记作．
12．
【详解】解：由表可知，当累计抽测学生数时，喜欢赋能数学课堂的学生数与n的比值为，且其他数值如、400、600时比值均为，表明频率稳定在附近，因此估计学生喜爱AI赋能数学课堂的概率约为．
故答案为：．
13．2
【详解】解：，
，
，
，，，
，
，
，
答：窗户的高度是．
故答案为：2．
14．
【详解】解：∵a、b是一元二次方程的两根，
∴，
．
15．
【详解】解：∵一次函数的图象与反比例函数交于点，
∴不等式的解集为．
16．
【详解】解：连接，如下图：
∵正方形中，，
，
又，
∴四边形是矩形，
，
则的最小值即为的最小值，
当时，最短，
此时，
，
即的最小值为．
17．
【详解】解：原式
．
18．见解析
【详解】证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，，，
∴．
∴．
∴．
即．
19．，
【详解】解：原式
．
当时，
原式．
20．(1)见解析
(2)
【详解】（1）解：如图所示，菱形即为所求作的图形．
（画法不唯一，部分作法如上图所示）
（2）解法一：过点C作，垂足为E．
∵是等边三角形，，
∴，．
在中，
∵，，
∴．
∴．
解法二：连接，交于点O．
∵四边形是菱形，
∴，．
∵是等边三角形，，
∴，．
在中，
∵，，
∴．
∴．
∴．
21．(1)，；
(2)甲
(3)
【详解】（1）解：甲班5名学生的竞赛成绩从低到高分别为分，分，分，分，分，
乙班5名学生的竞赛成绩从低到高分别为分，分，分，分，分，
∴乙班的中位数，
甲班的方差；
（2）解：∵甲班的中位数为分，超过一半的人数能够达到“获奖线”，乙班的中位数为8分，不足一半的人数能够达到“获奖线”，
∴若以“稳定达到获奖线”为目标，现应选派甲班代表队参加市团体比赛；
（3）解：将甲班成绩满分的1名学生记为A，乙班成绩满分的2名学生分别记为B，C，列表如下：
由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中恰好抽到甲、乙班各一名学生的结果数有4种，
∴恰好抽到甲、乙班各一名学生的概率为．
22．(1)见解析
(2)2
【详解】（1）解：证明：连接
∵，，
∴
∵，
∴
∵与相切于点A
∴
又∵，，
∴
又∵点B是上的一点
∴是的切线；
（2）解：过点O作，垂足为D
∵，，
∴
在中，，
∵，，
∴
∴的半径为2．
23．(1)；
(2)售价应定为50元
【详解】（1）解：根据题意可得，
∵售价在40元至60元范围内，
∴，
则y与x的函数关系式为；
（2）解法一：设售价上涨x元．
依题意得：，
解得：，．
∴当时，售价为元；
当时，售价为元，
又∵售价在40元元范围内，
∴不符合题意，舍去．
∴售价应定为50元．
解法二：设售价应定为x元．
依题意得：，
解得：，，
又∵售价在40元元范围内，
∴不符合题意，舍去．
∴售价应定为50元．
24．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【详解】（1）证明：∵为的直径，
∴，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴．
∴平分．
（2）证明：连接．
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴．
∵为直径，，
∴．
∵，，，
∴．
∴．
又∵，
∴．
（3）解：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
又∵，
∴．
25．(1)
(2)当时，最小值为；当时，最小值为；当时，最小值为
(3)或
【详解】（1）二次函数的图象经过，，
，
解得：，
此二次函数的表达式为；
（2），且向右平移m个单位长度，
新的二次函数可表示为，
对称轴为，
①当，即时，
当时，有，
②当时，即时，
当时，有，
③当，即时，
当时，有；
（3），，
，
，
，
又图象经过点，
，
或，
或．

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