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江西省上高二中2025-2026学年高一下学期阶段性练习六数学试题
一、单选题
1．已知为虚数单位，则复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．下列各式中，值为的是
A． B．
C． D．
3．（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量在向量上的投影向量为，，则（ ）
A． B．4 C． D．8
5．如图，是边长为4的正方形，若，且为的中点，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．在 中， 分别是角 的对边， ，则（ ）
A．为锐角三角形 B．为直角三角形
C．为钝角三角形 D．以上三个选项都有可能
7．如图，在正方体中，、分别为棱、的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列有关复数的叙述正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则的虚部为
C．若，则 D．若，则
10．已知，，则（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．若，则
11．在中，，，的面积为，则（ ）
A．外接圆的面积为 B．
C．是等边三角形 D．的周长是
三、填空题
12．已知复数，则______
13．已知向量，的夹角为，，，则________．
14．已知，，则______.
四、解答题
15．已知都是锐角，，．
(1)求的值；
(2)求的值．
16．已知的角，，所对的边分别为，，，且，.
(1)求；
(2)若的面积为2，求和.
17．在中，角的对边分别为，已知.
(1)若，且边的中线长为，求的面积；
(2)若是锐角三角形，求的范围.
18．如图所示，正四棱锥中，为侧棱上靠近点的四等分点，为侧棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)若是侧棱上靠近点的三等分点，求证：平面.
19．已知函数.
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；
(2)若，求函数的值域；
(3)若方程在上有两个不相等的实数根，，求的值.
参考答案
1．C
【详解】因为，因此，复数对应的点位于第三象限.
故选：C.
2．C
【详解】对于选项A：；对于选项B：；对于选项C：；对于选项D：；故选C
3．B
【详解】
；
故选：B.
4．D
【详解】因为向量在向量上的投影向量为，
所以.
5．C
解：,,
,
故选：C
6．C
【详解】由余弦定理，，则，
整理可得，则，
结合是三角形的内角，则，
即是钝角三角形.
7．A
【详解】取的中点，连接、，设正方体的棱长为，
因为四边形为正方形，则且，
、分别为、的中点，则且，
所以，四边形为平行四边形，故且，
因为，，故直线与所成角为或其补角，
平面，平面，则，故，
因为，，
所以，.
因此，直线与所成角的余弦值是.
故选：A.
8．A
【详解】由，得，即，
则，
故
．
故选：A.
9．ACD
【详解】对于A，，则，故A正确；
对于B，，则的虚部为，故B不正确；
对于C，设，由得，所以，故C正确；
对于D，若，则复数对应的点在以为圆心，1为半径的圆上，这个圆上的点到原点的距离最小值为0，最大值为2，所以，D正确.
故选：ACD.
10．AC
【详解】选项A：，则，故A正确；
选项B：已知，则，解得，故B错误；
选项C：若，则，
，故C正确；
选项D：已知，则，解得，故D错误．
11．ABD
【详解】由三角形面积公式：，
代入得： ，解得，
由余弦定理，代入得： ，
结合得，
因此，得，
选项A： 由正弦定理（为外接圆半径），
代入得： ，得，外接圆面积，A正确，
选项B： 由正弦定理，，
得，代入，
，B正确，
选项C： 若为等边三角形，则边长为3，面积为，矛盾，C错误，
选项D： 周长为，D正确.
12．
【详解】因为，，，，，，
所以周期为4，则，，
所以.
故.
13．
【详解】，
所以
14．1
【详解】由，得，
又因为，可得，所以，
所以，
则.
15．(1)
(2)
【详解】（1）因为是锐角，，所以，
由，解得：，
所以.
（2）由得：，
所以，
因为，所以，所以，
所以，
由
，
又，所以.
16．(1)
(2)，
【详解】（1）由正弦定理可得，因为，所以，
所以.
（2）因为，所以，
又所以，.
所以，即，所以，
所以，解得，
所以.
因此，.
17．(1)
(2)
（1）解：在中，因为，
由余弦定理可得，即，
整理得，所以，
因为，所以，
又因为，
联立方程组，解得，所以，
因为为边中线，则，
所以，
可得，解得或（舍去），
所以的面积为.
（2）解：由正弦定理，可得
.
因为是锐角三角形，则，可得，所以，
因为，所以，则，
所以，所以.
18．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）如图：
连接，交于，连接，
由于分别是的中点，所以，
由于平面，平面，
所以平面.
（2）连接，由于，所以，
由于平面，平面，
所以平面.
由于平面,平面，
所以平面平面，
由于平面，所以平面.
19．(1)最小正周期为，
(2)
(3)
【详解】（1）
即，
最小正周期为，令，解得，
故单调递增区间为.
（2）由，，，
所以在区间上的值域为.
（3）由，，
令的两个解为，
则，，，，
所以.

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