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佳一中 2025-2026 学年度高一学年下学期期中考试
数学试题
时间：120 分钟总分：150 分
I 卷选择题(共 58 分)
一、单选题(本题共有 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中， 只
有一项是符合题目要求的)
1． 的虚部为（ ）
A． B．0 C．1 D．6
2．已知向量 ，若 （ +4 ），则 （ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
3．在△ABC中，BC ，AC＝2+2 ，AB＝2 ，则 A=（ ）
A．120° B．75° C．45° D．135°
4．已知三条不同的直线 ， ， ，两个不重合的平面 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ， ， ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ， ， ，则
D．若 ， ， ，则
5．在 中，角 的对边分别为 ，符合下列条件的三角形有且只有一个的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．在长方体 ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝AA1=1，则异面直线 A1B与 所成角的
余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．“方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，现有“方斗”容器如图
所示，已知 ，现往容器里加米，当米的高度是“方斗”高度的一半时，用米
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，则该“方斗”可盛米的总质量为（ ）
A． B． C． D．
8．在三棱锥 中， 是边长为 4的等边三角形， ，
则该棱锥的体积为（ ）
A．8 B．8 C．16 D．24
二 、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求的。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9．（多选）在正三棱柱 中，D为 BC的中点，则（ ）
A． B．
C． D． C
10．（多选）如图，在正方体中， 为底面的中心， 为所在棱的中点， 为正方体的顶
点．则满足 的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（多选）如图，在梯形 ABCD中， ， ，M为线段
BC的中点，AM与 BD交于点 N，P为线段 CD上的一个动点，则（ ）
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A． B．向量 与 共线
C．若 ，则 最大值 D．
II 卷非选择题(共 92分)
三 、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12．已知 为虚数单位，若复数 ___
13．如图，四边形 的斜二测画法直观图为等腰梯形 ，已知 ，
，则四边形 的周长为__________．
14．记 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 则
=________．
四 、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．(13分)已知向量 满足 ， ， ．
(1)求向量 与 夹角的正弦值；
(2)设 ，若 与 夹角是钝角，求实数 的取值范围．
16．(15分)如图， 是圆锥的顶点， 是底面圆心， 是底面直径，且 AB=
(1)若圆锥的轴截面是等边三角形，求圆锥的侧面积及体积；
(2)已知 Q是母线 PA的中点，点 C，D在底面圆周上，且弧 AC的长为 3π6，CD//AB,点M
在线段 OC上的中点，证明：直线 QM//平面 PBD．
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17．(15分)记 中的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知
．
(1)求 ；
(2)若 ，求 面积的最大值；
(3)若 为锐角三角形且 ，求 的周长取值范围．
18．(17分)如图， 在三棱锥 中， ，AB=1，
的中点分别为 ，点 在
上， ．
(1)证明： F为线段 AC的中点；
(2)求证： 平面 ；
(3)若直线 AD交直线 BE于 H,求 PH的长度；(三角形三条中线必交于一点称为三角形的重
心，三角形顶点到重心的距离等于中线长的 )．
19 . (17分)将一个直四棱柱体 截去三棱锥 后得到如图所示
的几何体.
(1)若四边形 为平行四边形，证明：平面 平行于平面
(2)若 =2, = = = =3, =4,求该空间几何体的体积.
(3)在四边形 ，其中 ,设 ，
设 表示 的最小值.求函数 的解析式，并
求出 取值范围.
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第 1页，共 2页《佳一中2025-2026学年度高一学年下学期期中考试》参考答案
题号
1
2
3
5
6
8
9
10
答案
A
D
⊙
D
A
AB
CD
题号
11
答案
ABD
12.2
13.6+2v2+2W3
4.时
15.(13分)
解：
(1)由a+b=3,平方得：
a2+2a·b+b2=9
代入a=2,b=V3,得a·b=1。
设夹角为0，cos日=
a.b 1 v3
ab2V3 6'
sin9-V1-cos20-图
答案第1页，共4页
(2)m=2a-3b,n=入a+b,夹角为钝角→m·n<0且m,n不共线。
①m·n=2λa2+(2-3λ)a·b-3b2<0,
代入解得：入<
21
@若共线：2×1-(-3到A=0→入=子，需含去
综上：入<
≠
11
3°
16.(15分)
()轴截面为等边三角形，AB-V3,底面半径r-
2，
母线=V3。
3π
侧面积：S侧=πrl=
2
3
3m2h-
1
3π
高h=
体积：V=
8
(2)证明：
取PB中点E,，连接QE,DE。
Q,E为中点→QE‖AB,又CD‖AB→QE‖CD:
M为OC中点，结合底面圆弧、中位线性质，得QM‖DE。
DEC平面PBD,QM4平面PBD,故QMI平面PBD。
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17.(15分)
(1)由正弦定理v3sinB=2 sin A sin B,sinB≠0，得sinA=
3
2
.A=60°或120°。
(2)a=2,A=60°，余弦定理：4=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc,即bc≤4.
S△ABc-号besin A≤V3
面积最大值为V3。
(3)△ABC为锐角三角形，a=3,A=60°，由正弦定理结合锐角范围，
9
求得周长取值范围，
2
9
18.(17分)
(1)证明：
由边长计算AB⊥BC,PB=PC得PO⊥BC,结合BF⊥AO、几何位置关系，
可证F为AC中点。
(2)证明：
由()得AO⊥BF,再证AO⊥EF,BF∩EF=F,
由线面垂直判定定理：AO⊥平面BEF。
(3)由三角形重心性质、线段比例，结合空间距离计算，求得PH=√2。
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19.(17分)
(1)证明：
直四棱柱中AD1‖BC,AC‖A1C,
AD1∩AC=A,BC1∩A1C1=C1,
由面面平行判定定理：平面ACD1平面A1CB。
(2)先求直四棱柱体积，再减去截去的三棱锥体积：
底面四边形面积结合边长计算，V楼柱=27，V三棱锥=3，
几何体体积V=24。
3)由∠A1D1C+∠A1B1C1=
3,设ZA1D1C=0
利用正弦定理、三角恒等变换化简函数：
f()=A1C(品+是+品+)
结合e(0,)
求出解析式与取值范围。
答案第4页，共4页

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