资源简介

广西桂林市2026年数学中考二模考试试卷
1． -2026的绝对值是（　　）
A． B． C．2026 D．-2026
2．下列调查中，适合采用全面调查的是（　　）
A．了解漓江的水质情况
B．了解某班同学的跳绳成绩
C．了解某批次新能源汽车的抗撞击能力
D．了解全国中学生的视力状况
3．下列航天图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点C，点D为焦点.若CO=CD，∠ABD=153°，则∠COD的度数为（　　）
A．27° B．30° C．37° D．40°
5． 2026年桂林市丙午马年春节文旅市场马力全开，实现旅游接待人次和旅游总收入广西双第一.其中，接待游客总人数约12540000人次，将数据12540000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
6．下列计算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．已知正比例函数y=（a-2）x图象经过第二、四象限，则a的取值范围是（　　）
A．a<2 B．a≤2 C．a>2 D．a≥2
8．如图，菱形OABC的三个顶点A，B，C和点D均在⊙O上，则∠D的度数为（　　）
A．40° B．35° C．30° D．25°
9．若Rt△ABC的两直角边长a，b分别为一元二次方程：的两个实数根，则Rt△ABC的面积为（　　）
A．5 B．3 C． D．
10．五色糯米饭是壮族非遗特色美食.将一个半径为30cm的圆形容器分成五个扇形区域，若盛放黑色糯米饭的扇形区域的圆心角为72°，则该扇形的面积为（　　）
A．100πcm2 B．120πcm2 C．150πcm2 D．180πcm2
11．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题大意为：把一份文件送到900里外的城市，若用慢马送，需要的时间比规定的时间多1天；若用快马送，需要的时间比规定的时间少3天.已知快马的速度是慢马的2倍.根据题意列方程为则其中x表示（　　）
A．规定的时间 B．慢马需要的时间
C．快马需要的时间 D．慢马的速度
12．如图，平行四边形ABCO的对角线OB在y轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在反比例函数和的图象上，过点A，C分别作x轴的垂线，垂足分别为点D，E.若∠AOD=45°，且则k的值是（　　）
A．-6 B． C．-8 D．
13．9的算术平方根是 　 　．
14．已知一个不透明的袋子里装有3个红球、2个绿球和1个黑球，这些球除颜色外无其他差别.小红从袋子中一次取出了2个球，这两个球恰好都是红球的概率为　 　.
15．如图是某大型商场大厅内自动扶梯示意图.自动扶梯AB的坡角为30°，在自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角为60°，AC之间的距离为4米，则自动扶梯的垂直高度BD的长为　 　米.（结果保留根号）
16．对于一个各个数位上的数字均不为0的四位自然数（a，b，c，d均为大于等于1且小于等于9的整数），若满足则称这个数是“幂差数”，如四位数5611，因为所以5611是“幂差数”.若（其中m>n>1）是“幂差数”，则这个四位数是　 　.
17．
（1）计算：5+3×（-2）-π0
（2）解二元一次方程组：
18．如图，在矩形ABCD中，AC为对角线，∠DAC=26°.
（1）尺规作图：请作出线段AC的垂直平分线，交BC于点E，交AD于点F：（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接AE，求∠BAE的度数.
19．某市交管部门在全市范围内，组织开展了安全骑行电动自行车专项宣传教育活动.为了解宣传成效，工作人员分别在活动开展前后，随机抽取了部分骑行电动自行车的市民，围绕骑行时佩戴安全头盔的情况开展单项问卷调查.问卷设置四类选项：A.总是佩戴；B.经常佩戴；C.偶尔佩戴；D.从不佩戴.根据调查收集的相关数据，绘制了如下不完整的统计图.
请结合上述信息完成下列问题：
（1）直接写出活动前问卷调查的总人数，以及统计图中a和b的值；
（2）补全条形统计图，并结合复式折线统计图信息，简要评价本次安全骑行电动自行车专项宣传教育活动的开展效果；
（3）据调查，该市约有30万名电动自行车使用者，请估算活动后全市骑行电动自行车“从不佩戴”安全头盔的总人数.
20．如图，AB为⊙O的直径，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥BC于E，交BA延长线于点F.
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠ADF=30°，BD=2，求⊙O半径的长.
21．某中学为了美化校园环境，决定将边长为7米的正方形ABCD花圃按如下设计方案分成9个区域并种植不同的花卉：如图所示，点E，F，G，H分别为正方形ABCD的四条边上的点，四边形EFGH也是正方形，M，N，O、P分别为正方形EFGH四边的中点，其中所有①号区域种植甲种花卉，所有②号区域种植乙种花卉，③号区域种植丙种花卉.
（1）求证：△EAF≌△FBG；
（2）若甲种花卉的种植面积为20平方米，求AE的长；
（3）学校实际种植时，先取定AE=3米，再按设计方案种植.已知乙种花卉每平方米的种植费用为80元，丙种花卉每平方米的种植费用为100元，若本次种植总费用不能超过3450元，则甲种花卉每平方米的种植费用不能超过多少元
22．【项目背景】广西“三月三”背篓绣球是特色民俗体育项目，抛绣球者需让绣球沿弧线落入同伴背篓.某科研团队在绣球上植入微型传感器，借助人工智能视觉追踪算法，实时生成绣球运动轨迹图象，辅助某校AI社团研究抛绣球最大高度与接球者移动距离的关系.
【项目实施】社团的小华负责抛球，小李负责接球.小华第一次抛出绣球，AI系统捕捉到绣球运动轨迹为抛物线.经实地测量，绣球抛出点A与小李接球的最佳落点B离地面高度均为1.5米，且A、B两点水平距离AB=8米.
（1）【项目分析】如图，社团以点A为坐标原点，A、B点所在直线为x轴建立平面直角坐标系.
直接写出点B的坐标；
（2）若该抛物线解析式为求该抛物线的最高点到地面的距离；
（3）【深度研究】小华在同一抛出点A处进行第二次抛绣球时，只改变抛射角度，此时小李需从原落点B前后水平移动到新的最佳落点C接球（前后抛物线均在同一平面内）.已知新抛物线的表达式为设小李移动的距离BC为d.
当米时，求小李移动的距离d为多少米
（4）请直接写出k与移动的距离d之间的数量关系.
23．已知△ABC中，AB=AC，点D为射线AB上一动点，将线段DC绕点D顺时针旋转得到线段DE，且∠CDE=∠CAB，连接BE，EC.
（1）如图1，若∠CAB=90°，点D在线段AB上时，
①若点D为AB的中点，求tan∠BCE的值；
②求证：△ACD~△BCE；
（2）我们把顶角为36°的等腰三角形称为“锐角黄金三角形”，其底边长与腰长的比为如图2，若△ABC为锐角黄金三角形，且∠BAC=36°，点D在线段AB的延长线上运动，当点B是线段AD的黄金分割点时，求BE与CD所夹的角的度数.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：，
即-2026的绝对值是2006.
故答案为：C。
【分析】正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。本题中-2006是负数，因此绝对值就是它的相反数，从而得出答案。
2．【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、漓江水域范围大，无法全面检测水质，适合抽样调查；
B、一个班级学生数量少，便于全面统计跳绳成绩，适合全面调查；
C、测试汽车抗撞击能力具有破坏性，不能进行全面调查，适合抽样调查；
D、全国中学生人数多，范围广，不适合全面调查，适合抽样调查.
故答案为：B。
【分析】对于调查范围小、调查对象数量少、调查无破坏性、便于实施的调查，适合采用全面调查；反之适合采用抽样调查。本题根据全面调查和抽样调查的特点以及使用范围，结合各选项进行分析即可得出答案。
3．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：四个选项中，只有D对应的图形是中心对称图形；
故答案为：D．
【分析】一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形。本题根据中心对称图形的概念对各选项进行分析，发现只有D对应的图形满足中心对称图形的条件，从而得出答案
4．【答案】A
【知识点】两直线平行，同旁内角互补；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵AB∥OD，∠ABD=153°，
∴∠CDO=180°-∠ABD=180°-153°=27°，
∵CO=CD，
∴∠COD=∠CDO=27°。
故答案为：A。
【分析】本题根据平行光特点，结合图中信息得出AB∥OD，此时利用“两直线平行、同旁内角互补”得出∠CDO=27°，然后利用“等边对等角”即可得出答案。
5．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：12540000=，
故答案为：A。
【分析】 科学记数法，即将一个非常大或者非常小的数，写成（，为整数）。本题先确定=1.254，再根据小数点移动的数位确定=7，从而用科学记数法表示即可。
6．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A，，错误；
B，，正确；
C，，错误；
D，，错误。
故答案为：B。
【分析】本题根据合并同类项法则计算判断A选项，幂的乘方运算法则计算判断B选项，积的乘方运算法则计算判断C选项，同底数幂的乘法法则计算判断D选项。
7．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：∵正比例函数y=（a-2）x图象经过第二、四象限，
∴a-2＜0，
解得a＜2，
故答案为：A。
【分析】本题根据正比例函数y=kx图象经过第二、四象限的特点，首先判断k＜0，即a-2＜0，然后求解不等式即可。
8．【答案】C
【知识点】菱形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OB、AC，如图
∵，
∴∠D=∠ACB=，
∵四边形OABC是菱形，且O是圆心，A，B，C和点D均在⊙O上，
∴OA=AB=OB，
∴△AOB是等边三角形，∠AOB=60°，
∴∠D==30°，
故答案为：C。
【分析】做辅助线后，根据同弧对应的圆周角相等、对应的圆周角是圆心角的一半，可以先得出∠D=∠ACB=，然后结合菱形的性质以及圆的特点，得出△AOB是等边三角形，∠AOB=60°，最后代入计算即可。
9．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；三角形的面积
【解析】【解答】解：根据题意得出，ab==3，
而a和b是Rt△ABC的两直角边，
∴S△ABC=，
故答案为：D。
【分析】本题先根据韦达定理求出ab==3，然后根据直角三角形面积计算公式列式计算即可。
10．【答案】D
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：，
即该扇形的面积为180πcm2。
故答案为：D。
【分析】本题结合扇形的面积计算公式，将n=72、r=30代入计算即可求出扇形的面积。
11．【答案】B
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：A，如果x表示规定的时间，则慢马所用时间为（x+1）天，快马所用时间为（x-3）天，且“ 快马的速度是慢马的2倍 ”，因此列式，错误；
B，如果x表示慢马需要的时间，则表示慢马的速度，条件“慢马送，需要的时间比规定的时间多1天；若用快马送，需要的时间比规定的时间少3天”，即快马比慢马少用4天，因此快马的速度是，而“ 快马的速度是慢马的2倍 ”，因此慢马的速度是快马的，此时列式 正确；
C，如果x表示快马需要的时间，则表示快马的速度，条件“慢马送，需要的时间比规定的时间多1天；若用快马送，需要的时间比规定的时间少3天”，即快马比慢马少用4天，因此慢马的速度是，而“ 快马的速度是慢马的2倍 ”，此时列式 错误；
D，如果x表示慢马的速度，则快马的速度为2x，因此表示慢马所用的时间，且快马比慢马少用4天，因此列式错误；
故答案为：B。
【分析】本题从选项入手，结合条件并利用“路程、速度、时间”三者关系式，逐个选项分析并列出分式方程，即可得出答案。
12．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；平行四边形的性质；正切的概念
【解析】【解答】解：∵A点在第一象限，在反比例函数，且AD⊥x轴，∠AOD=45°，
∴OD=AD，且OD×AD=4，
∴OD=AD=2，即A（2，2），
∵C点在第二象限，在反比例函数，且CE⊥x轴，
∴CE=2OE，且OE×CE=k，
∵平行四边形ABCO的对角线OB在y轴正半轴上，假设C（a，2a），
∴S△BCO=S△BOA，即，
∴a=-2，
即C（-2，4），
∴k=-2×4=-8，
故答案为：C。
【分析】本题先根据k的几何意义，结合A点的位置以及等腰直角三角形的判定及性质，可以先求出A（2，2）；同理结合正切的定义以及C点所在的位置，列式得出OE×CE=k；接着结合平行四边形的性质，并结合三角形面积列式求出C（-2，4），最后再根据k的几何意义代入计算即可求出k的值。
13．【答案】3
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵32=9，
∴9算术平方根为3．
故答案为：3．
【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，根据此定义即可求出结果．
14．【答案】
【知识点】概率公式；等可能事件的概率；用列举法求概率
【解析】【解答】解：袋子里一共有3+2+1=6个球，一次取出2个球，有=15种情况，
而取出的两个球恰好是红球的可能性有=3种情况，
∴这两个球恰好都是红球的概率为.
故答案为：。
【分析】本题先分析得出，从袋子种的6个球中一次取出2个球，有（红，红）、（红，红）、（红，绿）、（红，绿）、（红，黑）、（红，红）、（红，绿）、（红，绿）、（红，黑）、（红，绿）、（红，绿）、（红，黑）、（绿，绿）、（绿，黑）、（绿，黑），因此有=15种情况，而其中两个球恰好是红球的只有3种情况，最后根据概率公式列式计算即可。
15．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；已知正弦值求边长；三角形的外角和
【解析】【解答】解：∵∠A=30°，∠BCD=60°，
∴∠ABC=∠BCD-∠A=60°-30°=30°，
∴AC=BC=4米，
∵BD⊥AD，即∠BDC=90°，
∴BD=BC×sin∠BCD=4×sin∠60°=米。
故答案为：。
【分析】本题先用三角形外角和，计算出∠ABC=30°，此时“等角对等边”可以得出AC=BC=4米，结合垂直的定义以及正弦值，列式计算即可求出BD的长。
16．【答案】4212
【知识点】绝对值的非负性；分类讨论
【解析】【解答】解：结合条件列式，
∵m>n>1，
∴m2＞n2，
即m2-n2=12，
当n=2时，m2=12+4=16，解得m=4，此时这个四位数是4212；
当n=3时，m2=12+9=21，此时m不是整数，不符合条件；
当n=4时，m2=12+16=28，此时m不是整数，不符合条件；
当n=5时，m2=12+25=37，此时m不是整数，不符合条件；
当n=6时，m2=12+36=48，此时m不是整数，不符合条件；
当n=7时，m2=12+49=61，此时m不是整数，不符合条件；
当n=8时，m2=12+64=76，此时m不是整数，不符合条件；
当n=9时，m2=12+81=93，此时m不是整数，不符合条件；
故答案为：4212.
【分析】本题结合定义中的“ 幂差数 ”，先列式，然后根据条件“m>n>1”以及绝对值的非负性，得出m2-n2=12，接着结合m和n均为大于等于1且小于等于9的整数且m>n>1，逐个代入计算分析即可得出答案。
17．【答案】（1）解：原式=5-6-1=-2
（2）解：①+②，得3x=6，
解得x=2，
把x=2代入①，得4+y=5，
解得y=1
∴原方程组的解为。
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；零指数幂；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）先根据正数和负数的乘积为负数以及零指数，分别计算得出3×（-2）=-6、π0=1，然后按照有理数的加减计算法则进行计算即可；
（2）利用加减消元法先计算出x=2，然后代入任意一个方程中求出y=1，此时即可求出方程组的解。
18．【答案】（1）如图所示，EF即为线段AC的垂直平分线
（2）解：连接AE，如图
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，∠B=90°，
∴∠DAC=∠ACB=26°，
由（1）可知EF垂直平分AC，
∴AE=EC，
∴∠CAE=∠ACB=26°，
∴∠BAE=180°-∠B-∠CAE-∠ACB=180°-90°-26°-26°=38°。
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的性质；尺规作图-垂直平分线；两直线平行，内错角相等；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）分别以A、C为圆心，大于长为半径画弧，交AC两侧于两点，连接这两点并向两端延伸，交BC于点E，交AD于点F，EF即为线段AC的垂直平分线；
（2）结合矩形的性质以及“两直线平行、内错角相等”，可以求出∠DAC=∠ACB=26°，然后结合“垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”得出AE=EC，此时利用“等边对等角”得出∠CAE=∠ACB=26°，最后结合三角形内角和以及角度的加减，计算得出∠BAE=38°。
19．【答案】（1）1000，a=240，b=54.2%
（2）如图所示；
观察统计图发现，本次安全骑行电动自行车专项宣传教育活动之后，“总是佩戴”和“经常佩戴”头盔的人数明显增加，“偶尔佩戴”和“从不佩戴”头盔的人数明显下降，因此该活动之后，可以有效提高市民骑电动自行车戴安全头盔的安全意识。
（3）解：300000×3.2%=9600（人）
答：活动后全市骑电动自行车“从不佩戴”安全头盔的总人数约为9600人。
【知识点】条形统计图；折线统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：68÷6.8%=1000人，1000×15%=150人，1000-68-542-150=240人；542÷1000=54.2%，
∴活动前问卷调查的总人数是1000人，a=240，b=54.2%；
【分析】（1）从两个统计图中发现，A的68人对应的活动前占比是6.8%，因此列式68÷6.8%=1000人即为调查总人数；而D在活动前的占比为15%，因此计算1000×15%=150人即为D对应的人数，此时作差1000-68-542-150=240人即为a的值，最后除法计算542÷1000=54.2%，即为b的值；
（2）结合（1）的计算结果先补全统计图，然后分析发现活动前和活动后，“总是佩戴”和“经常佩戴”头盔的人数明显增加，“偶尔佩戴”和“从不佩戴”头盔的人数明显下降，因此得出结论，有效提高市民骑电动自行车戴安全头盔的安全意识。
（3）从复式折线统计图中发现，活动后“从不佩戴”安全头盔占比是3.2%，因此30万人估算有300000×3.2%=9600人“从不佩戴”安全头盔，从而得出答案。
20．【答案】（1）证明：连接OD，如图
则OD=OB，
∴∠OBD=∠ODB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD=∠DBE=∠ODB，
∴OD∥BC，
∴∠ODF=∠BEF，
∵DE⊥BC，
∴OD⊥EF而点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线。
（2）解：由（1）可知OD⊥EF，
∴∠ADO=90°-∠ADF=90°-30°=60°，
∵AB为⊙O的直径，OD=OA，
∴∠ADB=90°，∠ADO=∠OAD=60°，
，
∴⊙O半径的长为2.
【知识点】切线的判定与性质；角平分线的概念；已知正弦值求边长；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】（1）做辅助线后，先根据圆的半径相等，得出OD=OB，此时利用“等边对等角”以及角平分线的定义，综合得出∠OBD=∠DBE=∠ODB，此时依据“内错角相等、两直线平行”得出OD∥BC，然后利用“两直线平行、同位角相等”以及垂直的定义、切线的判定，即可得出证明结果；
（2）结合切线的性质以及条件∠ADF=30° ，计算得出∠ADO=60°，然后结合圆的半径相等、圆周角定理以及等边三角形的判定和性质，即可得出∠ADB=90°，∠ADO=∠OAD=60°，最后放到直角三角形ABD中，利用正弦值列式计算求出直径AB=4，即可得出半径长度。
21．【答案】（1）证明：在正方形ABCD和正方形EFGH中，∠A=∠B=∠EFG=90°，EF=FG，
∴∠AFE+∠BFG=90°，∠AFE+∠AEF=90°，
∴∠BFG=∠AEF，
∴△EAF≌△FBG（AAS）。
（2）解：结合（1）的证明步骤和结果，同理可得△EAF≌△FBG≌△GCH≌△HDE，
∴AE=BF=CG=DH，AF=BG=HC=DE，
设AE=BF=CG=DH=x米，则AF=BG=HC=DE=（7-x）米，
则，
解得，
∴AE的长为2米或5米。
（3）解：∵AE=3米，
∴AF=7-3=4米，米，
∵M，N，O、P分别为正方形EFGH四边的中点，
∴EM=EP=MF=FN=NG=GO=OH=PH==米，米，
且∠EMP=∠FMN=45°，
∴∠PMN=90°，即四边形MPON是正方形，
∴甲种花卉的种植面积为平方米，乙种花卉的种植面积为平方米，丙种花卉种植面积为平方米，
设甲种花卉的种植费用为a元/平方米，则，
解得a≤50，
答：甲种花卉的种植费用不能超过50元/平方米。
【知识点】三角形的面积；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；列一元一次不等式；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）结合正方形的性质得出∠A=∠B=∠EFG=90°，EF=FG，然后结合平角以及直角三角形锐角互余，推出∠BFG=∠AEF，此时利用AAS即可证明△EAF≌△FBG；
（2）结合（1）的证明步骤和结果，同理可得△EAF≌△FBG≌△GCH≌△HDE，然后得出对应边相等，即AE=BF=CG=DH=x米，则AF=BG=HC=DE=（7-x）米，接着利用直角三角形面积计算公式列式，求解x即可；
（3）先用勾股定理计算出EF=5米，然后结合条件证明出四边形MPON是正方形，同时计算出甲种花卉的种植面积为24平方米，乙种花卉的种植面积为平方米，丙种花卉种植面积为平方米，最后结合条件列出不等式，求解a即可。
22．【答案】（1）B（8，0）
（2）解：，
∴该抛物线的最高点坐标为，
（米）
∴最高点到地面距离为4.7米
（3）解：将A（0，0），代入，得
解得h=3，
∴A（0，0）关于直线x=3的对称点为C（6，0），即AC=6，
∴d=|AC-AB|=|6-8|=2。
（4）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】（1）解：∵AB=8米，且A点坐标为（0，0），B在A点右侧，AB在x正半轴上，
∴B（8，0）；
（4）解：将（0，0）代入中，得h2=5k，
∵h＞0，
∴h=，
∵新抛物线(h，k>0)的图象关于直线x=h对称，且A(0，0)，
∴C(2h，0)，
即AC=2h，
∴d=BC=|AC-AB|=，即；
【分析】（1）结合图中信息和条件，首先确定A点坐标为（0，0），B在A点右侧，AB在x正半轴上，然后根据AB的长即可确定B点坐标；
（2）先将抛物线解析式变形为顶点式，即，此时得出该抛物线的最高点坐标为，即最高点距离x轴时米，然后根据条件“ 点A与小李接球的最佳落点B离地面高度均为1.5米 ”，即x轴距离地面1.5米，此时求和即可得出答案；
（3）利用待定系数法将A（0，0），代入，即可求出h，结合抛物线对称性的特点即可求出C（6，0），即AC=6，最后作差计算即可求出d；
（4）本题结合图中信息发现，新抛物线同样经过（0，0），因此代入可以得出h=，结合抛物线的对称轴以及对称性得出C(2h，0)，即AC=2h，最后代入公式d=BC=|AC-AB|即可得出答案。
23．【答案】（1）解：①∵∠CAB=90°，∠CDE=∠CAB，
∴∠CDE=∠CAB=90°，
由旋转可知，CD=DE，
且AB=AC，
∴△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠ACB=DCE=45°，
∴∠ACB-∠DCB=DCE-∠DCB，
即∠ACD =∠BCE，
∵点D为AB的中点，
∴；
②由①可知△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，
∴△ABC∽△DEC，
，
，
∴△ACD∽△BCE.
（2）解：如图2，
依题可得∠BAC=∠CDE=36°，且△ABC和△DEC均为等腰三角形，
∴∠ABC=∠CED=72°，
∴△ABC∽△DEC，
，
，
∴△ACD∽△BCE.
∴∠ABE=108°，
∵，
，
当B是线段AD的黄金分割点时，分两种情况：
①若点B是靠近点D的黄金分割点，则
∴AB=BE，如图3所示，
∴∠BAE=∠AEB=36°
而∠BAC=36°，故点C在AE上，
∴∠BED=∠CED-∠AEB=72°-36°=36°，
∴∠BFD=∠CDE+∠BED=36°+36°=72°，
②若点B是靠近点A的黄金分割点，则，
∴BD=BE，如图4所示，
∴∠BDE=∠BED，
又∵△ACD∽△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，
而∠CDE=36°，∠CED=72°，
∴∠ADC+36°=72°-∠BEC，
∴∠ADC=∠BEC=18°，
∴∠BFD=∠EDF+∠DEF=36°+72°-18°=90°，
综上所述，BE与CD所夹的角为72°或90°。
【知识点】黄金分割；相似三角形的判定；旋转的性质；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）①结合条件以及旋转的性质，先推出△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，然后得出∠ACB=∠ACB=DCE=45°，接着结合图中的角度以及角度作差计算得出∠ACD =∠BCE，最后利用线段中点以及转化，得出；
②首先结合等腰直角三角形的性质，可以直接得出△ABC∽△DEC，此时推出对应边成比例且夹角相等，即，然后依据比例性质变形得出，此时利用“对应边长成比例且夹角相等，两三角形相似”，从而得出△ACD∽△BCE；
（2）首先计算出∠BAC=∠CDE=36°，然后结合等腰三角形的性质以及三角形内角和，计算出∠ABC=∠CED=72°，然后利用AA证明△ABC∽△DEC，同理②的证明步骤综合得出△ACD∽△BCE，并结合相似三角形的性质得出∠ABE=108°、；接着分点B是靠近点D、和靠近点A两种情况，分别结合图中信息进行角度列式计算即可得出答案。
1 / 1广西桂林市2026年数学中考二模考试试卷
1． -2026的绝对值是（　　）
A． B． C．2026 D．-2026
【答案】C
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：，
即-2026的绝对值是2006.
故答案为：C。
【分析】正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。本题中-2006是负数，因此绝对值就是它的相反数，从而得出答案。
2．下列调查中，适合采用全面调查的是（　　）
A．了解漓江的水质情况
B．了解某班同学的跳绳成绩
C．了解某批次新能源汽车的抗撞击能力
D．了解全国中学生的视力状况
【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、漓江水域范围大，无法全面检测水质，适合抽样调查；
B、一个班级学生数量少，便于全面统计跳绳成绩，适合全面调查；
C、测试汽车抗撞击能力具有破坏性，不能进行全面调查，适合抽样调查；
D、全国中学生人数多，范围广，不适合全面调查，适合抽样调查.
故答案为：B。
【分析】对于调查范围小、调查对象数量少、调查无破坏性、便于实施的调查，适合采用全面调查；反之适合采用抽样调查。本题根据全面调查和抽样调查的特点以及使用范围，结合各选项进行分析即可得出答案。
3．下列航天图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：四个选项中，只有D对应的图形是中心对称图形；
故答案为：D．
【分析】一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形。本题根据中心对称图形的概念对各选项进行分析，发现只有D对应的图形满足中心对称图形的条件，从而得出答案
4．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点C，点D为焦点.若CO=CD，∠ABD=153°，则∠COD的度数为（　　）
A．27° B．30° C．37° D．40°
【答案】A
【知识点】两直线平行，同旁内角互补；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵AB∥OD，∠ABD=153°，
∴∠CDO=180°-∠ABD=180°-153°=27°，
∵CO=CD，
∴∠COD=∠CDO=27°。
故答案为：A。
【分析】本题根据平行光特点，结合图中信息得出AB∥OD，此时利用“两直线平行、同旁内角互补”得出∠CDO=27°，然后利用“等边对等角”即可得出答案。
5． 2026年桂林市丙午马年春节文旅市场马力全开，实现旅游接待人次和旅游总收入广西双第一.其中，接待游客总人数约12540000人次，将数据12540000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：12540000=，
故答案为：A。
【分析】 科学记数法，即将一个非常大或者非常小的数，写成（，为整数）。本题先确定=1.254，再根据小数点移动的数位确定=7，从而用科学记数法表示即可。
6．下列计算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A，，错误；
B，，正确；
C，，错误；
D，，错误。
故答案为：B。
【分析】本题根据合并同类项法则计算判断A选项，幂的乘方运算法则计算判断B选项，积的乘方运算法则计算判断C选项，同底数幂的乘法法则计算判断D选项。
7．已知正比例函数y=（a-2）x图象经过第二、四象限，则a的取值范围是（　　）
A．a<2 B．a≤2 C．a>2 D．a≥2
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：∵正比例函数y=（a-2）x图象经过第二、四象限，
∴a-2＜0，
解得a＜2，
故答案为：A。
【分析】本题根据正比例函数y=kx图象经过第二、四象限的特点，首先判断k＜0，即a-2＜0，然后求解不等式即可。
8．如图，菱形OABC的三个顶点A，B，C和点D均在⊙O上，则∠D的度数为（　　）
A．40° B．35° C．30° D．25°
【答案】C
【知识点】菱形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OB、AC，如图
∵，
∴∠D=∠ACB=，
∵四边形OABC是菱形，且O是圆心，A，B，C和点D均在⊙O上，
∴OA=AB=OB，
∴△AOB是等边三角形，∠AOB=60°，
∴∠D==30°，
故答案为：C。
【分析】做辅助线后，根据同弧对应的圆周角相等、对应的圆周角是圆心角的一半，可以先得出∠D=∠ACB=，然后结合菱形的性质以及圆的特点，得出△AOB是等边三角形，∠AOB=60°，最后代入计算即可。
9．若Rt△ABC的两直角边长a，b分别为一元二次方程：的两个实数根，则Rt△ABC的面积为（　　）
A．5 B．3 C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；三角形的面积
【解析】【解答】解：根据题意得出，ab==3，
而a和b是Rt△ABC的两直角边，
∴S△ABC=，
故答案为：D。
【分析】本题先根据韦达定理求出ab==3，然后根据直角三角形面积计算公式列式计算即可。
10．五色糯米饭是壮族非遗特色美食.将一个半径为30cm的圆形容器分成五个扇形区域，若盛放黑色糯米饭的扇形区域的圆心角为72°，则该扇形的面积为（　　）
A．100πcm2 B．120πcm2 C．150πcm2 D．180πcm2
【答案】D
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：，
即该扇形的面积为180πcm2。
故答案为：D。
【分析】本题结合扇形的面积计算公式，将n=72、r=30代入计算即可求出扇形的面积。
11．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题大意为：把一份文件送到900里外的城市，若用慢马送，需要的时间比规定的时间多1天；若用快马送，需要的时间比规定的时间少3天.已知快马的速度是慢马的2倍.根据题意列方程为则其中x表示（　　）
A．规定的时间 B．慢马需要的时间
C．快马需要的时间 D．慢马的速度
【答案】B
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：A，如果x表示规定的时间，则慢马所用时间为（x+1）天，快马所用时间为（x-3）天，且“ 快马的速度是慢马的2倍 ”，因此列式，错误；
B，如果x表示慢马需要的时间，则表示慢马的速度，条件“慢马送，需要的时间比规定的时间多1天；若用快马送，需要的时间比规定的时间少3天”，即快马比慢马少用4天，因此快马的速度是，而“ 快马的速度是慢马的2倍 ”，因此慢马的速度是快马的，此时列式 正确；
C，如果x表示快马需要的时间，则表示快马的速度，条件“慢马送，需要的时间比规定的时间多1天；若用快马送，需要的时间比规定的时间少3天”，即快马比慢马少用4天，因此慢马的速度是，而“ 快马的速度是慢马的2倍 ”，此时列式 错误；
D，如果x表示慢马的速度，则快马的速度为2x，因此表示慢马所用的时间，且快马比慢马少用4天，因此列式错误；
故答案为：B。
【分析】本题从选项入手，结合条件并利用“路程、速度、时间”三者关系式，逐个选项分析并列出分式方程，即可得出答案。
12．如图，平行四边形ABCO的对角线OB在y轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在反比例函数和的图象上，过点A，C分别作x轴的垂线，垂足分别为点D，E.若∠AOD=45°，且则k的值是（　　）
A．-6 B． C．-8 D．
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；平行四边形的性质；正切的概念
【解析】【解答】解：∵A点在第一象限，在反比例函数，且AD⊥x轴，∠AOD=45°，
∴OD=AD，且OD×AD=4，
∴OD=AD=2，即A（2，2），
∵C点在第二象限，在反比例函数，且CE⊥x轴，
∴CE=2OE，且OE×CE=k，
∵平行四边形ABCO的对角线OB在y轴正半轴上，假设C（a，2a），
∴S△BCO=S△BOA，即，
∴a=-2，
即C（-2，4），
∴k=-2×4=-8，
故答案为：C。
【分析】本题先根据k的几何意义，结合A点的位置以及等腰直角三角形的判定及性质，可以先求出A（2，2）；同理结合正切的定义以及C点所在的位置，列式得出OE×CE=k；接着结合平行四边形的性质，并结合三角形面积列式求出C（-2，4），最后再根据k的几何意义代入计算即可求出k的值。
13．9的算术平方根是 　 　．
【答案】3
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵32=9，
∴9算术平方根为3．
故答案为：3．
【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，根据此定义即可求出结果．
14．已知一个不透明的袋子里装有3个红球、2个绿球和1个黑球，这些球除颜色外无其他差别.小红从袋子中一次取出了2个球，这两个球恰好都是红球的概率为　 　.
【答案】
【知识点】概率公式；等可能事件的概率；用列举法求概率
【解析】【解答】解：袋子里一共有3+2+1=6个球，一次取出2个球，有=15种情况，
而取出的两个球恰好是红球的可能性有=3种情况，
∴这两个球恰好都是红球的概率为.
故答案为：。
【分析】本题先分析得出，从袋子种的6个球中一次取出2个球，有（红，红）、（红，红）、（红，绿）、（红，绿）、（红，黑）、（红，红）、（红，绿）、（红，绿）、（红，黑）、（红，绿）、（红，绿）、（红，黑）、（绿，绿）、（绿，黑）、（绿，黑），因此有=15种情况，而其中两个球恰好是红球的只有3种情况，最后根据概率公式列式计算即可。
15．如图是某大型商场大厅内自动扶梯示意图.自动扶梯AB的坡角为30°，在自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角为60°，AC之间的距离为4米，则自动扶梯的垂直高度BD的长为　 　米.（结果保留根号）
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；已知正弦值求边长；三角形的外角和
【解析】【解答】解：∵∠A=30°，∠BCD=60°，
∴∠ABC=∠BCD-∠A=60°-30°=30°，
∴AC=BC=4米，
∵BD⊥AD，即∠BDC=90°，
∴BD=BC×sin∠BCD=4×sin∠60°=米。
故答案为：。
【分析】本题先用三角形外角和，计算出∠ABC=30°，此时“等角对等边”可以得出AC=BC=4米，结合垂直的定义以及正弦值，列式计算即可求出BD的长。
16．对于一个各个数位上的数字均不为0的四位自然数（a，b，c，d均为大于等于1且小于等于9的整数），若满足则称这个数是“幂差数”，如四位数5611，因为所以5611是“幂差数”.若（其中m>n>1）是“幂差数”，则这个四位数是　 　.
【答案】4212
【知识点】绝对值的非负性；分类讨论
【解析】【解答】解：结合条件列式，
∵m>n>1，
∴m2＞n2，
即m2-n2=12，
当n=2时，m2=12+4=16，解得m=4，此时这个四位数是4212；
当n=3时，m2=12+9=21，此时m不是整数，不符合条件；
当n=4时，m2=12+16=28，此时m不是整数，不符合条件；
当n=5时，m2=12+25=37，此时m不是整数，不符合条件；
当n=6时，m2=12+36=48，此时m不是整数，不符合条件；
当n=7时，m2=12+49=61，此时m不是整数，不符合条件；
当n=8时，m2=12+64=76，此时m不是整数，不符合条件；
当n=9时，m2=12+81=93，此时m不是整数，不符合条件；
故答案为：4212.
【分析】本题结合定义中的“ 幂差数 ”，先列式，然后根据条件“m>n>1”以及绝对值的非负性，得出m2-n2=12，接着结合m和n均为大于等于1且小于等于9的整数且m>n>1，逐个代入计算分析即可得出答案。
17．
（1）计算：5+3×（-2）-π0
（2）解二元一次方程组：
【答案】（1）解：原式=5-6-1=-2
（2）解：①+②，得3x=6，
解得x=2，
把x=2代入①，得4+y=5，
解得y=1
∴原方程组的解为。
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；零指数幂；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）先根据正数和负数的乘积为负数以及零指数，分别计算得出3×（-2）=-6、π0=1，然后按照有理数的加减计算法则进行计算即可；
（2）利用加减消元法先计算出x=2，然后代入任意一个方程中求出y=1，此时即可求出方程组的解。
18．如图，在矩形ABCD中，AC为对角线，∠DAC=26°.
（1）尺规作图：请作出线段AC的垂直平分线，交BC于点E，交AD于点F：（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接AE，求∠BAE的度数.
【答案】（1）如图所示，EF即为线段AC的垂直平分线
（2）解：连接AE，如图
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，∠B=90°，
∴∠DAC=∠ACB=26°，
由（1）可知EF垂直平分AC，
∴AE=EC，
∴∠CAE=∠ACB=26°，
∴∠BAE=180°-∠B-∠CAE-∠ACB=180°-90°-26°-26°=38°。
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的性质；尺规作图-垂直平分线；两直线平行，内错角相等；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）分别以A、C为圆心，大于长为半径画弧，交AC两侧于两点，连接这两点并向两端延伸，交BC于点E，交AD于点F，EF即为线段AC的垂直平分线；
（2）结合矩形的性质以及“两直线平行、内错角相等”，可以求出∠DAC=∠ACB=26°，然后结合“垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”得出AE=EC，此时利用“等边对等角”得出∠CAE=∠ACB=26°，最后结合三角形内角和以及角度的加减，计算得出∠BAE=38°。
19．某市交管部门在全市范围内，组织开展了安全骑行电动自行车专项宣传教育活动.为了解宣传成效，工作人员分别在活动开展前后，随机抽取了部分骑行电动自行车的市民，围绕骑行时佩戴安全头盔的情况开展单项问卷调查.问卷设置四类选项：A.总是佩戴；B.经常佩戴；C.偶尔佩戴；D.从不佩戴.根据调查收集的相关数据，绘制了如下不完整的统计图.
请结合上述信息完成下列问题：
（1）直接写出活动前问卷调查的总人数，以及统计图中a和b的值；
（2）补全条形统计图，并结合复式折线统计图信息，简要评价本次安全骑行电动自行车专项宣传教育活动的开展效果；
（3）据调查，该市约有30万名电动自行车使用者，请估算活动后全市骑行电动自行车“从不佩戴”安全头盔的总人数.
【答案】（1）1000，a=240，b=54.2%
（2）如图所示；
观察统计图发现，本次安全骑行电动自行车专项宣传教育活动之后，“总是佩戴”和“经常佩戴”头盔的人数明显增加，“偶尔佩戴”和“从不佩戴”头盔的人数明显下降，因此该活动之后，可以有效提高市民骑电动自行车戴安全头盔的安全意识。
（3）解：300000×3.2%=9600（人）
答：活动后全市骑电动自行车“从不佩戴”安全头盔的总人数约为9600人。
【知识点】条形统计图；折线统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：68÷6.8%=1000人，1000×15%=150人，1000-68-542-150=240人；542÷1000=54.2%，
∴活动前问卷调查的总人数是1000人，a=240，b=54.2%；
【分析】（1）从两个统计图中发现，A的68人对应的活动前占比是6.8%，因此列式68÷6.8%=1000人即为调查总人数；而D在活动前的占比为15%，因此计算1000×15%=150人即为D对应的人数，此时作差1000-68-542-150=240人即为a的值，最后除法计算542÷1000=54.2%，即为b的值；
（2）结合（1）的计算结果先补全统计图，然后分析发现活动前和活动后，“总是佩戴”和“经常佩戴”头盔的人数明显增加，“偶尔佩戴”和“从不佩戴”头盔的人数明显下降，因此得出结论，有效提高市民骑电动自行车戴安全头盔的安全意识。
（3）从复式折线统计图中发现，活动后“从不佩戴”安全头盔占比是3.2%，因此30万人估算有300000×3.2%=9600人“从不佩戴”安全头盔，从而得出答案。
20．如图，AB为⊙O的直径，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥BC于E，交BA延长线于点F.
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠ADF=30°，BD=2，求⊙O半径的长.
【答案】（1）证明：连接OD，如图
则OD=OB，
∴∠OBD=∠ODB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD=∠DBE=∠ODB，
∴OD∥BC，
∴∠ODF=∠BEF，
∵DE⊥BC，
∴OD⊥EF而点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线。
（2）解：由（1）可知OD⊥EF，
∴∠ADO=90°-∠ADF=90°-30°=60°，
∵AB为⊙O的直径，OD=OA，
∴∠ADB=90°，∠ADO=∠OAD=60°，
，
∴⊙O半径的长为2.
【知识点】切线的判定与性质；角平分线的概念；已知正弦值求边长；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】（1）做辅助线后，先根据圆的半径相等，得出OD=OB，此时利用“等边对等角”以及角平分线的定义，综合得出∠OBD=∠DBE=∠ODB，此时依据“内错角相等、两直线平行”得出OD∥BC，然后利用“两直线平行、同位角相等”以及垂直的定义、切线的判定，即可得出证明结果；
（2）结合切线的性质以及条件∠ADF=30° ，计算得出∠ADO=60°，然后结合圆的半径相等、圆周角定理以及等边三角形的判定和性质，即可得出∠ADB=90°，∠ADO=∠OAD=60°，最后放到直角三角形ABD中，利用正弦值列式计算求出直径AB=4，即可得出半径长度。
21．某中学为了美化校园环境，决定将边长为7米的正方形ABCD花圃按如下设计方案分成9个区域并种植不同的花卉：如图所示，点E，F，G，H分别为正方形ABCD的四条边上的点，四边形EFGH也是正方形，M，N，O、P分别为正方形EFGH四边的中点，其中所有①号区域种植甲种花卉，所有②号区域种植乙种花卉，③号区域种植丙种花卉.
（1）求证：△EAF≌△FBG；
（2）若甲种花卉的种植面积为20平方米，求AE的长；
（3）学校实际种植时，先取定AE=3米，再按设计方案种植.已知乙种花卉每平方米的种植费用为80元，丙种花卉每平方米的种植费用为100元，若本次种植总费用不能超过3450元，则甲种花卉每平方米的种植费用不能超过多少元
【答案】（1）证明：在正方形ABCD和正方形EFGH中，∠A=∠B=∠EFG=90°，EF=FG，
∴∠AFE+∠BFG=90°，∠AFE+∠AEF=90°，
∴∠BFG=∠AEF，
∴△EAF≌△FBG（AAS）。
（2）解：结合（1）的证明步骤和结果，同理可得△EAF≌△FBG≌△GCH≌△HDE，
∴AE=BF=CG=DH，AF=BG=HC=DE，
设AE=BF=CG=DH=x米，则AF=BG=HC=DE=（7-x）米，
则，
解得，
∴AE的长为2米或5米。
（3）解：∵AE=3米，
∴AF=7-3=4米，米，
∵M，N，O、P分别为正方形EFGH四边的中点，
∴EM=EP=MF=FN=NG=GO=OH=PH==米，米，
且∠EMP=∠FMN=45°，
∴∠PMN=90°，即四边形MPON是正方形，
∴甲种花卉的种植面积为平方米，乙种花卉的种植面积为平方米，丙种花卉种植面积为平方米，
设甲种花卉的种植费用为a元/平方米，则，
解得a≤50，
答：甲种花卉的种植费用不能超过50元/平方米。
【知识点】三角形的面积；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；列一元一次不等式；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）结合正方形的性质得出∠A=∠B=∠EFG=90°，EF=FG，然后结合平角以及直角三角形锐角互余，推出∠BFG=∠AEF，此时利用AAS即可证明△EAF≌△FBG；
（2）结合（1）的证明步骤和结果，同理可得△EAF≌△FBG≌△GCH≌△HDE，然后得出对应边相等，即AE=BF=CG=DH=x米，则AF=BG=HC=DE=（7-x）米，接着利用直角三角形面积计算公式列式，求解x即可；
（3）先用勾股定理计算出EF=5米，然后结合条件证明出四边形MPON是正方形，同时计算出甲种花卉的种植面积为24平方米，乙种花卉的种植面积为平方米，丙种花卉种植面积为平方米，最后结合条件列出不等式，求解a即可。
22．【项目背景】广西“三月三”背篓绣球是特色民俗体育项目，抛绣球者需让绣球沿弧线落入同伴背篓.某科研团队在绣球上植入微型传感器，借助人工智能视觉追踪算法，实时生成绣球运动轨迹图象，辅助某校AI社团研究抛绣球最大高度与接球者移动距离的关系.
【项目实施】社团的小华负责抛球，小李负责接球.小华第一次抛出绣球，AI系统捕捉到绣球运动轨迹为抛物线.经实地测量，绣球抛出点A与小李接球的最佳落点B离地面高度均为1.5米，且A、B两点水平距离AB=8米.
（1）【项目分析】如图，社团以点A为坐标原点，A、B点所在直线为x轴建立平面直角坐标系.
直接写出点B的坐标；
（2）若该抛物线解析式为求该抛物线的最高点到地面的距离；
（3）【深度研究】小华在同一抛出点A处进行第二次抛绣球时，只改变抛射角度，此时小李需从原落点B前后水平移动到新的最佳落点C接球（前后抛物线均在同一平面内）.已知新抛物线的表达式为设小李移动的距离BC为d.
当米时，求小李移动的距离d为多少米
（4）请直接写出k与移动的距离d之间的数量关系.
【答案】（1）B（8，0）
（2）解：，
∴该抛物线的最高点坐标为，
（米）
∴最高点到地面距离为4.7米
（3）解：将A（0，0），代入，得
解得h=3，
∴A（0，0）关于直线x=3的对称点为C（6，0），即AC=6，
∴d=|AC-AB|=|6-8|=2。
（4）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】（1）解：∵AB=8米，且A点坐标为（0，0），B在A点右侧，AB在x正半轴上，
∴B（8，0）；
（4）解：将（0，0）代入中，得h2=5k，
∵h＞0，
∴h=，
∵新抛物线(h，k>0)的图象关于直线x=h对称，且A(0，0)，
∴C(2h，0)，
即AC=2h，
∴d=BC=|AC-AB|=，即；
【分析】（1）结合图中信息和条件，首先确定A点坐标为（0，0），B在A点右侧，AB在x正半轴上，然后根据AB的长即可确定B点坐标；
（2）先将抛物线解析式变形为顶点式，即，此时得出该抛物线的最高点坐标为，即最高点距离x轴时米，然后根据条件“ 点A与小李接球的最佳落点B离地面高度均为1.5米 ”，即x轴距离地面1.5米，此时求和即可得出答案；
（3）利用待定系数法将A（0，0），代入，即可求出h，结合抛物线对称性的特点即可求出C（6，0），即AC=6，最后作差计算即可求出d；
（4）本题结合图中信息发现，新抛物线同样经过（0，0），因此代入可以得出h=，结合抛物线的对称轴以及对称性得出C(2h，0)，即AC=2h，最后代入公式d=BC=|AC-AB|即可得出答案。
23．已知△ABC中，AB=AC，点D为射线AB上一动点，将线段DC绕点D顺时针旋转得到线段DE，且∠CDE=∠CAB，连接BE，EC.
（1）如图1，若∠CAB=90°，点D在线段AB上时，
①若点D为AB的中点，求tan∠BCE的值；
②求证：△ACD~△BCE；
（2）我们把顶角为36°的等腰三角形称为“锐角黄金三角形”，其底边长与腰长的比为如图2，若△ABC为锐角黄金三角形，且∠BAC=36°，点D在线段AB的延长线上运动，当点B是线段AD的黄金分割点时，求BE与CD所夹的角的度数.
【答案】（1）解：①∵∠CAB=90°，∠CDE=∠CAB，
∴∠CDE=∠CAB=90°，
由旋转可知，CD=DE，
且AB=AC，
∴△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠ACB=DCE=45°，
∴∠ACB-∠DCB=DCE-∠DCB，
即∠ACD =∠BCE，
∵点D为AB的中点，
∴；
②由①可知△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，
∴△ABC∽△DEC，
，
，
∴△ACD∽△BCE.
（2）解：如图2，
依题可得∠BAC=∠CDE=36°，且△ABC和△DEC均为等腰三角形，
∴∠ABC=∠CED=72°，
∴△ABC∽△DEC，
，
，
∴△ACD∽△BCE.
∴∠ABE=108°，
∵，
，
当B是线段AD的黄金分割点时，分两种情况：
①若点B是靠近点D的黄金分割点，则
∴AB=BE，如图3所示，
∴∠BAE=∠AEB=36°
而∠BAC=36°，故点C在AE上，
∴∠BED=∠CED-∠AEB=72°-36°=36°，
∴∠BFD=∠CDE+∠BED=36°+36°=72°，
②若点B是靠近点A的黄金分割点，则，
∴BD=BE，如图4所示，
∴∠BDE=∠BED，
又∵△ACD∽△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，
而∠CDE=36°，∠CED=72°，
∴∠ADC+36°=72°-∠BEC，
∴∠ADC=∠BEC=18°，
∴∠BFD=∠EDF+∠DEF=36°+72°-18°=90°，
综上所述，BE与CD所夹的角为72°或90°。
【知识点】黄金分割；相似三角形的判定；旋转的性质；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）①结合条件以及旋转的性质，先推出△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，然后得出∠ACB=∠ACB=DCE=45°，接着结合图中的角度以及角度作差计算得出∠ACD =∠BCE，最后利用线段中点以及转化，得出；
②首先结合等腰直角三角形的性质，可以直接得出△ABC∽△DEC，此时推出对应边成比例且夹角相等，即，然后依据比例性质变形得出，此时利用“对应边长成比例且夹角相等，两三角形相似”，从而得出△ACD∽△BCE；
（2）首先计算出∠BAC=∠CDE=36°，然后结合等腰三角形的性质以及三角形内角和，计算出∠ABC=∠CED=72°，然后利用AA证明△ABC∽△DEC，同理②的证明步骤综合得出△ACD∽△BCE，并结合相似三角形的性质得出∠ABE=108°、；接着分点B是靠近点D、和靠近点A两种情况，分别结合图中信息进行角度列式计算即可得出答案。
1 / 1

展开更多......

收起↑