资源简介

天津市和平区汉阳道中学2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷
1．下列各式化简后，能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：无法进行化简，不能与合并，故选项A不符合题意；
，不能与合并，故选项B不符合题意；
，能与合并，故选项C符合题意；
，不能与合并，故选项D不符合题意；
故选：C．
【分析】本题以二次根式的化简为背景，考查了同类二次根式的识别。将各选项中的二次根式化简为最简形式，判断其被开方数是否与相同，相同则能合并。
2．红河州博物馆拟招聘一名优秀志愿讲解员，其中小刚笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为92分、96分、90分．综合成绩中笔试占，试讲占、面试占，那么小刚的最后得分为（　　）
A．92分 B．93.4分 C．93.6分 D．94分
【答案】C
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：按照研究成绩的权重计算小刚的最终得分，可得：
因此小刚的最终得分是93.6分。
故选：C.
【分析】本题主要考查加权平均数的相关计算，根据加权平均数的定义列出算式计算，即可得到结果.
3．如图，一架的云梯AB斜靠在一竖直的墙上，这时为．如果梯子的底端向墙一侧移动了，那么梯子的顶端向上滑动的距离是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【解答】解：在 中，已知 ，，
根据勾股定理 ，得：
已知 ，则：
在 中，已知 ，，
根据勾股定理，得：
故答案为：A。
【分析】先利用勾股定理求出初始位置的水平距离，再计算移动后的水平距离，最后通过两次勾股定理求出移动后的竖直高度，作差得到高度变化量。
4．对于函数y=2x-1，下列说法正确的是（ ）
A．它的图像过点（1，0） B．y随x的增大而减小
C．它的图像经过第二象限 D．当x>1时，y>1
【答案】D
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：A、把x=1代入解析式得到y=1，即函数图象经过（1，1），不经过点（1，0），故本选项错误；
B、函数y=2x-1中，k=2＞0，则该函数图象y值随着x值增大而增大，故本选项错误；
C、函数y=2x-1中，k=2＞0，b=-1＜0，则该函数图象经过第一、三、四象限，故本选项错误；
D、当x＞1时，2x-1＞1，则y＞1，故本选项正确．
故答案为：D．
【分析】根据一次函数的性质逐一判断即可．
5．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，以下正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：如图所示，连接，，
由图像可得，，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故选：A．
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形内角和定理的应用，可以借助网格图形的特性得到线段关系：，，结合公共边，利用边边边（SSS）即可证明，根据全等三角形对应角相等可得；再根据网格图形的特征可得，最后结合三角形内角和定理，即可推出.
6．如图所示，一次函数（k，b是常数，）与正比例函数（m是常数，）的图象相交于点，下列判断错误的是（　　）
A．关于x的方程的解是
B．关于x的不等式的解集是
C．当时，函数的值比函数的值大
D．关于x，y的方程组的解是
【答案】B
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数是常数与正比例函数是常数，的图象相交于点，
A．关于的方程，的解是，故A不符合题意；
B．关于的不等式的解集是，故B符合题意；
C．当时，函数的值比函数的值大，故C不符合题意；
D．关于的方程组的解是，故D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据两个一次函数图象的交点的坐标即为一元一次方程的解，二元一次方程的解，即可判断A和D；根据图象可得，当x＞1时，y=mx在y=kx+b图象的上方，即为mx＞kx+b，当x＜1时，y=mx在y=kx+b图象的下方，即为mx＜kx+b，即可判断B和C.
7．下列说法正确的有（　　）
①对角线互相平分的四边形是平行四边形；
②平行四边形的对角互补；
③平行线间的线段相等；
④两个全等的三角形可以拼成一个平行四边形；
⑤平行四边形的四内角之比可以是2：3：2：3．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：①正确；
②平行四边形的对角相等，命题错误；
③平行线间的平行线段相等，命题错误；
④正确；
⑤正确．
故选C．
【分析】根据平行四边形的判定定理以及性质定理即可判断．
8．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形，连接并延长，交于点．若是的中点，，则的长为（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：如图，延长交于点，
由图的结构可知，点是的中点，
∴点是的中点，
∵，
，
点为线段中点，
，
∵点是的中点，
∴垂直平分线段，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
【分析】本题以“赵爽弦图”为背景，考查了正方形的性质、全等三角形的性质、线段垂直平分线的判定与性质、平行线分线段成比例及直角三角形的性质。延长AE交BC于点N，利用平行线及中点条件证得N为BC中点，结合全等三角形对应边相等及垂直平分线性质，通过角度关系推出ME＝MN，再在直角三角形中利用勾股定理及线段关系求EM。注意利用弦图中直角三角形的边长关系。
9．如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（　　）
A．3 B．5 C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；四边形-动点问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】如图：连接BE，
，
∵菱形ABCD，
∴B、D关于直线AC对称，
∵直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小
∴根据“将军饮马”模型可知BE长度即是PD+PE的最小值，
∵菱形ABCD，，点，
∴，，
∴
∴△CDB是等边三角形
∴
∵点是的中点，
∴，且BE⊥CD，
∴
故答案为：A．
【分析】连接BE，根据“将军饮马”模型可知BE长度即是PD+PE的最小值，再证出△CDB是等边三角形，求出，再结合，且BE⊥CD，最后利用勾股定理求出BE的长即可.
10．如图，直线与轴、轴分别交于点，．按照如下尺规作图的步骤进行操作：
①以点为圆心，以为半径画弧，交轴负半轴于点．连接；
②分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点；
③连接并延长，交轴于点．
则下列结论中错误的是（　　）
A．点的坐标为 B．点的坐标为
C．点的坐标为 D．点的坐标为
【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；线段垂直平分线的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由①得：，
由②得：垂直平分，
A.当时，，解得，，结论正确，不符合题意；
B.当时，，，结论正确，不符合题意；
C.由选项A、B得：，，，，，结论正确，不符合题意；
D.取的中点，的中点，连接、，
是的中点，
，
，
，
，
，
同理可求：，
，
设直线的解析式为，则有
，
解得：，
直线的解析式为，
当时，
，
，
故结论错误，符合题意；
故选：D．
【分析】本题以一次函数与尺规作图相结合为背景，考查了直线与坐标轴的交点坐标、圆的半径性质、线段垂直平分线的性质及点的坐标确定。分别判断各选项：A、B通过求直线与坐标轴的交点坐标判断；C利用A为圆心、AB为半径画弧确定C点坐标；D根据线段BC的垂直平分线与坐标轴的交点确定点D坐标。注意利用作图步骤中的几何关系进行分析。
11．如图，在正方形中，E是边的中点，连接，过点D作交于点F，G，H分别是的中点，连接，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图：连接并延长交于P，连接，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
设正方形的边长为，则，
∴，
∵G，H分别是的中点，
∴，
∴．
故选：C．
【分析】本题以正方形中的垂直及中点关系为背景，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理及勾股定理的综合应用。连接CH并延长交AD于点P，连接PE。利用正方形性质及垂直条件，通过全等三角形得到线段相等，确定中点关系。设正方形边长为2a，利用勾股定理求出相关线段长，再通过三角形中位线性质表示GH，最后求GH与AB的比值。注意辅助线的构造及全等三角形的证明。
12．定义：平面内任意两点，，则称为这两点之间的曼哈顿距离，“曼哈顿距离”是十九世纪数学家赫曼·闵可夫斯基所创立的词汇．在此定义下，下列选项错误的是（　　）
A．若，，则
B．若，Q在直线上，则最小值是3
C．若，满足的所有点M组成的图形面积是2
D．若，，且，则点M横坐标是1
【答案】D
【知识点】不等式的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：由题意可知，，
∴，
故选项A正确，但不符合题意；
∵Q在直线上，
∴设，
又∵，
∴，
当时，，
当时，，
当时，，
综上，，
∴最小值是3，
故选项B正确，但不符合题意；
设，
∵，，
∴，
当，时，，
∴；
当，时，，
∴；
当，时，，
∴；
当，时，，
∴；
当时，，
∴，
当时，，
∴，
∴所有符合题意的点M组成的图形如图，
∴所有点M组成的图形的面积为，
故选项C正确，但不符合题意；
设，
∵，，且，
∴，
∴，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，解得；
当时，，恒成立，
综上，当时，，
故选项D，符合题意；
故选：D．
【分析】对于选项A，可直接结合题目给出的“曼哈顿距离”定义判断正误；
对于选项B，设点Q坐标为，先根据“曼哈顿距离”的定义得到，再分、、三种情况讨论，即可判断该选项是否正确；
对于选项C，设点M坐标为，结合定义得到方程，再按、、、、、多种情况分类讨论，确定所有满足条件的点M围成的图形形状，即可判断该选项；
对于选项D，设点M坐标为，结合定义得到方程，再分、、三种情况讨论化简方程，即可判断该选项是否正确.
13．二次根式中字母x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意可知二次根式有意义，
∴且，
解得．
故填：．
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，结合分式分母不为零的要求计算求解即可.
14．数据102，99，101，98，100的方差是　 　．
【答案】2
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：该组数的平均数为，
∴该组数的方差为
故答案为：2．
【分析】根据方差定义即可求出答案.
15．关于x的一次二项式mx＋n的值随x的变化而变化，分析下表列举的数据
x 0 1 1.5 2
mx＋n －3 －1 0 1
若mx＋n＝17，线段AB的长为x，点C在直线AB上，且BC＝AB，则直线AB上所有线段的和是　 　．
【答案】20或30
【知识点】求代数式的值-直接代入求值；分类讨论
【解析】【解答】解：由表格得x＝0时，m×0＋n＝－3，
∴n＝－3；
x＝1时，m×1＋(－3)＝－1，
∴m＝2；
∵mx＋n＝17，
∴2x－3＝17，
∴x＝10，
当点C在线段AB上时，
∵BC＝AB，
∴BC＝×10＝5，
∴AC＋AB＋BC＝20；
当点C在点B右侧时，
∵BC＝AB，
∴BC＝×10＝5，
∴AC＋AB＋BC＝30．
故答案为：20或30．
【分析】本题以一次二项式的值为背景，考查了待定系数法求解析式、解一元一次方程及线段长度的分类讨论。根据表格数据求出m、n的值，代入mx＋n＝17解出x，即AB的长。分点C在线段AB上和在线段AB延长线上两种情况，分别计算直线AB上所有线段的和。注意分类讨论的全面性。
16．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处，当为直角三角形时，BE的长为　 　
【答案】3或
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：当△CEB'为直角三角形时，有两种情况：
①当点B'落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC，
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，
∴AC==5，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B'处，
∴∠AB'E=∠B=90°，
当△CEB'为直角三角形时，只能得到∠EB'C=90°，
∴点A、B'、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B'处，
∴EB=EB'，AB=AB'=3，
∴CB'=5-3=2，
设BE=x，则EB'=x，CE=4-x，
在Rt△CEB'中，
∵EB'2+CB'2=CE2，
∴x2+22=（4-x）2，解得，
∴BE=；
②当点B'落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB'为正方形，
∴BE=AB=3．
综上所述，BE的长为或3．
故答案为：或3．
【分析】根据等腰直角三角形性质分类讨论：①当点B'落在矩形内部时，连结AC，根据勾股定理可得AC，再根据折叠性质可得∠AB'E=∠B=90°，当△CEB'为直角三角形时，只能得到∠EB'C=90°，则点A、B'、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B'处，由折叠性质可得EB=EB'，AB=AB'=3，设BE=x，则EB'=x，CE=4-x，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案；当点B'落在AD边上时，此时ABEB'为正方形，根据正方形性质即可求出答案.
17．如图在平面直角坐标系中，点、，点E在y轴正半轴上，连接，过点B作，且．连接交x轴于点，则点E的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点F作于点Q，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，；
∵点、，
∴，
设直线的解析式为，
∵，，
∴，
解得，
∴，
设点，代入解析式，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题以平面直角坐标系中的全等三角形及一次函数为背景，考查了全等三角形的判定与性质、待定系数法求解析式及点的坐标确定。过点F作x轴的垂线，利用等腰直角三角形条件及垂直关系，通过AAS证明△BFQ≌△EBO，得到对应边相等。利用点A、G坐标求直线AG解析式，设点F坐标代入求值，再通过线段和差求OE，得到点E坐标。注意辅助线的构造及坐标的正负判断。
18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的顶点A，B，C，D和边上的点E均在格点上．
（1）线段的长为　 　；
（2）在线段上找一点M，连接，使得．请用无刻度的直尺在如图所示的网格中，画出点M，并简要说明点M的位置是如何找到的．（不要求证明）　 　．
【答案】；如图，取格点G，连接交于点M，则点M即为所求
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的判定与性质；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：（1）；
故答案为：；
（2）如图，取格点G，连接交于点M，则点M即为所求；
理由如下：取格点F，连接，如图，
则，
∴四边形是菱形，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴；
故答案为：如图，取格点G，连接交于点M，则点M即为所求．
【分析】本题以网格中的几何作图及线段相等为背景，考查了勾股定理的应用及菱形的判定与性质。
(1) 根据网格中点的位置，利用勾股定理计算AE的长。
(2) 利用菱形的对角线互相垂直平分，构造菱形使得EF被垂直平分，从而得到FM＝ME，进而通过BM＋DE＝EM推导出点M的位置。注意利用网格的对称性及无刻度直尺的作图方法。
19．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题以二次根式的混合运算为背景，考查了二次根式的化简、合并同类二次根式、二次根式的除法及完全平方公式。
(1) 先将各二次根式化为最简形式，再合并同类项。
(2) 先计算二次根式除法及完全平方公式，再合并同类项。注意完全平方公式展开后的项数及符号。
（1）解：
；
（2）解：
；
20．某校为了解初中学生每周参加体育活动的时间（单位：h），随机调查了该校的部分初中学生．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）图①中m的值为______，本次接受调查的初中学生人数为______；
（2）求统计的这组学生每周参加体育活动时间数据的平均数、众数和中位数；
（3）现计划制定该校初中学生每周参加体育活动时间的标准，如果想让一半左右的学生都能达到这个标准，可参考以上哪个统计量制定这个标准？______（填“平均数”或“众数”或“中位数”）
【答案】（1）20，30
（2）观察条形统计图，∵，
∴统计的这组学生每周参加体育活动时间数据的平均数为5.2，
∵在这组数据中，6出现了12次，出现的次数最多，
∴统计的这组学生每周参加体育活动时间数据的众数是6．
∵将这组数据按照由小到大的顺序排列，其中处于中间位置的两个数分别是5和6，有，
∴统计的这组学生每周参加体育活动时间数据的中位数是5.5
（3）中位数
【知识点】条形统计图；加权平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次接受调查的初中学生人数为（人）
，即
故答案为：20，30；
（3）解：如果想让一半左右的学生都能达到这个标准，可参考中位数制定这个标准．
故答案为：中位数．
【分析】本题以学生体育活动时间调查为背景，考查了条形统计图与扇形统计图的综合应用、平均数、众数、中位数的求法及统计量的实际意义。
(1) 根据扇形统计图中某组百分比及条形统计图中对应人数，求出样本总数，再求m值。
(2) 根据加权平均数公式求平均数；找出出现次数最多的数据得众数；将数据排序后取中间两个数的平均数得中位数。
(3) 根据“一半左右学生能达到标准”的含义，选择中位数作为参考标准。注意中位数的实际意义。
（1）解：本次接受调查的初中学生人数为（人）
，即
故答案为：20，30；
（2）观察条形统计图，
∵，
∴统计的这组学生每周参加体育活动时间数据的平均数为5.2，
∵在这组数据中，6出现了12次，出现的次数最多，
∴统计的这组学生每周参加体育活动时间数据的众数是6．
∵将这组数据按照由小到大的顺序排列，其中处于中间位置的两个数分别是5和6，有，
∴统计的这组学生每周参加体育活动时间数据的中位数是5.5．
（3）如果想让一半左右的学生都能达到这个标准，可参考中位数制定这个标准．
故答案为：中位数．
21．如图，在中，，将沿折叠，使点B落在边上点D的位置．
（1）若，求的度数；
（2）若；
①求的长；
②的面积为______．
【答案】（1）解：由题意可知∵沿折叠，使点B落在边上点D的位置，
∴
∵
∴
∴
又∵
∴；
（2）解：①由题意可知沿折叠，使点B落在边上点D的位置，，
∴，
又∵，
∴．
∴，
设，则，
∴，即，
解得：，
即的长为6；
②
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（2）②解：由①可知，
∴，
∴
故填：60．
【分析】（1）利用直角三角形和等腰三角形的性质，推出两个所求角相等，且二者角度和为，即可完成证明求解.
（2）①根据图形折叠的性质，可以得到，之后两次运用勾股定理建立等式，就可以计算得到结果；②在①所得结果的基础上，直接代入三角形的面积公式计算就可以得到答案.
22．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．
【答案】(1)证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴点O为BD的中点，
∵点E为AD中点，
∴OE为△ABD的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG为平行四边形
∵EF⊥AB，
∴平行四边形OEFG为矩形．
(2)∵点E为AD的中点，AD=10，
∴AE=
∵∠EFA=90°，EF=4，
∴在Rt△AEF中，．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD=10，
∴OE=AB=5，
∵四边形OEFG为矩形，
∴FG=OE=5，
∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据菱形性质可得点O为BD的中点，再根据三角形中位线定理可得OE∥FG，再根据矩形判定定理即可求出答案.
（2）根据线段中点可得AE=，根据勾股定理可得AF，再根据菱形性质可得OE=AB=5，根据矩形性质可得FG=OE=5，再根据边之间的关系即可求出答案.
23．已知学生宿舍、超市、书店依次在同一条直线上，超市离宿舍，书店离宿舍．李明从宿舍出发，先匀速骑行了到书店买书，在书店停留了，之后匀速骑行到超市购买生活用品，在超市停留了后，用了匀速散步返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中李明离宿舍的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）①填表：
李明离开宿舍的时间/ 5 10 30 50
李明离宿舍的距离/
2
②填空：李明从超市返回宿舍的速度为________；
③当时，请直接写出李明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式；
（2）当李明离开宿舍时，同宿舍的张杰从宿舍出发，匀速步行直接到达书店，那么他在前往书店的途中遇到李明时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可）
【答案】（1）①1，2，；②；③
（2）．
【知识点】分段函数；待定系数法求一次函数解析式；一元一次方程的实际应用-行程问题；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：①，
由图填表：
李明离开宿舍的时间/ 5 10 30 50
李明离宿舍的距离/ 1 2 2
故答案为：1，2，．
②张强从体育场到文具店的速度为，
故答案为：；
③当时，由函数图象可得：；
当时，设y与x的函数解析式为，
把代入，得，解得，
∴；
综上，李明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式．
（2）解：当李明离开宿舍时，即时，同宿舍的张杰从宿舍出发，匀速步行直接到达书店得速度为．
当李明在回宿舍的途中遇到张杰时，他俩离宿舍的距离是相等的，设相遇时间为t，
当时，，他们没有相遇，
当时，，解得：（符合题意），
当时，．
所以，那么他在前往书店的途中遇到李明时离宿舍的距离是．
【分析】本题以行程问题为背景，考查了函数图象的解读、分段函数解析式的求法及相遇问题的计算。
(1) ① 根据图象直接读取或计算相应时间点的距离。
② 根据返回路程与时间计算速度。
③ 分段写出函数解析式：在书店停留期间为常函数，在从超市返回期间利用待定系数法求一次函数解析式。
(2) 先求张杰的速度，分时间段讨论相遇情况，利用路程相等列方程求解，得到相遇时离宿舍的距离。注意时间段的划分及方程的解是否符合范围。
（1）解：①，
由图填表：
李明离开宿舍的时间/ 5 10 30 50
李明离宿舍的距离/ 1 2 2
故答案为：1，2，．
②张强从体育场到文具店的速度为，
故答案为：；
③当时，由函数图象可得：；
当时，设y与x的函数解析式为，
把代入，得，解得，
∴；
综上，李明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式．
（2）解：当李明离开宿舍时，即时，同宿舍的张杰从宿舍出发，匀速步行直接到达书店得速度为．
当李明在回宿舍的途中遇到张杰时，他俩离宿舍的距离是相等的，设相遇时间为t，
当时，，他们没有相遇，
当时，，解得：（符合题意），
当时，．
所以，那么他在前往书店的途中遇到李明时离宿舍的距离是．
24．如图1，在正方形中，边、分别在x轴、y轴上，点B的坐标为，点D在线段上，以点D为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形，交y轴于点F．
（1）当时，
①求出点E的坐标；
②在坐标平面内存在点M，若以E，B，D，M为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有满足条件的点M的坐标______；
（2）如图2，连接，当点D在线段上运动时，的周长是否改变，若改变，请说明理由；若不变，求出其周长．
【答案】（1）解：①如图所示，过点E作轴于点G：
则，
由题意可知四边形为正方形，点B的坐标为，
∴，，
又∵为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
②或或．
（2）解：的周长不变，且周长为12，理由如下：
如图所示，在x轴上取一点H，使，连接：
由题意可知四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
又∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴
．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；菱形的性质；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：解：（1）②由题意可知，
∴，
∴，
设点的坐标为，
如图所示，当为对角线时：
∴根据中点坐标公式可知：，，
解得：，，
∴点M的坐标为；
如图所示，当为对角线时：
∴根据中点坐标公式可得：，，
解得：，，
∴点M的坐标为；
如图所示，当为对角线时：
∴根据中点坐标公式可得：，，
解得：，，
∴点M的坐标为；
综上分析可知，点M的坐标为：或或．
故填：或或．
【分析】（1）①已知四边形 是正方形，且顶点B的坐标为 ，因此可得正方形边长 ， 。通过证明 ，可得对应边 ， ； ，据此即可得到点E的坐标.
②设点M的坐标为（x，y），以菱形的对角线为分类标准分三种情况讨论：当BE为对角线时、当BD为对角线时、当ED为对角线时，分别画出对应图形，即可计算得到点M的坐标；
（2）我们可以通过构造全等三角形求证结论：在x轴上取点H，使得 ，连接 ，先证明 ，得到对应边 ，对应角 ；再证明 ，得到 ，最后根据 即可求出结果．
（1）解：①过点E作轴于点G，如图所示：
则，
∵四边形为正方形，点B的坐标为，
∴，，
∵为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
②∵，
∴，
∴，
设点的坐标为，
当为对角线时，如图所示：
∴根据中点坐标公式可知：，，
解得：，，
∴点M的坐标为；
当为对角线时，如图所示：
∴根据中点坐标公式可得：，，
解得：，，
∴点M的坐标为；
当为对角线时，如图所示：
∴根据中点坐标公式可得：，，
解得：，，
∴点M的坐标为；
综上分析可知，点M的坐标为：或或．
（2）解：的周长不变，且周长为12．
在x轴上取一点H，使，连接，如图所示：
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
．
25．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且与直线相交于点．直线与x轴相交于点C，与y轴相交于点K．
（1）求k的值及点A，B的坐标．
（2）若，求直线的函数表达式．
（3）在（2）的条件下，如图2，过点D作y轴的垂线段，垂足为E，M为y轴上的一点，且，请求出直线的函数表达式．
【答案】（1）解：把点代入，得，
解得，
∴直线的函数表达式为．
在中，当时，，解得，
∴点A的坐标为；
在中，当时，，
∴点B的坐标为
（2）解：，
，即，
，即，
解得，
∴点C的坐标为．
设直线对应的函数表达式为．
把点代入，得
解得
∴直线的函数表达式为
（3）直线的函数表达式为或
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形全等的判定-ASA；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（3）解：分两种情况：
①当点M在点E的上方时，
如图，过点K作，交的延长线于点N，过点N作y轴的平行线，分别交过点K且与x轴平行的直线于点G，交的延长线于点H．
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，即．
，
，
为等腰直角三角形．
设点．
，
．
，
，
，即且，
解得，即点．
由点D，N的坐标，得直线的函数表达式为；
②当点在点E下方时，
在中，当时，，
∴，
∴，
∴
∴
∴同理可得直线的函数表达式为．
综上所述，直线的函数表达式为或．
【分析】本题以一次函数与几何综合为背景，考查了待定系数法求解析式、三角形面积计算、点的坐标确定及分类讨论思想。
(1) 将点D坐标代入直线l1解析式求k，再分别令y=0、x=0求A、B坐标。
(2) 利用面积差条件，通过坐标表示相关线段长，求出点C坐标，再用待定系数法求直线l2解析式。
(3) 分点M在点E上方和下方两种情况，利用角相等构造全等或相似三角形，结合坐标关系求直线DM的解析式。注意利用垂线及角度关系进行推导。
（1）解：把点代入，
得，
解得，
∴直线的函数表达式为．
在中，当时，，解得，
∴点A的坐标为；
在中，当时，，
∴点B的坐标为．
（2）解：，
，即，
，即，
解得，
∴点C的坐标为．
设直线对应的函数表达式为．
把点代入，得
解得
∴直线的函数表达式为．
（3）解：分两种情况：
①当点M在点E的上方时，
如图，过点K作，交的延长线于点N，过点N作y轴的平行线，分别交过点K且与x轴平行的直线于点G，交的延长线于点H．
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，即．
，
，
为等腰直角三角形．
设点．
，
．
，
，
，即且，
解得，即点．
由点D，N的坐标，得直线的函数表达式为；
②当点在点E下方时，
在中，当时，，
∴，
∴，
∴
∴
∴同理可得直线的函数表达式为．
综上所述，直线的函数表达式为或．
1 / 1天津市和平区汉阳道中学2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷
1．下列各式化简后，能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
2．红河州博物馆拟招聘一名优秀志愿讲解员，其中小刚笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为92分、96分、90分．综合成绩中笔试占，试讲占、面试占，那么小刚的最后得分为（　　）
A．92分 B．93.4分 C．93.6分 D．94分
3．如图，一架的云梯AB斜靠在一竖直的墙上，这时为．如果梯子的底端向墙一侧移动了，那么梯子的顶端向上滑动的距离是（　　）
A． B． C． D．
4．对于函数y=2x-1，下列说法正确的是（ ）
A．它的图像过点（1，0） B．y随x的增大而减小
C．它的图像经过第二象限 D．当x>1时，y>1
5．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，以下正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图所示，一次函数（k，b是常数，）与正比例函数（m是常数，）的图象相交于点，下列判断错误的是（　　）
A．关于x的方程的解是
B．关于x的不等式的解集是
C．当时，函数的值比函数的值大
D．关于x，y的方程组的解是
7．下列说法正确的有（　　）
①对角线互相平分的四边形是平行四边形；
②平行四边形的对角互补；
③平行线间的线段相等；
④两个全等的三角形可以拼成一个平行四边形；
⑤平行四边形的四内角之比可以是2：3：2：3．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形，连接并延长，交于点．若是的中点，，则的长为（　　）
A． B． C．1 D．
9．如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（　　）
A．3 B．5 C． D．
10．如图，直线与轴、轴分别交于点，．按照如下尺规作图的步骤进行操作：
①以点为圆心，以为半径画弧，交轴负半轴于点．连接；
②分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点；
③连接并延长，交轴于点．
则下列结论中错误的是（　　）
A．点的坐标为 B．点的坐标为
C．点的坐标为 D．点的坐标为
11．如图，在正方形中，E是边的中点，连接，过点D作交于点F，G，H分别是的中点，连接，则的值为（　　）
A． B． C． D．
12．定义：平面内任意两点，，则称为这两点之间的曼哈顿距离，“曼哈顿距离”是十九世纪数学家赫曼·闵可夫斯基所创立的词汇．在此定义下，下列选项错误的是（　　）
A．若，，则
B．若，Q在直线上，则最小值是3
C．若，满足的所有点M组成的图形面积是2
D．若，，且，则点M横坐标是1
13．二次根式中字母x的取值范围是　 　．
14．数据102，99，101，98，100的方差是　 　．
15．关于x的一次二项式mx＋n的值随x的变化而变化，分析下表列举的数据
x 0 1 1.5 2
mx＋n －3 －1 0 1
若mx＋n＝17，线段AB的长为x，点C在直线AB上，且BC＝AB，则直线AB上所有线段的和是　 　．
16．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处，当为直角三角形时，BE的长为　 　
17．如图在平面直角坐标系中，点、，点E在y轴正半轴上，连接，过点B作，且．连接交x轴于点，则点E的坐标是　 　．
18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的顶点A，B，C，D和边上的点E均在格点上．
（1）线段的长为　 　；
（2）在线段上找一点M，连接，使得．请用无刻度的直尺在如图所示的网格中，画出点M，并简要说明点M的位置是如何找到的．（不要求证明）　 　．
19．计算：
（1）；
（2）．
20．某校为了解初中学生每周参加体育活动的时间（单位：h），随机调查了该校的部分初中学生．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）图①中m的值为______，本次接受调查的初中学生人数为______；
（2）求统计的这组学生每周参加体育活动时间数据的平均数、众数和中位数；
（3）现计划制定该校初中学生每周参加体育活动时间的标准，如果想让一半左右的学生都能达到这个标准，可参考以上哪个统计量制定这个标准？______（填“平均数”或“众数”或“中位数”）
21．如图，在中，，将沿折叠，使点B落在边上点D的位置．
（1）若，求的度数；
（2）若；
①求的长；
②的面积为______．
22．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．
23．已知学生宿舍、超市、书店依次在同一条直线上，超市离宿舍，书店离宿舍．李明从宿舍出发，先匀速骑行了到书店买书，在书店停留了，之后匀速骑行到超市购买生活用品，在超市停留了后，用了匀速散步返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中李明离宿舍的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）①填表：
李明离开宿舍的时间/ 5 10 30 50
李明离宿舍的距离/
2
②填空：李明从超市返回宿舍的速度为________；
③当时，请直接写出李明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式；
（2）当李明离开宿舍时，同宿舍的张杰从宿舍出发，匀速步行直接到达书店，那么他在前往书店的途中遇到李明时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可）
24．如图1，在正方形中，边、分别在x轴、y轴上，点B的坐标为，点D在线段上，以点D为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形，交y轴于点F．
（1）当时，
①求出点E的坐标；
②在坐标平面内存在点M，若以E，B，D，M为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有满足条件的点M的坐标______；
（2）如图2，连接，当点D在线段上运动时，的周长是否改变，若改变，请说明理由；若不变，求出其周长．
25．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且与直线相交于点．直线与x轴相交于点C，与y轴相交于点K．
（1）求k的值及点A，B的坐标．
（2）若，求直线的函数表达式．
（3）在（2）的条件下，如图2，过点D作y轴的垂线段，垂足为E，M为y轴上的一点，且，请求出直线的函数表达式．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：无法进行化简，不能与合并，故选项A不符合题意；
，不能与合并，故选项B不符合题意；
，能与合并，故选项C符合题意；
，不能与合并，故选项D不符合题意；
故选：C．
【分析】本题以二次根式的化简为背景，考查了同类二次根式的识别。将各选项中的二次根式化简为最简形式，判断其被开方数是否与相同，相同则能合并。
2．【答案】C
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：按照研究成绩的权重计算小刚的最终得分，可得：
因此小刚的最终得分是93.6分。
故选：C.
【分析】本题主要考查加权平均数的相关计算，根据加权平均数的定义列出算式计算，即可得到结果.
3．【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【解答】解：在 中，已知 ，，
根据勾股定理 ，得：
已知 ，则：
在 中，已知 ，，
根据勾股定理，得：
故答案为：A。
【分析】先利用勾股定理求出初始位置的水平距离，再计算移动后的水平距离，最后通过两次勾股定理求出移动后的竖直高度，作差得到高度变化量。
4．【答案】D
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：A、把x=1代入解析式得到y=1，即函数图象经过（1，1），不经过点（1，0），故本选项错误；
B、函数y=2x-1中，k=2＞0，则该函数图象y值随着x值增大而增大，故本选项错误；
C、函数y=2x-1中，k=2＞0，b=-1＜0，则该函数图象经过第一、三、四象限，故本选项错误；
D、当x＞1时，2x-1＞1，则y＞1，故本选项正确．
故答案为：D．
【分析】根据一次函数的性质逐一判断即可．
5．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：如图所示，连接，，
由图像可得，，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故选：A．
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形内角和定理的应用，可以借助网格图形的特性得到线段关系：，，结合公共边，利用边边边（SSS）即可证明，根据全等三角形对应角相等可得；再根据网格图形的特征可得，最后结合三角形内角和定理，即可推出.
6．【答案】B
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数是常数与正比例函数是常数，的图象相交于点，
A．关于的方程，的解是，故A不符合题意；
B．关于的不等式的解集是，故B符合题意；
C．当时，函数的值比函数的值大，故C不符合题意；
D．关于的方程组的解是，故D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据两个一次函数图象的交点的坐标即为一元一次方程的解，二元一次方程的解，即可判断A和D；根据图象可得，当x＞1时，y=mx在y=kx+b图象的上方，即为mx＞kx+b，当x＜1时，y=mx在y=kx+b图象的下方，即为mx＜kx+b，即可判断B和C.
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：①正确；
②平行四边形的对角相等，命题错误；
③平行线间的平行线段相等，命题错误；
④正确；
⑤正确．
故选C．
【分析】根据平行四边形的判定定理以及性质定理即可判断．
8．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：如图，延长交于点，
由图的结构可知，点是的中点，
∴点是的中点，
∵，
，
点为线段中点，
，
∵点是的中点，
∴垂直平分线段，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
【分析】本题以“赵爽弦图”为背景，考查了正方形的性质、全等三角形的性质、线段垂直平分线的判定与性质、平行线分线段成比例及直角三角形的性质。延长AE交BC于点N，利用平行线及中点条件证得N为BC中点，结合全等三角形对应边相等及垂直平分线性质，通过角度关系推出ME＝MN，再在直角三角形中利用勾股定理及线段关系求EM。注意利用弦图中直角三角形的边长关系。
9．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；四边形-动点问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】如图：连接BE，
，
∵菱形ABCD，
∴B、D关于直线AC对称，
∵直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小
∴根据“将军饮马”模型可知BE长度即是PD+PE的最小值，
∵菱形ABCD，，点，
∴，，
∴
∴△CDB是等边三角形
∴
∵点是的中点，
∴，且BE⊥CD，
∴
故答案为：A．
【分析】连接BE，根据“将军饮马”模型可知BE长度即是PD+PE的最小值，再证出△CDB是等边三角形，求出，再结合，且BE⊥CD，最后利用勾股定理求出BE的长即可.
10．【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；线段垂直平分线的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由①得：，
由②得：垂直平分，
A.当时，，解得，，结论正确，不符合题意；
B.当时，，，结论正确，不符合题意；
C.由选项A、B得：，，，，，结论正确，不符合题意；
D.取的中点，的中点，连接、，
是的中点，
，
，
，
，
，
同理可求：，
，
设直线的解析式为，则有
，
解得：，
直线的解析式为，
当时，
，
，
故结论错误，符合题意；
故选：D．
【分析】本题以一次函数与尺规作图相结合为背景，考查了直线与坐标轴的交点坐标、圆的半径性质、线段垂直平分线的性质及点的坐标确定。分别判断各选项：A、B通过求直线与坐标轴的交点坐标判断；C利用A为圆心、AB为半径画弧确定C点坐标；D根据线段BC的垂直平分线与坐标轴的交点确定点D坐标。注意利用作图步骤中的几何关系进行分析。
11．【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图：连接并延长交于P，连接，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
设正方形的边长为，则，
∴，
∵G，H分别是的中点，
∴，
∴．
故选：C．
【分析】本题以正方形中的垂直及中点关系为背景，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理及勾股定理的综合应用。连接CH并延长交AD于点P，连接PE。利用正方形性质及垂直条件，通过全等三角形得到线段相等，确定中点关系。设正方形边长为2a，利用勾股定理求出相关线段长，再通过三角形中位线性质表示GH，最后求GH与AB的比值。注意辅助线的构造及全等三角形的证明。
12．【答案】D
【知识点】不等式的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：由题意可知，，
∴，
故选项A正确，但不符合题意；
∵Q在直线上，
∴设，
又∵，
∴，
当时，，
当时，，
当时，，
综上，，
∴最小值是3，
故选项B正确，但不符合题意；
设，
∵，，
∴，
当，时，，
∴；
当，时，，
∴；
当，时，，
∴；
当，时，，
∴；
当时，，
∴，
当时，，
∴，
∴所有符合题意的点M组成的图形如图，
∴所有点M组成的图形的面积为，
故选项C正确，但不符合题意；
设，
∵，，且，
∴，
∴，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，解得；
当时，，恒成立，
综上，当时，，
故选项D，符合题意；
故选：D．
【分析】对于选项A，可直接结合题目给出的“曼哈顿距离”定义判断正误；
对于选项B，设点Q坐标为，先根据“曼哈顿距离”的定义得到，再分、、三种情况讨论，即可判断该选项是否正确；
对于选项C，设点M坐标为，结合定义得到方程，再按、、、、、多种情况分类讨论，确定所有满足条件的点M围成的图形形状，即可判断该选项；
对于选项D，设点M坐标为，结合定义得到方程，再分、、三种情况讨论化简方程，即可判断该选项是否正确.
13．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意可知二次根式有意义，
∴且，
解得．
故填：．
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，结合分式分母不为零的要求计算求解即可.
14．【答案】2
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：该组数的平均数为，
∴该组数的方差为
故答案为：2．
【分析】根据方差定义即可求出答案.
15．【答案】20或30
【知识点】求代数式的值-直接代入求值；分类讨论
【解析】【解答】解：由表格得x＝0时，m×0＋n＝－3，
∴n＝－3；
x＝1时，m×1＋(－3)＝－1，
∴m＝2；
∵mx＋n＝17，
∴2x－3＝17，
∴x＝10，
当点C在线段AB上时，
∵BC＝AB，
∴BC＝×10＝5，
∴AC＋AB＋BC＝20；
当点C在点B右侧时，
∵BC＝AB，
∴BC＝×10＝5，
∴AC＋AB＋BC＝30．
故答案为：20或30．
【分析】本题以一次二项式的值为背景，考查了待定系数法求解析式、解一元一次方程及线段长度的分类讨论。根据表格数据求出m、n的值，代入mx＋n＝17解出x，即AB的长。分点C在线段AB上和在线段AB延长线上两种情况，分别计算直线AB上所有线段的和。注意分类讨论的全面性。
16．【答案】3或
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：当△CEB'为直角三角形时，有两种情况：
①当点B'落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC，
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，
∴AC==5，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B'处，
∴∠AB'E=∠B=90°，
当△CEB'为直角三角形时，只能得到∠EB'C=90°，
∴点A、B'、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B'处，
∴EB=EB'，AB=AB'=3，
∴CB'=5-3=2，
设BE=x，则EB'=x，CE=4-x，
在Rt△CEB'中，
∵EB'2+CB'2=CE2，
∴x2+22=（4-x）2，解得，
∴BE=；
②当点B'落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB'为正方形，
∴BE=AB=3．
综上所述，BE的长为或3．
故答案为：或3．
【分析】根据等腰直角三角形性质分类讨论：①当点B'落在矩形内部时，连结AC，根据勾股定理可得AC，再根据折叠性质可得∠AB'E=∠B=90°，当△CEB'为直角三角形时，只能得到∠EB'C=90°，则点A、B'、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B'处，由折叠性质可得EB=EB'，AB=AB'=3，设BE=x，则EB'=x，CE=4-x，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案；当点B'落在AD边上时，此时ABEB'为正方形，根据正方形性质即可求出答案.
17．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点F作于点Q，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，；
∵点、，
∴，
设直线的解析式为，
∵，，
∴，
解得，
∴，
设点，代入解析式，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题以平面直角坐标系中的全等三角形及一次函数为背景，考查了全等三角形的判定与性质、待定系数法求解析式及点的坐标确定。过点F作x轴的垂线，利用等腰直角三角形条件及垂直关系，通过AAS证明△BFQ≌△EBO，得到对应边相等。利用点A、G坐标求直线AG解析式，设点F坐标代入求值，再通过线段和差求OE，得到点E坐标。注意辅助线的构造及坐标的正负判断。
18．【答案】；如图，取格点G，连接交于点M，则点M即为所求
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的判定与性质；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：（1）；
故答案为：；
（2）如图，取格点G，连接交于点M，则点M即为所求；
理由如下：取格点F，连接，如图，
则，
∴四边形是菱形，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴；
故答案为：如图，取格点G，连接交于点M，则点M即为所求．
【分析】本题以网格中的几何作图及线段相等为背景，考查了勾股定理的应用及菱形的判定与性质。
(1) 根据网格中点的位置，利用勾股定理计算AE的长。
(2) 利用菱形的对角线互相垂直平分，构造菱形使得EF被垂直平分，从而得到FM＝ME，进而通过BM＋DE＝EM推导出点M的位置。注意利用网格的对称性及无刻度直尺的作图方法。
19．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题以二次根式的混合运算为背景，考查了二次根式的化简、合并同类二次根式、二次根式的除法及完全平方公式。
(1) 先将各二次根式化为最简形式，再合并同类项。
(2) 先计算二次根式除法及完全平方公式，再合并同类项。注意完全平方公式展开后的项数及符号。
（1）解：
；
（2）解：
；
20．【答案】（1）20，30
（2）观察条形统计图，∵，
∴统计的这组学生每周参加体育活动时间数据的平均数为5.2，
∵在这组数据中，6出现了12次，出现的次数最多，
∴统计的这组学生每周参加体育活动时间数据的众数是6．
∵将这组数据按照由小到大的顺序排列，其中处于中间位置的两个数分别是5和6，有，
∴统计的这组学生每周参加体育活动时间数据的中位数是5.5
（3）中位数
【知识点】条形统计图；加权平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次接受调查的初中学生人数为（人）
，即
故答案为：20，30；
（3）解：如果想让一半左右的学生都能达到这个标准，可参考中位数制定这个标准．
故答案为：中位数．
【分析】本题以学生体育活动时间调查为背景，考查了条形统计图与扇形统计图的综合应用、平均数、众数、中位数的求法及统计量的实际意义。
(1) 根据扇形统计图中某组百分比及条形统计图中对应人数，求出样本总数，再求m值。
(2) 根据加权平均数公式求平均数；找出出现次数最多的数据得众数；将数据排序后取中间两个数的平均数得中位数。
(3) 根据“一半左右学生能达到标准”的含义，选择中位数作为参考标准。注意中位数的实际意义。
（1）解：本次接受调查的初中学生人数为（人）
，即
故答案为：20，30；
（2）观察条形统计图，
∵，
∴统计的这组学生每周参加体育活动时间数据的平均数为5.2，
∵在这组数据中，6出现了12次，出现的次数最多，
∴统计的这组学生每周参加体育活动时间数据的众数是6．
∵将这组数据按照由小到大的顺序排列，其中处于中间位置的两个数分别是5和6，有，
∴统计的这组学生每周参加体育活动时间数据的中位数是5.5．
（3）如果想让一半左右的学生都能达到这个标准，可参考中位数制定这个标准．
故答案为：中位数．
21．【答案】（1）解：由题意可知∵沿折叠，使点B落在边上点D的位置，
∴
∵
∴
∴
又∵
∴；
（2）解：①由题意可知沿折叠，使点B落在边上点D的位置，，
∴，
又∵，
∴．
∴，
设，则，
∴，即，
解得：，
即的长为6；
②
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（2）②解：由①可知，
∴，
∴
故填：60．
【分析】（1）利用直角三角形和等腰三角形的性质，推出两个所求角相等，且二者角度和为，即可完成证明求解.
（2）①根据图形折叠的性质，可以得到，之后两次运用勾股定理建立等式，就可以计算得到结果；②在①所得结果的基础上，直接代入三角形的面积公式计算就可以得到答案.
22．【答案】(1)证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴点O为BD的中点，
∵点E为AD中点，
∴OE为△ABD的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG为平行四边形
∵EF⊥AB，
∴平行四边形OEFG为矩形．
(2)∵点E为AD的中点，AD=10，
∴AE=
∵∠EFA=90°，EF=4，
∴在Rt△AEF中，．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD=10，
∴OE=AB=5，
∵四边形OEFG为矩形，
∴FG=OE=5，
∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据菱形性质可得点O为BD的中点，再根据三角形中位线定理可得OE∥FG，再根据矩形判定定理即可求出答案.
（2）根据线段中点可得AE=，根据勾股定理可得AF，再根据菱形性质可得OE=AB=5，根据矩形性质可得FG=OE=5，再根据边之间的关系即可求出答案.
23．【答案】（1）①1，2，；②；③
（2）．
【知识点】分段函数；待定系数法求一次函数解析式；一元一次方程的实际应用-行程问题；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：①，
由图填表：
李明离开宿舍的时间/ 5 10 30 50
李明离宿舍的距离/ 1 2 2
故答案为：1，2，．
②张强从体育场到文具店的速度为，
故答案为：；
③当时，由函数图象可得：；
当时，设y与x的函数解析式为，
把代入，得，解得，
∴；
综上，李明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式．
（2）解：当李明离开宿舍时，即时，同宿舍的张杰从宿舍出发，匀速步行直接到达书店得速度为．
当李明在回宿舍的途中遇到张杰时，他俩离宿舍的距离是相等的，设相遇时间为t，
当时，，他们没有相遇，
当时，，解得：（符合题意），
当时，．
所以，那么他在前往书店的途中遇到李明时离宿舍的距离是．
【分析】本题以行程问题为背景，考查了函数图象的解读、分段函数解析式的求法及相遇问题的计算。
(1) ① 根据图象直接读取或计算相应时间点的距离。
② 根据返回路程与时间计算速度。
③ 分段写出函数解析式：在书店停留期间为常函数，在从超市返回期间利用待定系数法求一次函数解析式。
(2) 先求张杰的速度，分时间段讨论相遇情况，利用路程相等列方程求解，得到相遇时离宿舍的距离。注意时间段的划分及方程的解是否符合范围。
（1）解：①，
由图填表：
李明离开宿舍的时间/ 5 10 30 50
李明离宿舍的距离/ 1 2 2
故答案为：1，2，．
②张强从体育场到文具店的速度为，
故答案为：；
③当时，由函数图象可得：；
当时，设y与x的函数解析式为，
把代入，得，解得，
∴；
综上，李明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式．
（2）解：当李明离开宿舍时，即时，同宿舍的张杰从宿舍出发，匀速步行直接到达书店得速度为．
当李明在回宿舍的途中遇到张杰时，他俩离宿舍的距离是相等的，设相遇时间为t，
当时，，他们没有相遇，
当时，，解得：（符合题意），
当时，．
所以，那么他在前往书店的途中遇到李明时离宿舍的距离是．
24．【答案】（1）解：①如图所示，过点E作轴于点G：
则，
由题意可知四边形为正方形，点B的坐标为，
∴，，
又∵为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
②或或．
（2）解：的周长不变，且周长为12，理由如下：
如图所示，在x轴上取一点H，使，连接：
由题意可知四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
又∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴
．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；菱形的性质；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：解：（1）②由题意可知，
∴，
∴，
设点的坐标为，
如图所示，当为对角线时：
∴根据中点坐标公式可知：，，
解得：，，
∴点M的坐标为；
如图所示，当为对角线时：
∴根据中点坐标公式可得：，，
解得：，，
∴点M的坐标为；
如图所示，当为对角线时：
∴根据中点坐标公式可得：，，
解得：，，
∴点M的坐标为；
综上分析可知，点M的坐标为：或或．
故填：或或．
【分析】（1）①已知四边形 是正方形，且顶点B的坐标为 ，因此可得正方形边长 ， 。通过证明 ，可得对应边 ， ； ，据此即可得到点E的坐标.
②设点M的坐标为（x，y），以菱形的对角线为分类标准分三种情况讨论：当BE为对角线时、当BD为对角线时、当ED为对角线时，分别画出对应图形，即可计算得到点M的坐标；
（2）我们可以通过构造全等三角形求证结论：在x轴上取点H，使得 ，连接 ，先证明 ，得到对应边 ，对应角 ；再证明 ，得到 ，最后根据 即可求出结果．
（1）解：①过点E作轴于点G，如图所示：
则，
∵四边形为正方形，点B的坐标为，
∴，，
∵为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
②∵，
∴，
∴，
设点的坐标为，
当为对角线时，如图所示：
∴根据中点坐标公式可知：，，
解得：，，
∴点M的坐标为；
当为对角线时，如图所示：
∴根据中点坐标公式可得：，，
解得：，，
∴点M的坐标为；
当为对角线时，如图所示：
∴根据中点坐标公式可得：，，
解得：，，
∴点M的坐标为；
综上分析可知，点M的坐标为：或或．
（2）解：的周长不变，且周长为12．
在x轴上取一点H，使，连接，如图所示：
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
．
25．【答案】（1）解：把点代入，得，
解得，
∴直线的函数表达式为．
在中，当时，，解得，
∴点A的坐标为；
在中，当时，，
∴点B的坐标为
（2）解：，
，即，
，即，
解得，
∴点C的坐标为．
设直线对应的函数表达式为．
把点代入，得
解得
∴直线的函数表达式为
（3）直线的函数表达式为或
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形全等的判定-ASA；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（3）解：分两种情况：
①当点M在点E的上方时，
如图，过点K作，交的延长线于点N，过点N作y轴的平行线，分别交过点K且与x轴平行的直线于点G，交的延长线于点H．
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，即．
，
，
为等腰直角三角形．
设点．
，
．
，
，
，即且，
解得，即点．
由点D，N的坐标，得直线的函数表达式为；
②当点在点E下方时，
在中，当时，，
∴，
∴，
∴
∴
∴同理可得直线的函数表达式为．
综上所述，直线的函数表达式为或．
【分析】本题以一次函数与几何综合为背景，考查了待定系数法求解析式、三角形面积计算、点的坐标确定及分类讨论思想。
(1) 将点D坐标代入直线l1解析式求k，再分别令y=0、x=0求A、B坐标。
(2) 利用面积差条件，通过坐标表示相关线段长，求出点C坐标，再用待定系数法求直线l2解析式。
(3) 分点M在点E上方和下方两种情况，利用角相等构造全等或相似三角形，结合坐标关系求直线DM的解析式。注意利用垂线及角度关系进行推导。
（1）解：把点代入，
得，
解得，
∴直线的函数表达式为．
在中，当时，，解得，
∴点A的坐标为；
在中，当时，，
∴点B的坐标为．
（2）解：，
，即，
，即，
解得，
∴点C的坐标为．
设直线对应的函数表达式为．
把点代入，得
解得
∴直线的函数表达式为．
（3）解：分两种情况：
①当点M在点E的上方时，
如图，过点K作，交的延长线于点N，过点N作y轴的平行线，分别交过点K且与x轴平行的直线于点G，交的延长线于点H．
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，即．
，
，
为等腰直角三角形．
设点．
，
．
，
，
，即且，
解得，即点．
由点D，N的坐标，得直线的函数表达式为；
②当点在点E下方时，
在中，当时，，
∴，
∴，
∴
∴
∴同理可得直线的函数表达式为．
综上所述，直线的函数表达式为或．
1 / 1

展开更多......

收起↑