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广东省广州市2026年九年级毕业班适应性测试 数学
一、单选题
1．下列四个选项中，有理数的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示的几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．在校运会定点投篮比赛中，某班5名学生每人投篮10次，投中个数如下表所示．下列关于这组数据描述正确的是（ ）
学生 甲 乙 丙 丁 戊
投中个数 7 4 8 9 7
A．众数为9 B．中位数为8 C．平均数为7 D．方差为3
6．如图，在中，，，，点是的中点，则长为（ ）
A． B．2 C． D．
7．某快递公司引进智能机器人进行包裹分拣，一台智能机器人每小时分拣包裹的数量是一个工人平均分拣数量的40倍．已知分拣8000件同样的包裹，一台智能机器人所用时间比20个工人同时分拣所用时间还要少40分钟，设一个工人平均每小时分拣个包裹，根据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
8．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．如图，已知菱形的面积为20，对角线，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知点和均在反比例函数的图象上，若，，则下列结论一定不成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，数轴上的两点，分别表示的数为，，则，之间的距离为______．
12．如图，点是射线上一点，，，垂足分别是，，且．若，则________．
13．已知抛物线经过点和，则该抛物线的对称轴为直线________．
14．幻方起源于中国，是我国古代数学杰作之一．在幻方的9个格子中，每个数互不相同且满足每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和均相等．如图是一个已知部分信息的幻方，则________．
15．如图，四边形是的内接四边形，已知的半径为4，，则________．
16．如图，在中，，，，点，分别是边，上的动点，且满足．当________时，为等边三角形；已知点为的中点，连接，，则的最小值为________．
三、解答题
17．解方程：．
18．如图，在中，的平分线交于点，过点作交于点．求证：．

19．已知一次函数的图像经过点与．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)请从以下取值范围中选择一个：①；②；③，根据（1）中的函数解析式写出对应函数值的取值范围．
20．如图，已知四边形为矩形．
(1)尺规作图：在线段上作点，使得，连接，（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若，，求证：．
21．某市的未来产业园重点引进了四类战略性新兴产业，依据产业类型和企业数量，绘制了如下尚不完整的扇形统计图（如图1）与条形统计图（如图2）．
请根据统计图中的信息解答下列问题：
(1)在图1中，________；
(2)该产业园人工智能企业的数量为________，并补全图2；
(3)在生物制造的4家企业中，有3家省内企业，1家省外企业．若从中随机选取2家参观，求选中的2家企业都来自省内的概率．
22．如图，为等腰三角形，点是底边上的一点，以为圆心作，分别与，相切于点，，连接，．
(1)证明：；
(2)若，，求的长（结果保留）．
23．某学校计划修建地下车库，一数学兴趣小组根据《车库建筑设计规范》与所学知识，为学校地下车库设计并绘制了入库坡道示意图（如图），相关信息如下：
（i）直线主坡道的水平距离为，坡度为0.12；
（ii）左、右两段缓坡道为，，水平距离均为；
（iii）和车库地面均与水平方向平行．
已知坡度，试根据上述信息解决以下问题：
(1)求主坡道的铅直高度；
(2)根据《车库建筑设计规范》：缓坡道坡度为主坡道坡度的，坡道的最小净高不低于．（坡道的净高为车库上方横梁到坡道的垂直距离）
①求车库高度；
②若，判断该坡道的最小净高是否符合设计规范，并说明理由．
参考数据：当时，，．
24．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，若点在抛物线上（异于顶点），且满足，则称点为该抛物线的“点”，为该抛物线的“系数”．
(1)写出抛物线的顶点坐标，判断是否为该抛物线的“点”，并说明理由；
(2)已知抛物线：过原点．
①当时，求该抛物线的“系数”；
②若抛物线的“系数”为，当时，求的取值范围．
25．如图，在中，，于点，，．
(1)填空：________，________．
(2)已知点是线段上的动点（不与，两点重合），连接．将绕点顺时针旋转得到（点，分别与点，对应），且满足，，三点在同一直线上，记此时的旋转角为．
①当是等腰三角形时，求旋转角；
②记的外接圆圆心为点，连接并延长，交直线于点．在点的运动过程中，的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值，若不存在，请说明理由．
参考答案
1．A
【详解】解：选项A∶ 是负整数，属于有理数，故本选项符合题意；
选项B∶ 是无限不循环小数，属于无理数，故本选项不符合题意；
选项C∶ 开方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数，故本选项不符合题意；
选项D∶ 开方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数，故本选项不符合题意．
2．B
【详解】解：几何体的主视图是
3．C
【详解】解：，
移项得，
合并同类项得，
两边同除以得，
∴不等式的解集为．
4．B
【详解】解：对选项A，∵根据去括号法则，括号前是负号，括号内各项要变号，
∴，A错误；
对选项B，∵同底数幂相除，底数不变，指数相减，且，
∴，B正确，符合题意；
对选项C，∵与不是同类二次根式，不能直接合并，
∴，C错误；
对选项D，∵，，
∴，D错误．
5．C
【详解】解：首先将5名学生的投中个数从小到大排序得：
∵出现的次数最多，共次，
∴众数为，选项A错误；
∵共有个数据，中位数为排序后第个数据，
∴中位数为，选项B错误；
计算平均数：，
∴平均数为，选项C正确；
计算方差：，∴选项D错误.
6．C
【详解】解：，
，
，
，
是直角三角形，且，
点是的中点，
是斜边上的中线，
．
7．D
【详解】∵设一个工人平均每小时分拣个包裹，
∴一台智能机器人每小时分拣个包裹，20个工人每小时共分拣个包裹．
∵总工作量为8000件，，
∴机器人分拣8000件的时间为小时，20个工人分拣8000件的时间为小时，
统一单位：．
∵一台智能机器人所用时间比20个工人同时分拣所用时间少小时，
∴．
8．D
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根
∴
可得
由平方差公式得
将代入得．
9．A
【详解】解：如下图，连接，交于点，
∵四边形为菱形，
∴，
∵菱形的面积为20，且，
∴，解得，
∴，
∴，
∴．
10．C
【详解】∵反比例函数 中
∴在每个象限内， 随 的增大而增大，且时，时
对于，，可得当时，，当时，
∴
对于，，可得当时，，当时，
∴
将两范围相加，得：
即
∵ ，∴
A选项符合范围，成立；
B选项符合范围，成立；
C选项不符合范围，一定不成立；
D选项是范围最大值，符合范围，成立．
11．
【详解】解：∵点表示的数为，点表示的数为，
∴，之间的距离为．
12．140
【详解】解：∵，，且，
∴，平分，
∵，
∴，
∴．
13．
【详解】解：∵ 抛物线 经过点 和 ，
∴ 两个交点关于抛物线的对称轴对称，
抛物线对称轴为直线 ．
14．2
【详解】解：如下图，设幻方的第二行第一列中的数为，第二行第三列中的数为，
根据题意，可得，，
整理并解得，，
，
解得．
15．
【详解】解：如下图，连接，过点作于点，
∵四边形是的内接四边形，，
∴，
∴，
∵的半径为4，即，且，
∴，，
∴，
∴．
16． 2
【详解】解：设，由题意可知，．
当为等边三角形时，则有，即．
；
如图1，分别过点F，点P作，，垂足分别为G，H，连接．
，
，
，
．
点为的中点，
，
．
在中，，,
．
，即．
连接，则．
．
当在同一条直线上时，最小，即为的长．
如图2，过点D作，交的延长线于M，
由题意可知，在中，，，
，．
在中，，，
．
的最小值为．
17．
【详解】解：，
，
，
解得：．
18．见解析
【详解】证明：∵的平分线交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
19．(1)
(2)若选择①，；若选择②，；若选择③，
【详解】（1）解：将点，代入一次函数，
可得，解得，
∴这个一次函数的解析式为；
（2）对于一次函数，
∵，
∴随的增大而减小，
若选择①，
当时，，
当时，，
∴所对应函数值的取值范围为；
若选择②，
当时，，
当时，，
∴所对应函数值的取值范围为；
若选择③，
当时，，
当时，，
∴所对应函数值的取值范围为．
20．(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）解：如图，即为所求，
（2）证明：∵四边形为矩形．
∴，
∴，
∵，，
∴
∴．
21．(1)40
(2)12，见解析
(3)
【详解】（1）解：，
即；
（2）解：该产业园企业的总数量为，
∴人工智能企业的数量为，
补全图2，如下图：
（3）解：用A，B，C表示3家省内企业，D表示1家省外企业，根据题意，列出表格，如下：
A B C D
A （B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B） （C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C） （D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D）
一共有12种等可能结果，其中选中的2家企业都来自省内的有6种，
所以选中的2家企业都来自省内的概率为．
22．(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵分别与，相切于点，，
∴，，
∴，
∵为等腰三角形，
∴，
∵，
∴；
（2）解：根据解析（1）可得：，，
∴，
∵，
∴，
∵为等腰三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
23．(1)
(2)①；②该坡道的最小净高符合设计规范，理由见解析
【详解】（1）解：∵直线主坡道的水平距离为，坡度为0.12，
∴在中，，
∴，
答：主坡道的铅直高度为；
（2）解：①∵缓坡道的坡度为主坡道的坡度的，
∴在中，，
解得，
∴，
答：车库高度为；
②该坡道的最小净高符合设计规范．理由如下：
如图，过E作于P，交于M，过M作于S，
则，，，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴,
∵，
∴该坡道的最小净高符合设计规范．
24．(1)顶点坐标为，是该抛物线的“点”
(2)①6；②或
【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标为，是该抛物线的“点”，理由如下，
抛物线的顶点式为，
抛物线的顶点坐标为，
当时，，
点在抛物线上，且异于顶点，
，，
，，
满足，
点是抛物线的“点”；
（2）解：抛物线过原点，
将代入，得：，
抛物线表达式为：，
，
顶点坐标为，
①当时，
顶点坐标为，，解得：，
抛物线表达式为：，
点为该抛物线的“点”，
，解得：，或，
点异于顶点，
该抛物线的“点”为，
“系数”为：；
②当“系数”为时，即，
，即或，即或，
情况一：当时，，
，
，化简得：，
，即，
代入上式得：，解得：，
，，此种情况无解；
情况二：当时，，
，
，化简得：，
将代入上式得：，解得：，
，解得或，
的范围为，
分情况讨论，
当，时，，抛物线表达式为，
抛物线开口向下，对称轴在的取值范围的右侧，y随x增大而增大，
当时，，当时， ，
的取值范围为，
当，时，，抛物线表达式为，
抛物线开口向下，对称轴在的取值范围内，最大值为顶点值，最小值在端点处为 ，
的取值范围为，
综上所述，的取值范围为或．
25．(1)，
(2)①或；②2
【详解】（1）解：在中，，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
（2）解：①如图，
由旋转的性质得：，，
∴，，
当时，
，
∴，
解得：；
当时，
，
∴，
解得：；
当时，，此时点三点不可能共线，
综上所述，旋转角或；
②由旋转的性质得：，，，
∴，
∵，
∴，
∴点四点共圆，
如图，连接，
设，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点A，D，E，K四点共圆，
∵，即，
∴点K在以为直径的圆上，
如图，取的中点P，连接，则，且，
∴点K在以点P为圆心，半径为2的圆上，
延长交的延长线于点L，过点B作于点Q，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∵，，
∴，
∴，
∴
过点K作于点H，则，且，
∴的最大值为2，
即当点K，E重合时，点K到的距离最短，即为，
此时的面积最小，等于．

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